11.5.2. Аксиальная аномалия в сигма-модели

Для конкретности воспользуемся -моделью с фермионами. Для простоты рассмотрим лишь ферми-поле с зарядом (протон) и два мезона и о. Согласно разд. 11.4.1, лагранжиан имеет вид

    (11.192)

В низшем порядке справедливы соотношения

    (11.193)

Протон является единственной заряженной частицей, дающей вклад в ток:

В этой модели аксиальный ток

    (11.194)

имеет дивергенцию, которая формально равна

    (11.195)

Амплитуда -распада, вычисленная в низшем однопетлевом порядке, дается выражением (рис 11.16)

    (11.196)

РИС. 11.16. Однопетлевые диаграммы для распада

В числителе след равен (причем ), и оставшийся интеграл является сходящимся:

    (11.197)

На массовой поверхности мы имеем и вклад двух диаграмм имеет вид

    (11.198)

Это находится в противоречии с соотношением (11.190), поскольку не равно нулю, а представляет собой в действительности величину

Заметим, что (11 198) предполагает гладкое поведение в окрестности причем

Используя соотношение где , находим следующее численное значение ширины, обусловленное главным вкладом :

    (11.201)

Здесь при интегрировании по телесному углу мы учли, что фотоны подчиняются статистике Бозе Экспериментальная ширина

находится в разумном согласии с вышеприведенной оценкой. В действительности еще в 1949 г. Стейнбергер пришел к аналогичной оценке без учета всех тонкостей алгебры токов.

В кварковой модели электромагнитный ток связан с дробно заряженными фермионами (с зарядами ) Аксиальный ток дается выражением

Таким образом, амплитуду следовало бы умножить на величину Кварковый триплет (и, ) имеет заряды , а соответствующие значения равны (1, —1, 0), поэтому Согласие с экспериментом становится неудовлетворительным, если только кварки не являются трижды вырожденными по скрытому квантовому числу, называемому цветом. В действительности наряду с вопросом о статистике кварков в барионных состояниях это наблюдение является одним из наиболее прямых аргументов в пользу введения такого вырождения

РИС. II. 17. Диаграммы, соответствующие амплитуде в низшем порядке.

Попробуем теперь понять, в чем состоит некорректность вывода Вельтмана—Сазерлэнда. Для этой цели вычислим в рамках обсуждаемой модели амплитуду , определяемую выражением (11.186) Из (11 194) видно, что аксиальный ток связан либо с пионом при помощи множителя либо непосредственно

с протоном. Следовательно, в низшем порядке

    (11,203)

В дают вклад первые две диаграммы, представленные на на рис. 11.17; последние две диаграммы включают пионную амплитуду . Вызывающее наибольшие сомнения тождество (11.185) принимает вид

    (11.204)

или в другой записи:

Разумеется, желательно обеспечить сохранение электромагнитного тока (11.187) и после перенормировки Вычислим вклад двух первых диаграмм, приведенных на рис. 11.17. Учитывая коэффициент 1/2, который надо ввести в соответствии с определением (11.194), находим

Сворачивая эту амплитуду с , получаем

Центральный член в следе можно перегруппировать следующим образом:

Таким образом, имеем

Здесь первый член есть не что иное, как амплитуда в -распаде [см. выражение (11.196)]. Следовательно, справедливость

уравнения (11.205) зависит от того, обратится ли в нуль второй член. На первый взгляд можно было бы думать, что каждый член, дающий вклад в этот интеграл, равен нулю, будучи лоренцевым псевдотензором, зависящим от одного -векторного аргумента. Кроме того, можно было бы привести соображение, что сдвиг переменной интегрирования показывает сокращение первого члена в подынтегральном выражении для величины со вторым членом в подынтегральном выражении для . Однако оба этих соображения являются ошибочными, поскольку рассматриваемые интегралы линейно расходятся. Для прояснения ситуации следует прибегнуть к надежному методу, а именно к калибровочно-инвариантной регуляризации Паули—Вилларса. Метод размерной регуляризации здесь не подходит из-за присутствия величин , которые хорошо определены лишь для четырехмерного пространства-времени.

Введение регуляризующего поля с большой массой (М) изменяет (11.208) следующим образом:

поскольку приведенные выше аргументы уже справедливы для регуляризованного конечного интеграла в (11.208). Используя результаты предыдущих вычислений, нетрудно найти, что

    (11.210)

В результате регуляризации как раз и обнаруживается этот конечный член, представляющий собой вклад второго интеграла в (11.208). Наконец, добавляя вклад диаграмм, изображенных на рис. 11.17, а и б, получаем выражение

    (11.211)

где аномальный член в правой части исправляет (11.205). Следует заметить, что тождества (11.187) выполняются по-прежнему.

Может возникнуть вопрос: нельзя ли в (11.211) устранить этот новый член, используя какую-либо другую схему вычитаний? Ведь даже, хотя выражение является конечным, имеет линейную расходимость. Неизвестный вычитательный член должен быть линейным полиномов по и преобразовываться как лоренцев псевдотензор, симметричный относительно замены . Единственным кандидатом на эту роль является выражение

    (11.212)

но оно не удовлетворяет условию (11.187). Для аксиального тока можно написать тождество Уорда без аномалий в виде (11.205), но ценой потери обычной калибровочной инвариантности.

Аномалия, которая появилась в (11,211), оказывается весьма кстати, поскольку она приводит к удовлетворительной оценке времени жизни . Вместо того чтобы пытаться любой ценой сохранить соотношение ЧСАТ, плодотворнее исправить его в первом порядке по а, записав в виде

    (11.213)

где -тензор электромагнитного поля. Эта поправка оставляет в силе все предыдущие результаты, полученные с применением алгебры токов. Поскольку в регуляризованной или перенормированной теории невозможно сохранить все тождества Уорда, справедливые в классическом приближении, название «аномальные тождества Уорда» представляется оправданным. Перейдем теперь к изучению некоторых свойств и следствий этих тождеств.