8.3.2. Поведение в ультрафиолетовой области и теорема Вайнберга

Найдем точное соотношение между условной степенью ультрафиолетовой расходимости со (G) и поведением интегралов Фейнмана в случае, когда все внешние импульсы велики. Умножение всех этих импульсов на общий большой множитель X эквивалентно, из соображений размерности, делению на этот же фактор всех внутренних масс. Следовательно, проблема тесно связана с пределом нулевой массы, рассмотренной в разд. 8.3.1.

Для простоты вернемся опять к скалярной теории со связями без производных. Возьмем функцию Грина, вычисленную для евклидовых внешних импульсов, и ограничимся на время рассмотрением случая, когда имеется сходимость в ультрафиолетовой области. После интегрирования по общему параметру однородности выражение (8.20) принимает вид

Если импульсы Р растягиваются в X раз, то интеграл ведет себя как [напомним, что по предположению со ], при условии что интеграл

сходится. Это в свою очередь зависит от существования предела нулевых масс для . Мы видим, в частности, что поведение при больших к связано с конфигурациями импульсов Р. Изразд. 8.3.1 известно, что если евклидовы импульсы не равны нулю и не являются исключительными, то такой предел существует. В этом случае асимптотическое поведение определяется, посредством подсчета степеней ультрафиолетовых расходимостей:

Полученный результат обобщается на случай условно расходящихся, но перенормированных диаграмм. Однако степенную зависимость можно заменить на зависимость в виде степеней логарифма:

Если предел нулевых масс плохо определен, т. е. если диаграмма содержит вершины степени, меньшей четырех, и (или) исключительные внешние импульсы, мы ожидаем, что будет иметь

место некоторое отклонение от этого поведения, а именно, мы получим более высокие степени, чем и возможные логарифмические поправки.

Чтобы проиллюстрировать эту точку зрения, рассмотрим однопетлевую диаграмму на рис. 8.12, в которой имеются линий и вершин; среди этих вершин представляют собой массовые вставки. Условная степень равна Соответствующий (евклидов) интеграл имеет вид

При амплитуда ведет себя как

Оценка, основанная на подсчете степеней, дала бы . Это можно объяснить, заметив, что большой импульс протекает через один из пропагаторов (верхний пропггатор на рис. 8.12), что дает степень

РИС. 8.12. Диаграмма собственной энергии с вставками

Коэффициент, возникающий из нижней цепочки пропагаторов пропорционален при и равен постоянной при

В общем случае, изученном Вайнбергом, поведение при больших к определяется минимальным числом пропагаторов, по которым протекает большой импульс. Для перенормируемых (или суперперенормируемых) теорий, не содержащих безмассовые частицы, справедлив следующий результат. Если евклидовы импульсы (возможно, исключительные) умножаются на большой фактор X, то интеграл Фейнмана мажорируется величиной

где символически выражает тот факт, что степенная зависимость умножается на целую степень логарифма, причем

Здесь g пробегает по всем подсистемам диаграммы G, таким, что 1) в каждую вершину приведенной диаграммы входит нулевой полный внешний импульс и 2) каждая связная часть диаграммы соединена с некоторыми внешними линиями. Короче говоря, это означает, что (большие) внешние импульсы могут протекать через g, не давая вклад в (см. рис. 8.13).

РИС. 8.13. Возможные потоки больших внешних импульсов (жирные линии) через диаграмму «ящик» в неисключительной (а) и исключительной (б) конфигурациях.

В выражении (8.73) величина является ультрафиолетовой условной степенью расходимости поддиаграммы .

В случае когда теория является строго перенормируемой (отсутствуют суперперенормируемые связи), а импульсы неисключительные, можно показать, что верхняя граница Q совпадает с со (G) в соответствии с предшествующими рассуждениями. Читателю предлагается применить эти общие правила к примеру, приведенному на рис. 8.12.

Данные результаты можно обобщить на случай, когда импульсы принадлежат пространству Минковского, или на конфигурации, в которых только часть импульсов становится большой. Можно получить также ограничения на степень логарифма величины к.