11.5.3. Общие свойства

Явление, проанализированное в рамках -модели, оказывается общим для всех теорий, в которых фермионы связаны с аксиальными токами. Оно возникает, когда мы пытаемся удовлетворить одновременно аксиальному и векторному тождествам Уорда. Это явление открыл Швингер в 1951 г., Адлер изучил его подробно в электродинамике, а Белл и Джекив — в -модели.

Проверим в электродинамике соотношение

утверждающее, что в присутствии фермионного массового члена сохранение аксиального тока невозможно. В соотношении (11.214) аксиальный ток отличается множителем 2 от тока, рассмотренного выше. Следствием уравнения (11.214) является соотношение между функциями Грина (рис. 11.18), аналогичное (11.205):

    (11.215)

Определим для аксиального тока и псевдоскалярной плотности сильносвязные функции

    (11.216)

где нижний индекс Т означает, что фермионные пропагаторы усечены. Из (11.214) имеем

    (11.217)

Согласно нашим обычным обозначениям, представляет собой полный фермионный пропагатор, такой, что в низшем порядке

РИС. 11.18. Функция Грина с двумя векторными и одним аксиальным токами.

Уравнение (11.217) является аналогом тождества Уорда для вершинной функции (8.87):

Уравнение (11.217) могло бы означать общую мультипликативную перенормировку величин и с постоянной перенормировки

В действительности тождество (11.214) и его следствия (11.215) и (11.217) невозможно проверить по теории возмущений. Как мы видели на примере -модели, они изменяются из-за аномалий, вносимых треугольными диаграммами. Вычисления, проведенные в предыдущем разделе, нетрудно обобщить на рассматриваемый случай, причем результат запишется в виде

    (11.219)

что является подправленным вариантом соотношения (11.215) в приближении одной петли. В операторной форме аномалия имеет вид

    (11.220)

Аналогичным образом изменяется и соотношение (11.217):

    (11.221)

Из равенств (11.221) при нулевом импульсе можно найти, что для константа перенормировки по-прежнему равна единице. Однако это уже не справедливо по отношению к Нарушение киральной инвариантиости теперь происходит за счет компоненты т. е. является жестким.

В том же духе можно рассмотреть структуру аномалий в перенормируемой теории, когда фермионные поля переносят индексы внутренней симметрии и связаны с векторными, аксиальными, скалярными и псевдоскалярными полями. Общий вывод состоит в том, что к аномалиям приводят только те диаграммы, в которых к фермионным петлям присоединены векторные и аксиальные токи, причем число аксиальных токов нечетно.

РИС. 11.19. Однопетлевые фермионные диаграммы, приводящие к аномалиям в аксиальных тождествах Уорда.

Более того, любая петля, содержащая скалярную или псевдоскалярную связь, может быть исключена с помощью подходящего вычитания. Если потребовать сохранения нормальных тождеств Уорда для векторных токов, то диаграммы на рис. 11.19 приведут к аномалиям для аксиальных токов. Как и в случае «треугольной» диаграммы, при проверке тождества мы будем иметь дело с расходящимися интегралами в диаграммах вплоть до пятиугольной.

Пусть — соответственно векторное и аксиальное поля, рассматриваемые как матрицы, действующие на индексы внутренней симметрии фермионов таким образом, что лагранжиан взаимодействия имеет вид

    (11.222)

Соответствующие токи

также являются матрицами по индексам внутренней симметрии. Предположим, что векторные тождества Уорда записываются

в обычном виде

    (11.224)

В то же время для аксиального тока имеют место аномальные соотношения

    (11.225)

В этих выражениях через обозначены наивные выражения для дивергенций токов, а тензоры полей определены следующим образом:

Если соответствующие операторы перенормировать надлежащим образом, то ни структура, ни коэффициент аномальных членов в таких выражениях, как (11.213), (11.221) или (11.225), не будут изменяться за счет поправок высших порядков. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим в качестве примера электродинамику. Будем исходить из того, что существует регуляризация фотонного пропагатора, например, в виде такая, что все интересующие нас диаграммы, за исключением однопетлевых, оказываются сходящимися. В самом деле, новый подсчет степеней расходимости для диаграммы, имеющей ЕР внешних фермионных линий, фотонных линий или вставок токов и L петель, дает . Следовательно, амплитуды с 2 будут сходиться. Естественно, что стандартная программа перенормировки квантовой электродинамики устраняет все внутренние расходимости. Эта регуляризация калибровочно-инвариантна и не меняет структуры аксиального тока. Таким образом, аномалии возникают единственно из-за однопетлевых поддиаграмм, которые только что рассматривались.

Заметим, что можно определить другой аксиальный ток, которому соответствует обычное тождество Уорда, но который нарушает калибровочную инвариантность. Например, в электродинамике такой ток имеет вид

    (11.227)

и удовлетворяет условию

    (11.228)

Эти различные возможности можно интерпретировать по-разному, Можно было бы построить оператор непосредственно полей и в присутствии

внешнего потенциала. Поскольку комбинация типа сингулярна в пределе предположим, что аргументы в ней отличаются на бесконечно малый пространственно-подобный интервал 8; при этом получим

    (11.229)

Этот новый оператор не является калибровочно-инвариантным. Согласно предложению Швингера, поправим его следующим образом. Умножим (11 229) на фазовый множитель, включающий интеграл от векторного потенциала по пространственно-подобному пути от х до вдоль которого различные полевые компоненты коммутируют:

    (11.230)

Если использовать уравнения движения, то дивергенцию этого оператора можно записать в виде

В правой части второй плен сингулярен в пределе Вакуумный матричный элемент в присутствии внешнего поля ведет себя как и мы получаем прежнее предельное соотношение

    (11.232)

В присутствии электромагнитных взаимодействий аксиальная аномалия изменяет условие ЧСАТ [см. выражение (11.213)]. Добавочный член соответствует жесткому нарушению киральной симметрии и приводит к существенному изменению ренормализационных свойств аксиального тока. Вернемся к обсуждению -распада и запишем его амплитуду в виде

    (11.233)

Это выражение в соответствии с (11.213) можно представить также следующим образом;

Здесь второй матричный элемент в низшем порядке по а равен в то время как первый обращается в нуль в пределе Поэтому мы приходим к выражению

которое находится в согласии с (11.199). Благодаря тому что аномалия не перенормируется высшими порядками, эта низкоэнергетическая теорема фактически оказывается справедливой во всех порядках по а. Однако процедура экстраполяции в точку будет зависеть от порядка приближения.

Мы приходим к заключению, что аномалии не являются чем-то случайным, а естественно следуют из перенормировок, отражая более глубокие аспекты теории поля. В каждой решаемой модели мы в состоянии вычислить их явным образом, как, например, в швингеровской модели двумерной электродинамики с безмассовыми фермионами, которая имеет вычисляемую аномалию вида

Дополнительный свет на это явление проливает проблема аномальных размерностей в асимптотическом поведении (см. гл. 13).