9.1.3. Фермионные системы

Поскольку континуальные интегралы демонстрируют тесную связь между классической и квантовой механикой, то априори следует ожидать, что при обобщении этого метода на случай фермионов мы натолкнемся на трудности. К счастью, соответствующая схема в рамках антикоммутативной алгебры была развита Березиным. Мы уже использовали этот метод в гл. 4 (см. т. 1 настоящей книги).

Будем исходить из двухуровневой системы, описываемой двумя операторами а и удовлетворяющими соотношениям

Попытаемся найти представление для них в гильбертовом пространстве «аналитических функций». Аналогия с бесконечными рядами по z и , использованными выше для бозонов, подсказывает следующий ход действий. Рассмотрим ряд с комплексными коэффициентами по двум антикоммутирующим переменным т. е. таким, что

Эти ряды сводятся к полиномам вида

Система этих полиномов размерности может быть отождествлена с внешней алгеброй двумерного векторного пространства (порожденного однородными полиномами первой степени). Ассоциативное умножение определяется в соответствии с правилами (9.58). Введем также операторы линейного дифференцирования

Действие этих операторов на произвольный моном сводится к опусканию соответственно (в случае ) или (в случае ) при условии, что перенесена влево. Во всех остальных случаях дифференцирование дает нуль.

Определим подсистему аналитических функций, удовлетворяющих условию

откуда следует, что f зависит только от .

Заметим, что справедливы соотношения

Это означает, что полиномы по операторам дифференцирования имеют ту же структуру, что и исходная антикоммутативная алгебра. Легко видеть, что Читатель без труда найдет правильную формулу для дифференцирования произведения. Данную конструкцию нетрудно обобщить на случай нескольких степеней свободы. Для степеней свободы внешняя алгебра будет иметь размерность , а пространство аналитических функций - размерность .

Возвращаясь к случаю запишем аналитическую функцию в виде

и определим скалярное произведение

Здесь черта над скаляром означает комплексное сопряжение. Можно ли представить это скалярное произведение в виде интеграла, как в бозонном случае? Ответ является утвердительным, если отождествить дифференцирование и интегрирование следующим образом. Определим операцию интегрирования, исходя из условий

Благодаря свойству линейности эти условия достаточны, чтобы вычислить интеграл от произвольной функции (9.59). Если мы условимся также, что антикоммутируют и что правила (9.63) применяются, когда в парах величин или вторая следует за первой, мы увидим, что интегралы и производные действительно совпадают. Таким образом,

Поэтому интеграл от производной равен нулю . Данная процедура легко распространяется на случай нескольких степеней свободы

Мы можем произвести замену переменных под знаком интеграла. Если ограничиться на время линейными преобразованиями, которые автоматически учитывают структуру (9.58), т. е. имеют вид

где А — несингулярная с-числовая матрица, то подстановка в любой полином Р дает

и, в частности,

В результате мы имеем

Это правило отличается от обычного в том смысле, что якобиан входит сюда в минус первой степени, поскольку

Необходимо выбрать базис, допускающий определение аналитических функций. Определим комплексное сопряжение как

Мы убеждаемся далее, что скалярное произведение можно записать

аналогичном формуле (9.38) для бозонов. Мы имеем теперь следующее представление для через пару взаимно сопряженных операторов:

Очевидно, что . Кроме того,

Таким образом, мы имеем

а также

Вообще говоря, линейному оператору, действующему в пространстве аналитических функций, можно сопоставить некоторое интегральное ядро. Рассмотрим ортонормированные состояния соответствующие функциям , такие, что . Запишем выражения

    (9.69)

Как и в случае бозонов, мы представим оператор проектирования на основное состояние в виде

и перепишем А в нормальной форме:

    (9.71)

Соответствующее нормальное ядро

связано с ним с помощью соотношения

Например, ядро единичного оператора равно , и мы имеем

тогда как произведение операторов дается выражением

Аналог формулы (9.56) для интегралов Гаусса имеет вид

Близкая аналогия со случаем бозонов позволяет записать непосредственно континуальный интеграл для амплитуды перехода. Пусть нормально упорядоченный гамильтониан фермионной системы. Соответствующее нормальное ядро получается подстановкой вместо , а в тем же порядке. Следовательно, ядро оператора эволюции можно записать в виде

В качестве упражнения рассмотрим движение кванта со спином 1/2, подверженного действию постоянного поля В, направленного вдоль оси Основное состояние определяется как состояние, отвечающее значению проекции

спина Гамильтониан имеет вид где —гиромагнитное отношение. Из выражения (9 77) имеем

Отметим аналогию со случаем гармонического осциллятора. Наше рассмотрение можно обобщить на случай поля, зависящего от времени, включая, в частности, поперечное поле, вращающееся с частотой .

Замечательным свойством соотношения (9 76) является то, что интеграл от квадратичной формы здесь также определяется (с точностью до множителя) значением на «экстремальной траектории», т. е. значением на траектории, отвечающим стационарному значению показателя экспоненты.