10.3.1. Общая постановка задачи

В нашем изложении будем следовать оригинальной работе Карплуса и Клейна Отправным пунктом для нас является записанное в электрон-позитронном канале уравнение, аналогичное (10.26), Амплитуда данного состояния РУ обозначается -матрицей в пространстве индексов Дирака следует подчеркнуть, что представляет собой калибровочно-ковариантную величину Поэтому если удовлетворяет решаемому приближенно уравнению, то нам не безразлично, как нужно выбрать частную калибровку. На практике, учитывая, что относительные скорости малы, естественно в качестве первого приближения для энергии связи взять нерелятивистское соотношение

    (10.83)

а определить из волнового уравнения Паули—Шредингера.

Для получения этого результата, по-видимому, лучше всего подходит нековариантная калибровка излучения Однако такой выбор является небезопасным, поскольку высшие поправки потребуют перенормировки С другой стороны, известно, что для введения калибровочной инвариантности релятивистским образом необходимо включить в ядро V бесконечный ряд диаграмм с пересечениями Мы сталкиваемся с дилеммой, которую можно практически разрешить следующим образом Будем использовать ковариантную калибровку, а именно, калибровку Фейнмана При этом необходимо отделить мгновенное взаимодействие от запаздывающего. Это является следствием того, что нельзя точно решить уравнение, эквивалентное релятивистскому уравнению Вика — Куткоского Поэтому запаздывающее взаимодействие будем рассматривать как возмущение, на том же основании, что и члены высших порядков в V Если мы будем получать все меньшие и меньшие поправки, которые согласуются с экспериментом, то эту процедуру, несмотря на ее недостаточное теоретическое обоснование, можно рассматривать по крайней мере как полезный метод расчета Это справедливо по отношению к поправкам порядка Однако дальнейшее изучение данного вопроса показывает, что даже специалисты наталкиваются на затруднения при расчетах вкладов более высоких порядков, учет которых требуется для сравнения с очень точными измерениями.

Предлагался ряд усовершенствований, таких, как разложение X по лоренц-инвариаптным скалярным амплитудам, умноженным на ковариантные величины, проведение полного разложения Фурье по угловым переменным для амплитуды, над которой совершен поворот Вика, или попытка найги эквивалентную, но решаемую форму релятивистского лестничного приближения.

Пренебрегая вначале радиационными поправками, запишем уравнение, которому удовлетворяет в импульсном пространстве, в виде

где отвечает однофотонному обмену в перекрестном канале, — ядро, соответствующее однофотонному аннигиляционному взаимодействию Даже на этом раннем этапе сложность проблемы несколько отпугивает.

Удобно работать с величиной получаемой действием антисимметричной матрицы зарядового сопряжения С на второй индекс матрицы

    (10.85)

Эта амплитуда имеет те же трансформационные свойства, что и амплитуда, соответствующая каналу частица-частица, за тем лишь исключением, что в последнем отсутствуют электромагнитные связанные состояния. Амплитуда удовлетворяет уравнению

причем

Мы добавили индексы в произведение -матриц, чтобы различать электронные и позгтронные переменные.

Структура , где возникает в связи использованием калибровки Фейнмана Однако это взаимодействие можно разделить на мгновенную и запаздывающую часть в общей системе покоя, , с помощью соотношения

    (10.87)

Здесь в правой части второй член содержит как запаздывающее, так и статическое магнитное взаимодействие. Мы будем анализировать его, опираясь на теорию возмущений (конечно, нам хотелось бы сделать большее); то же самое относится и к вкладу аннигиляционных членов

Приближение нулевого порядка для К получается, если в соответствии с (10.87) отделить в VB кулоновскую часть от остальной части, которую мы обозначим через Следовательно, в приближении мгновенного взаимодействия можно записать следующее уравнение:

    (10.88)

Отсюда можно вывести уравнение Для

    (10.89)

которое получается, если разделить обе части уравнения (10.88) на волновые операторы и проинтегрировать результат по . Таким образом получаем

    (10.90)

Присутствие в знаменателях добавки вытекает из вывода уравнения. Интеграл по сходится, и его можно вычислить, замыкая в верхней полуплоскости контур, охватывающий полюсы в точках , где . Если мы используем обозначения Дирака а также следующие величины:

    (10.91)

то интегрирование по дает

Заметим, что две формы записи пропагатора Фейнмана эквивалентны между собой:

В силу равенства

уравнение (10.92) можно также записать как эффективное уравнение для одной частицы, а именно

    (10.93)

Вводя обозначения мы видим, что уравнение (10.93) эквивалентно системе связанных уравнений

Для наших целей недостаточно иметь уравнение (10.88) или (10.92), поскольку в них опущены запаздывающая часть и аннигиляционное ядро, существенные для сверхтонкого расщепления. Правильное уравнение, впервые рассмотренное Брейтом для задач такого рода, мы получим, включив оба этих взаимодействия.

Чтобы обсудить этот эффект, воспользуемся здесь той формой теории возмущений, которая была первоначально развита Солпитером. Она предназначена для преодоления трудности, возникающей вследствие того, что энергия Е входит в дифференциальный оператор уравнения квадратично (и, вообще говоря, параметрически в ядро). Данный метод приспособлен для описания мгновенного невозмущенного взаимодействия.

Умножив обе части уравнения (10.88) на получим

    (10.95)

Предполагая, что известно, и используя добавку при обращении оператора D, действующего на К, можно написать следующие выражения:

    (1096)

Интегрирование по возвращает нас к уравнению (10.92). Для краткости записи определим величину таким образом, чтобы

выполнялось соотношение

    (10.97)

в котором мы положили

Из уравнения (10.93) следует, что

    (10.98)

а величина К. дается выражением

    (10.99)

При фиксированном , соответствующем данному решению уравнения, определим амплитуду Q с помощью выражения, аналогичного (10.99), но с энергией Е, замененной на Е. Напомним, что D также зависит от ; таким образом,

    (10.100)

Рассмотрим выражение

При равном Е, и Q, равном К, левая часть этого выражения обращается в нуль. В правой части единственная зависимость от имеется в пропагаторе . Интеграл совпадает с тем, что был выше, поэтому мы имеем

Последнее равенство следует из формул (10.97) и (10.98). Аналогично, если

    (10.102)

то, учитывая эрмитовость величин Н и v, получаем

Мы готовы теперь обсудить вопрос о том, к каким эффектам приводит возмущение мгновенного кулоновского взаимодействия,

имеющее вид

    (10.104)

Новая волновая функция К и энергия Е удовлетворяют уравнению

    (10.105)

Умножим это уравнение слева на амплитуду Q, определенную, как и выше, для энергии Е, и проинтегрируем по -импульсу . Из (10.103) находим

Это точный результат. Чтобы использовать его как приближение первого порядка, заменим на Таким образом, получим выражение

    (10.106)

при условии, что использована нормировка

В будущем нам понадобится также выражение для сдвига энергии во втором порядке. В принципе оно включает в себя величину, обратную полному пропагатору

Однако в нашем случае можно обойтись свободным двухчастичным пропагатором. В итоге будем иметь

Читателю предлагается исследовать условие нормировки с точки зрения, развитой в разд 10.2, и установить соотношение между этим условием и рассмотренным выше разложением энергии связанного состояния по теории возмущений