12.5.3. Спонтанное нарушение симметрии

В гл. 11 мы уже изучали спонтанное нарушение симметрии, когда граничные условия позволяли нам выбрать одно из набора вырожденных основных состояний. Возникновение безмассовых частиц представляет собой замечательную особенность такого нарушения в случае непрерывной симметрии. Эти голдстоуновские бозоны являются возбуждениями с нулевой энергией, связывающими возможные вакуумные состояния друг с другом. Естественно вернуться к обсуждению этого явления в рамках калибровочной

теории (абелевой или неабелевой), где рассматриваются дальнодействующие силы или, альтернативно, где в гильбертовом пространстве может присутствовать нефизический сектор. Оказывается, что при наличии нарушенной калибровочной симметрии дальнодействующие силы экранируются. Голдстоуновские бозоны и калибровочные поля комбинируются в массивные возбуждения, а безмассовые возбуждения становятся ненаблюдаемыми

Это явление было открыто и изучено в связи со сверхпроводимостью. Пары электронов, ответственные за сверхпроводимость, могут описываться волновой функцией . Чтобы нейтрализовать фоновый заряд ионов, плотность заряда, пропорциональная должна быть постоянной во всем кристалле. При наличии магнитного поля с векторным потенциалом записывается следующим образом:

где - заряд пары. Дивергенция тока J обращается в нуль, и, следовательно, в поперечной калибровке мы имеем . В случае простой геометрической конфигурации величина 0 является постоянной; таким образом, уравнение Максвелла

принимает

    (12.194)

Векторный потенциал А экранирован на характерной длине К, причем . Это эффект Мейснера, согласно которому магнитное поле не может проникнуть внутрь проводника.

Возвращаясь к теории поля, рассмотрим заряженное поле связанное с абелевым калибровочным полем. Напишем лагранжиан

    (12.195)

Потенциал инвариантен относительно локальных преобразований минимум расположен при ненулевом значении (ср. рис. 11.5). Например,

    (12.196)

причем . В основном состоянии при этом

    (12.197)

С помощью глобального поворота основное состояние всегда можно преобразовать к вещественному значению, поскольку эта величина не зависит от Следовательно, будем считать, что

    (12.198)

Сдвинем величину Ф следующим образом:

    (12.199)

Лагранжиан, выраженный через Ф (штрих будет далее опущен), принимает вид

    (12.200)

Величина соответствует голдстоуновскому бозону, поскольку в силу соотношения (12 197) коэффициент при обращается в нуль. Но не будем спешить! У поля теперь появился массовый член а также член смешивания Квадратичная форма по диагонализуется заменой

    (12.201)

которая напоминает калибровочное преобразование. В результате квадратичную часть лагранжиана S можно записать в виде

    (12.202)

Итог этого обсуждения состоит в следующем. Калибровочное поле приобрело массу, в то время как поле исчезло, по крайней мере из . В действительности можно устранить полностью, еопи воспользоваться другой параметризацией функции

    (12.203)

где v и — эрмитовы поля. После локального калибровочного преобразования

    (12.204)

лагранжиан принимает вид

    (12.205)

Используя разложение убеждаемся в том, что действительно приобрело массу и и что голдстоуновский бозон исчез. Мы начали рассмотрение с системы, описывающей заряженное скалярное поле (два состояния) и безмассовое калибровочное поле с двумя состояниями поляризации. После спонтанного нарушения симметрии мы получили вещественное скалярное поле и одно массивное векторное поле с тремя состояниями поляризации. Число степеней свободы сохранилось, а голдстоуновский бозон превратился в состояние продольной поляризации векторного поля. Это явление открыли Энглерт, Броут и Хиггс. Оставшийся массивный скалярный бозон называется хиггсовским.

Представленный здесь подход можно обобщить на случай неабелевой симметрии. Будем следовать анализу, выполненному Кибблом, Ли и Зинн-Жюстеном. Пусть G — калибровочная группа размерности , необязательно полупростая, и пусть калибровочное поле связано с мультиплетом скалярных полей Ф, преобразующихся в соответствии с некоторым неприводимым -мерньдо представлением этой группы. Лагранжиан записывается в виде

    (12,206)

Антиэрмитовы матрицы Т являются инфинитезимальными генераторами данного представления, а константы связи могут зависеть от простой компоненты группы. Наконец, предположим, что V инвариантен относительно преобразований данной группы G и его минимум достигается при . Пусть есть подгруппа группы G (размерности s), которая оставляет и инвариантным Природа зависит от G, от представления, по которому преобразуется и от формы потенциала V.

Примеры

1 есть векторное (с размерностью, равной ) представление,

2. является -матрицей, принадлежащей представлению , а

Читатель может убедиться в том, для эрмитовой матрицы оператор включает по крайней мере группу

Пусть инфинитезимальные генераторы подгруппы Н соответствуют матрицам Остальные генераторы порождают фактор-пространство Параметризуем следующим образом:

    (12.207)

здесь вакуумные ожидания полей и имеют нулевые значения Поле имеет эффективных составляющих. В отсутствие калибровочных полей величина играла бы роль голдстоуновских бозонов. Однако калибровочная инвариантность позволяет их устранить. Выполним преобразование

    (12.208)

которое заменяет лагранжиан (12.206) выражением

    (12.209)

где

Всякий след от несостоявшихся голдстоуновских бозонов. исчез; а эрмитову неотрицательную массовую матрицу векторных полей можно записать в виде

    (12.210)

Поскольку первых генераторов обращают v в нуль, эта матрица является блочно-диагональной Только нижняя -матрица является положительно-определенной и соответствует массивным векторным бозонам. Оставшиеся s безмассовых полей соответствуют ненарушенной калибровочной группе симметрии Н. Как и в абелевом случае, полное число степеней свободы здесь сохраняется.

Теперь мы можем пересмотреть данную в разд. 12.1.3 полуклассическую картину и найти решения уравнений движения для теории, включающей калибровочные и скалярные поля. Отдельно для калибровочных или скалярных полей нетривиальных статических решений с конечной энергией не существует. Однако теории, включающие как скалярные, так и калибровочные поля, могут приводить к интересным классическим решениям в трехмерном пространстве.

Для статических решений с конечной энергией поля должны стремиться на пространственной бесконечности к одной из конфигураций с минимальной энергией. В противном случае в бесконечной области плотность энергии отличалась бы от нуля на конечную величину. Существование набора вырожденных вакуумных состояний является возможным средством для обеспечения устойчивости нетривиального решения. Таким образом, можно считать, что поля переходят в различные вакуумные конфигурации в зависимости от направлений, по которым их аргументы стремятся к бесконечности. Решение, если оно существует, будет топологически устойчивым при условии, что оно нетривиальным образом отображает сферу на пространственной бесконечности на многообразие допустимых вакуумных состояний, т. е. на фактор-пространство . Достаточное условие этого состоит в том, чтобы симметрия была спонтанно нарушенной и чтобы гомотопическая группа была нетривиальной.

Для определенности рассмотрим модель Джорджи — Глэшоу, представляющую собой калибровочную теорию с группой симметрии в которой триплет скалярных полей связан с триплетом калибровочных полей. Симметрия нарушается спонтанно до подгруппы . Если оставшееся безмассовое калибровочное поле рассматривать как электромагнитное поле, то мы имеем модель квантовой электродинамики, основанную на группе SO (3). Имея это в виду, будем обозначать в дальнейшем константу связи буквой е. Математики учат нас, что есть группа целых чисел; это означает, что решения характеризуются: целочисленным топологическим за рядом .

Т’Хоофт и Поляков изучали решение с Оно соответствует граничному условию, такому, при котором направлено по нормали к сфере на бесконечности [тождественное отображение на

Здесь - вакуумное среднее вещественного поля Ф. Если выбрать калибровку то в предположении, что асимптотически обращается в нуль, получаем

    (12.212)

Тогда можно показать, что существуют регулярные решения творяющие этим граничным условиям.

Топологический инвариант можно интерпретировать как магнитный заряд Для этого не зависящего от времени решения электрическое поле отсутствует Магнитное поле на бесконечности является радиальным:

поскольку оно получено с помощью калибровочного преобразования из вакуумной конфигурации

Поток магнитного поля через поверхность равен

    (12.213)

в соответствии с определением магнитиого заряда g, заключенного внутри сферы. Решения с высшим топологическим зарядом соответствуют магнитному заряду

Как и для любой квазиклассической конфигурации этого типа, энергия данной конфигурации, или масса покоя монополя, пропорциональна обратному квадрату константы связи, т. е. пропорциональна показал, что она имеет порядок , где - векторная масса, приобретаемая за счет спонтанного нарушения симметрии. Такой монополь был бы чрезвычайно тяжелым!