12.4.3. Рекурсивный метод построения контрчленов

В предыдущем рассмотрении неявно подразумевалось, что в теории проведена размерная регуляризация. Здесь мы хотим перенормировать теорию таким способом, который не нарушит полученные выше тождества. Как и при вычислении в однопетлевом приближении в разд 12.3, удобно выполнить минимальную перенормировку, определение которой дано в разд. 8.4.4 Иными словами, мы ограничимся устранением членов, расходящихся при Проводя вычисление последовательно, порядок за порядком по 4, мы можем написать следующее равенство:

    (12.149)

где Грег вычисляется с учетом всех контрчленов низших порядков. Можно сформулировать более физические условия, требуя, однако, их согласованности с тождествами (12.144) и (12.145).

Из (12.147) следует, что все функционалы зависят от К и только через комбинацию Воспользуемся компактным обозначением

Тождества (12.147), которым удовлетворяет степенной ряд

в порядке по запишутся в виде

    (12.151)

Наша задача состоит в том, чтобы найти контрчлены, такие, что перенормированное удовлетворяло бы условию

    (12.152)

Будем следовать рекурсивному методу. В низшем порядке сводится к выражению

    (12.153)

которое, конечно, удовлетворяет условию (12.152). В первом порядке имеем

    (12.154а)

Уравнение (12.154 б) есть не что иное, как тождество (12.152) при а (12.154а) определяет структуру контрчлена первого порядка Для того чтобы сократить расходящийся член, предлагается модифицировать I следующим образом:

    (12.155)

Однако рекурсивный метод применим только в том случае, если перенормированное действие удовлетворяет тому же условию

    (12.156)

как и само Это не так для модифицированного выражения (12.155), поскольку

Однако правая часть здесь имеет порядок . Таким образом, мы приходим к величине которая определяете выражением

где добавка представляет собой интеграл от локального полинома четвертой степени по полям, имеет порядок b? и определяется таким образом, чтобы удовлетворялось условие (12.156). Эта модификация, разумеется, не затрагивает величин первого порядка и, следовательно, оставляет конечным при прежнем условии нормировки.

Такая усложненность очень типична для симметрий, приводящих к нелинейным тождествам. Например, то же самое явление возникает в двумерной нелинейной о модели, рассмотренной в конце главы 11.

Структуру добавки Д можно получить, исходя из структуры Если мы сможем показать, что

    (12.157)

где

причем и т. д., то естественным выбором будет

Это новое действие удовлетворяет соотношению

Кроме того, если

    (12.159)

условие (12 156) удовлетворяется и рекурсивное доказательство можно продолжить Цель последующего обсуждения состоит в том, чтобы доказать справедливость соотношений (12 157) и (12.159)

Найдем общее решение уравнения

    (12.160)

которому удовлетворяет расходящаяся часть в данном порядке , когда учтены все контрчлены более низкого порядка оператор а который обобщает преобразование Бекки—Рюэ — Стора, является нильпотентным

    (12.161)

Это нетрудно показать, если записать а в виде

где антикоммутирующие переменные были обозначены соответственно как х и 0; в нашей задаче . При этом (12.161) следует из условия

    (12.162)

В явной записи имеем

Первая скобка обращается в нуль вследствие антикоммутативности, а два оставшихся члена — в силу соотношения (12 162) С другой стороны любой калибровочно инвариантный функционал зависящий только от А, удовлетворяет условию

Следовательно, решение уравнения можно запивать в виде

Можно показать что данное выражение является общим решением уравнения для даже в том случае когда к исходному лагранжиану добавляются дополнительные источники связанные с составными калибровочно инва риантными операторами Однако в данном случае это можно доказать непо средсгвенной проверкой, используя факт, что подсчет степеней а сохранение числа духов приводят к следующему выражению для

В этом выражении размерность равна четырем, а размерность равна единице и таким образом эти величины имеют самое большее линейную за висимость от A a являются числами. Если предположить что глобальная симметрия не нарушается (выбором калибровки), то справедливы следующие выражения

где — некоторые числа Подстановка этих выражений в (12 160) дает

Частное решение второго уравнения имеет вид

а общее решение получается путем добавления калибровочно инвариантного функционала от А степени 4, т. е. кратного лагранжиану X (А)

В итоге получаем следующее выражение для

    (12.164)

где имеют порядок . Простые алгебраические преобразования и использование свойства однородности X,

позволяют нам переписать Г в виде

    (12.165)

что и представляет собой искомый результат Все контрчлены возникают за счет перенормировки параметров исходного действия Более того, А и L перенормируются одинаковым образом Если, согласно гипотезе рекурсивности действие перенормированное вплоть до порядка записать в виде

то мы непосредственно доказываем, что

    (12.166)

где

На этом завершается доказательство по индукции.

Мы показали, что неабелевы калибровочные теории можно перенормировать и сохранить калибровочную инвариантность, выражаемую тождествами Славнова—Тейлора (12.144) и (12.145). К счастью, все операции сводятся к перенормировкам волновой функции и константы связи Мы получаем конечные функции Грина, если действие имеет вид

    (12.167)

где используются те же обозначения, что и в (12.158), причем с учетом отсутствия перенормировки калибровочного члена (для линейной функции ) Как следует из (12.167), функции Грина перенормируются мультипликативно:

и удовлетворяют тождествам (12.144) и (12.145). После того как мы завершили это доказательство, вполне можно опустить дополнительные источники К и L в обоих соотношениях (12.167) и (12.168).

Предыдущее рассмотрение обобщается на случай, когда имеются поля материи, взаимодействующие минимальным образом. Нели присутствуют фермионные поля, то предположим на время, что в члены, описывающие взаимодействия, не входит матрица (это ограничение мы обсудим в разд. 12.4.5). Размерная регуляризация по-прежнему приводит к конечной теории, преобразование Бекки—Рюэ—Стора и тождества (12.147) можно обобщить, и, как следует из наших вычислений в однопетлевом приближении, остаются справедливыми соотношения, аналогичные (12.167) и (12.168). Решающим обстоятельством, конечно, является универсальность перенормировки константы связи.

Компактная формулировка тождеств Уорда, возможно, делает неясными простые Факты. Подчеркнем, что результаты, найденные при вычислениях в однопетлевом приближении, представляют собой очевидные следствия уравнений

(12.147), Например, если переобозначить контрчлены как в (12.124), нетрудно заметить, что из соотношения (12 167) следует, что

во всех порядках. С помощью уравнения (12 147) можно также показать, что поправки к обратному пропагатору являются поперечными во всех порядках.

Другая регуляризация, исследованная Ли и Зинн-Жюстеном, основана на введении в исходный лагранжиан высших ковариантных производных . Это улучшает поведение калибровочных полей при больших импульсах, а также приводит к тому, что любые диаграммы, имеющие более чем одну петлю, становятся конечными. Однопеглевые диаграммы должны быть независимо регуляризованы калибровочно инвариашним образом

Читатель может выполнить программу перенормировки в аксиальной калибровке; удобно написать условие вводя в континуальный интеграл множитель Лагранжа Хотя в этом случае духовые поля не имеют реальных связей с калибровочным полем, их введение позволяет нам применить несколько модифицированное преобразование Бекки—Рюэ — Стора и вывести ряд тождеств.