Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
13.2.2. Модифицированные тождества УордаПроизведем поворот Вика и изучим теорию в евклидовой области. Для нашей задачи, касающейся исследования поведения амплитуд на малых расстояниях, это не налагает никаких ограничений. Запишем нормированный производящий функционал в виде
Действие 1 в евклидовой области можно записать в виде суммы двух вкладов:
В этом случае масштабное преобразование
Изменение меры включено в нормировку, и в результате мы снова получаем наивное тождество Уорда в виде
Член, содержащий (13.49) изменит свой вид вследствие перенормировки. В большинстве случаев, обсуждавшихся нами выше, таких, например, как калибровочная инвариантность или глобальные симметрии, нам удавалось ввести регуляризационную и перенормировочную схемы, сохраняющие симметрию и, следовательно, тождества Уорда. Однако наличие киральных аномалий следует рассматривать как предостережение о том, что в квантовом случае возможны модификации. Прежде чем разбирать упомянутые модификации, упростим алгебраическую структуру уравнения (13.49), переписав его в виде
Преобразование Лежандра к неприводимым функциям в евклидовых переменных определяется формулами (6.97) (см. т. 1 настоящей книги):
причем
где предполагается, что ядра
При этом уравнение (13.50) принимает вид
Разложите правую часть уравнения (13.53) по степеням оператора В нулевом порядке по
Заметим, что уравнение (13.53) действительно удовлетворяется, поскольку разность
и можно формально представить
Поскольку
выполняется соотношение
и уравнение (13.53) было бы удовлетворено, если бы не возникало необходимости делать ультрафиолетовые вычитания. Функционал
можно рассматривать как производящий функционал для неприводимых функций Грина, содержащих вставку оператора
РИС. 13.4. Массовая вставка в однопетлевом приближении. Это очевидным образом следует из уравнения (13.49), в котором член Подсчет степеней показывает, что такая вставка дает логарифмические расходимости в двухточечную функцию в первом порядке по Грина
здесь Проводя регуляризацию с помощью параметра обрезания
где в правой части зависимость от параметра обрезания Регуляризованный производящий функционал массовых вставок дается выражением
На данном этапе можно заняться изучением масштабных аномалий. Вариация массы
Из (13.60) и (13.61) следует, что
в то время как обычный анализ размерностей подразумевает справедливость уравнения
Это позволяет нам переписать выражение (13.63) в виде
Забегая вперед, предположим, что в левой части безразмерные коэффициенты имеют конечный предел при
Они указывают на то, что производные берутся при фиксированном значении Из обсуждения, проведенного в гл. 8, следует, что массовые вставки перенормируются мультипликативно. Существует константа
причем
при некотором хорошо определенном нормировочном условии на массовую вставку. Опуская нижний индекс R, получаем уравнение Каллана — Симанзика в окончательном виде
Сравнивая это выражение с некорректной формулой (13.53), в которой не учтена перенормировка, мы видим, что оно отличается от последней членами, включающими коэффициенты и Сначала заметим, что они аналогичны киральным аномалиям, модифицирующим классическое тождество Уорда. Коэффициент Чтобы доказать, что эти коэффициенты конечны, разложим (13.70) по степеням оператора
Для определенности дополним условия нормировки (13.59) требованием
которое выполняется в порядке и является достаточным, для того чтобы
из которых вытекает, что Вышеприведенные рассуждения в значительной степени основаны на использовании регуляризованной теории с устремленным к бесконечности параметром обрезания Выше мы обратили внимание читателя на интерпретацию уравнений Каллана—Симанзика, связанную с модификацией тождесш Уорда, соответствующих нарушенной масштабной инвариантности Это действительно полезный аспект уравнений Каллана—Симанзика Однако их можно интерпретровать и как ренормгрупповые уравнения Например, в безмассовой теории это достигается тем, что масштабному преобразованию подвергаема точка вычитания
Ясно также, что этот вывод можно обобщить и на друше перенормируемые теории В случае нескольких безразмерных констант связи функция
Поскольку
имеем
где Уравнение (13.71) можно сравнить с аналогичным уравнением в электродинамике (13.28) Отметим что в электродинамике существует соотношение между Проведенный выше анализ можно гакже обобщить на функции, включающие составные операторы Каждый набор операторов, имеющих одинаковые размерности, мультипликативно перенормируется с помощью матрицы перенормировок Z [см. (8 69)] Сильносвязные функции (возьмем для простоты безмассовую теорию) удовлетворяют уравнению
причем
Смысл различного выбора знаков в выражениях (13.67) и (13.75) мы разъясним ниже
|
1 |
Оглавление
|