12.5. МАССИВНЫЕ КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ

12.5.1. История вопроса

Рассматриваемые до сих пор неабелевы калибровочные теории характеризовались точной локальной симметрией; поэтому калибровочное поле было безмассовым Такие теории используются до сих пор с целью построения моделей сильных взаимодействий. Однако исторически, после того как и Миллс предложили неабелевы калибровочные поля, физики в течение многих лет прилагали усилия для построения имеющей физический смысл теории массивных калибровочных полей, т. е. с явно нарушенной локальной симметрией

Этот вопрос в сильной степени связан с изучением слабых взаимодействий В гл. 11 мы показали, что теория Ферми, в которой лагранжиан записывается в виде произведения токов, является замечательной с феноменологической точки зрения Лагранжиан слабого взаимодействия (или с точностью до знака гамильтониан) записывается [ср. с (11.62)] в виде

    (12.176)

Разумеется, это взаимодействие с нулевым радиусом действия.

Несмотря на успехи, достигнутые в рассмотрении низкоэнергетических процессов, применение данной модели требует решения ряда серьезных проблем Из размерности константы связи G следует, что теория является неперенормируемой Альтернативно подсчет степеней дает для произведения размерность, равную шести При достаточно высокой энергии уже нельзя ограничиться борновским приближением. Для того чтобы амплитуда рассеяния удовлетворяла условию унитарности по крайней мере в рамках теории возмущений, необходимо добавить члены высших порядков Однако эти поправки влекут за собой появление ультрафиолетовых расходимостей, устранение которых приводит к возрастанию числа произвольных параметров Неперенормируемость теории приводит к тому, что на практике вычисления становятся невозможными.

Другой аспект той же самой проблемы возникает, когда рассматривается какое-либо сечение а в борновском приближении. Из соображений размерности можно ожидать, что при высоких энергиях сечение ведет себя следующим образом:

    (12.177)

здесь s представляет собой квадрат полной энергии в системе центра масс, в то время как унитарный предел для каждой парциальной волны равен

    (12.178)

Следовательно, мы ожидаем, что при энергиях порядка ГэВ унитарность будет нарушаться.

Хорошим упражнением является вычисление константы, входящей в выражения (12.177) и (12.178), для лептонных процессов, таких, как

Оба аспекта—неперенормируемость теории и плохое поведение борновского приближения при высоких энергиях — проистекают из одного и того же явления. Это становится очевидным, если применить дисперсионные соотношения для вычисления однопетлевого вклада в какую-либо амплитуду упругого рассеяния, используя ее скачки на разрезах, т. е. значение соответствующего борновского сечения Поведение последних приводит к сильным расходимостям в дисперсионном интеграле.

Именно поэтому имеет смысл перейти от теории Ферми к более удобной теории, т. е. к перенормируемой полевой теории Соблазнительный путь состоит в том, чтобы ввести заряженное векторное поле и связать его с током

    (12.179)

(здесь сокращенная запись э.с. означает эрмитово-сопряженный). Аналогия с электродинамикой здесь очевидна. Промежуточный бозон, представляемый полем W, мог бы быть квантом слабых взаимодействий Чтобы объяснить справедливость теории Ферми при низкой энергии, предположим, что масса бозона W очень велика Выводы теории с лагранжианом (12 179) будут отличаться от выводов теории с лагранжианом (12.176) только при высоких энергиях. Рассмотрим, например, -распад. В теории Ферми амплитуда распада имеет вид (рис. 12.9, а)

тогда как в теории с -бозоном она записывается следующим образом:

Обе амплитуды совпадают при энергиях, таких, что и при условии, что

    (12.180)

Аналогично при высоких энергиях амплитуда рассеяния, например в процессе в борновском приближении уменьшалась бы по сравнению с фермиевской в раз. Казалось бы, нарушения унитарности удалось устранить.

РИС. 12.9. Распад мюона а - в теории Ферми; б — через промежуточный бозон.

В действительности амплитуда процесса все еще имеет плохое поведение. Это указывает на то, что необходимо вводить в рассмотрение большее число полей и взаимодействий.

Приступим теперь к описанию динамики таких массивных векторных полей. Особенно трудным является вопрос о перенормируемости теории, что связано с поведением пропагатора при больших импульсах:

Вспомним, однако, что в квантовой электродинамике введение массы фотона не нарушает перенормируемссти. Если мы будем придерживаться распространенного мнения, что в теории с более высокой симметрией число расходимостей уменьшается, то логично рассматривать как член мультиплета калибровочных полей. Подходящей группой симметрии является SU (2); при этом локальная инвариантность будет явно нарушаться массовыми членами, входящими в W. Это могло бы обеспечить универсальность

связи W. Поскольку калибровочные поля SU (2) должны образовывать триплет, необходимо ввести третье нейтральное векторное поле. Такая модель, уточненная соответствующим образом, является, как мы покажем, перенормируемой.

Для полноты картины упомянем другую причину, которая исторически обусловила введение массовых векторных полей Еще в начале 60-х гг. предлагалось строить теорию сильных взаимодействий на основе калибровочного принципа. В качестве группы инвариантности выбиралась соответствующая унитарной SU (3) симметрии и сохранению барионного заряда. Векторные бозоны — массивные калибровочные поля — отождествлялись с частицами

Интересной особенностью такой модели является то, что между частицами с антипараллсльными изоспинами в ней возникает притяжение, а при параллельных изоспинах — отталкивание, что представляет собой обобщение электромагнитного взаимодействия между противоположными зарядами Такое свойство согласуется с экспериментальными данными при низких энергиях.

РИС. 12.10. Амплитуда рассеяния в низшем порядке

Чтобы убедиться в наличии такого свойства, вычислим амплитуду упругого рассеяния двух скалярных частиц, принадлежащих вещественным представлениям (1) и (2) простой группы Ли. Вклад низшего порядка (обмен квантом векторного поля, как показано на рис 12.10) обусловлен следующими членами лагранжиана:

    (12.181)

где — антисимметричная матрица, причем . Этот вклад дается выражением

    (12-182)

Величина

должна быть спроектирована на неприводимые представления. Для этой цели введем матрицы Клебша— Гордана для произведения представлений (1) и (2). Если — размерности этих представлений, то -матрицы удовлетворяют следующим соотношениям ортогональности и полноты:

и преобразуются по представлению

    (12.184)

При этом нетрудно показать, что записывается через операторы Казимира для представлений (1) и (2) и (t) [см. (12.119)] в виде

    (12.185)

Собственные значения оператора Казимира возрастают с ростом размерности представления Например, в случае SU (2) симметрии представлению с изоспином соответствует Желаемое свойство следует из положительности величины в физической области.

Это вычисление перекрестной матрицы, относящейся здесь к внутренним степеням свободы, аналогично правилам перестановки Фирца, описанным в гл. 3 (см т. 1 настоящей книги).

Из данной модели, рассмотренной Сакураи, можно получить также ширины векторных бозонов Пренебрежем смешиванием (которое улучшает результаты вычислений) и свяжем окгегы калибровочно-инвариантным образом В борцовском приближении амплитуда -волны в упругих и -каналах записывается в виде

где - импульс в системе центра масс, а для трех каналов соответственно. Унитарную амплитуду можно построить следующим образом:

где величина (умноженная на 1/2 в силу тождественности частиц ) представляет собой фазовый фактор. Эта амплитуда имеет полюс при соответствующий резонансу с шириной Полагая находим Эти значения довольно хорошо согласуются с экспериментальными значениями (соответственно 125, 50 и 3,2).