13.2.2. Модифицированные тождества Уорда

Произведем поворот Вика и изучим теорию в евклидовой области. Для нашей задачи, касающейся исследования поведения амплитуд на малых расстояниях, это не налагает никаких ограничений. Запишем нормированный производящий функционал в виде

    (13.47)

Действие 1 в евклидовой области можно записать в виде суммы двух вкладов:

В этом случае масштабное преобразование можно рассматривать как простую замену переменной интегрирования, при которой

Изменение меры включено в нормировку, и в результате мы снова получаем наивное тождество Уорда в виде

Член, содержащий можно было бы заменить производной по источнику оператора Естественно ожидать, что уравнение

(13.49) изменит свой вид вследствие перенормировки. В большинстве случаев, обсуждавшихся нами выше, таких, например, как калибровочная инвариантность или глобальные симметрии, нам удавалось ввести регуляризационную и перенормировочную схемы, сохраняющие симметрию и, следовательно, тождества Уорда. Однако наличие киральных аномалий следует рассматривать как предостережение о том, что в квантовом случае возможны модификации.

Прежде чем разбирать упомянутые модификации, упростим алгебраическую структуру уравнения (13.49), переписав его в виде

    (13.50)

Преобразование Лежандра к неприводимым функциям в евклидовых переменных определяется формулами (6.97) (см. т. 1 настоящей книги):

причем

где предполагается, что ядра являются обратными по отношению друг к другу. Чтобы упростить обозначения, введем следующие величины:

При этом уравнение (13.50) принимает вид

    (13.53)

Разложите правую часть уравнения (13.53) по степеням оператора и получите соответствующее тождество для -точечной неприводимой функции.

В нулевом порядке по уравнение (13.53) сводится к тривиальным случаям, встречающимся при обсуждении классической теории (с точностью до поворота Вика)

    (13.55)

Заметим, что уравнение (13.53) действительно удовлетворяется, поскольку разность имеет порядок h, в чем легко убедиться, восстанавливая факторы . В первом порядке эту величину можно записать следующим образом:

и можно формально представить в виде

Поскольку

выполняется соотношение

и уравнение (13.53) было бы удовлетворено, если бы не возникало необходимости делать ультрафиолетовые вычитания.

Функционал

    (13.58)

можно рассматривать как производящий функционал для неприводимых функций Грина, содержащих вставку оператора

РИС. 13.4. Массовая вставка в однопетлевом приближении.

Это очевидным образом следует из уравнения (13.49), в котором член возникает из континуального интеграла по . Соотношение (13.57) представляет собой проверку этого утверждения в первом порядке по На рис. 13.4 показано соответствующее разложение в диаграммном представлении. Будем называть это массовой вставкой.

Подсчет степеней показывает, что такая вставка дает логарифмические расходимости в двухточечную функцию в первом порядке по На языке операторов этому соответствует функция

Грина Уточним наши условия нормировки. До тех пор пока это не приводит к каким-либо осложнениям, удобно использовать промежуточную перенормировку при нулевом импульсе:

    (13.59)

здесь пропорционально, но не равно физической массе.

Проводя регуляризацию с помощью параметра обрезания и добавляя в лагранжиан необходимые контрчлены, мы, очевидно, модифицируем тождества Уорда, отвечающие масштабным преобразованиям Соотношение между регуляризованными и перенормированными неприводимыми функциями Грина записывается в виде

    (13.60)

где в правой части зависимость от параметра обрезания входит в константу перенормировки волновой функции Z, в голую массу , и в голую константу связи но комбинация имеет конечный предел, когда а фиксируются. Согласно обычному анализу размерностей величины зависят от только через комбинацию

Регуляризованный производящий функционал массовых вставок дается выражением

    (13.61)

На данном этапе можно заняться изучением масштабных аномалий. Вариация массы при фиксированных и А подразумевает, что вариации перенормированных параметров удовлетворяют условию

    (13.62)

Из (13.60) и (13.61) следует, что

    (13.63)

в то время как обычный анализ размерностей подразумевает справедливость уравнения

Это позволяет нам переписать выражение (13.63) в виде

Забегая вперед, предположим, что в левой части безразмерные коэффициенты имеют конечный предел при и фиксированных . Опять-таки из соображений размерности в этом пределе они могут зависеть только от g. Введем следующие обозначения:

Они указывают на то, что производные берутся при фиксированном значении . Естественно, подразумевается переход и это означает, что при вычислении по теории возмущений необходимо пренебрегать всеми вкладами, обращающимися в нуль при бесконечном увеличении параметра обрезания.

Из обсуждения, проведенного в гл. 8, следует, что массовые вставки перенормируются мультипликативно. Существует константа , такая, что

    (13.68)

причем является конечной величиной. Предполагая, что предел существует, определим величину следующим образом:

    (13.69)

при некотором хорошо определенном нормировочном условии на массовую вставку.

Опуская нижний индекс R, получаем уравнение Каллана — Симанзика в окончательном виде

    (13.70)

Сравнивая это выражение с некорректной формулой (13.53), в которой не учтена перенормировка, мы видим, что оно отличается от последней членами, включающими коэффициенты

и . Прежде чем доказывать, что они являются конечными, объясним их физический смысл.

Сначала заметим, что они аналогичны киральным аномалиям, модифицирующим классическое тождество Уорда. Коэффициент можно рассматривать как зависящую от константы связи - добавку к размерности поля. Член возникает из-за наличия в соотношении, связывающем g и размерного параметра обрезания . Это означает, что инфинитезимальное масштабное преобразование должно сопровождаться небольшим изменением константы связи. Наконец, коэффициент можно устранить a posteriori конечной перенормировкой массовой вставки.

Чтобы доказать, что эти коэффициенты конечны, разложим (13.70) по степеням оператора (в случае -теории по четным степеням). В импульсном представлении получаем

    (13.71)

Для определенности дополним условия нормировки (13.59) требованием

    (13.72)

которое выполняется в порядке и является достаточным, для того чтобы было конечным. Рассматривая уравнение (13.71) в окрестности точки при находим два соотношения:

из которых вытекает, что являются конечными. При этом из уравнения (13.71) следует, что ) есть также хорошо определенная величина. Подчеркнем, что эти коэффициенты, говоря, зависят от нормировочных условий. В практических вычислениях иногда выгодно использовать условия (13.66), (13.67) и (13.69), которые связывают данные коэффициенты с расходимостями теории возмущений. Отсюда следует, что в низшем порядке коэффициенты и у на самом деле ни от каких условий не зависят.

Вышеприведенные рассуждения в значительной степени основаны на использовании регуляризованной теории с устремленным к бесконечности параметром обрезания . У скрупулезного читателя могло возникнуть подозрение, что этого окольного пуги можно избежать и вывести уравнение (13.70) в рамках конечной перенормированной теории. Однако в таком подходе отсутствуют интуитивные предпосылки. С другой стороны, уравнения Каллана—Симанзика могут служить в качестве непосредственной основы для построения перенормированной теории.

Выше мы обратили внимание читателя на интерпретацию уравнений Каллана—Симанзика, связанную с модификацией тождесш Уорда, соответствующих нарушенной масштабной инвариантности Это действительно полезный аспект уравнений Каллана—Симанзика Однако их можно интерпретровать и как ренормгрупповые уравнения Например, в безмассовой теории это достигается тем, что масштабному преобразованию подвергаема точка вычитания , а не импульсы, в результате чего уравнение (13.71) принимает вид

Ясно также, что этот вывод можно обобщить и на друше перенормируемые теории В случае нескольких безразмерных констант связи функция становится векторным полем В калибровочных теориях, как абелевых, так и нсабелсвых, функции Грина зависят, вообще говоря, от калибровочного параметра X, и в левой части уравнения (13.71) появляется новый член , в котором

Поскольку связано с константой перенормировки волновой функции калибровочного поля соотношением

имеем

где — аномальная размерность В неабелевых теориях последняя величина так же как и аномальные размерности других полей материи, зависит от X Как отмечалось в гл 12, такая зависимость не возникает , по крайней мере при определенном выборе нормировлных условий

Уравнение (13.71) можно сравнить с аналогичным уравнением в электродинамике (13.28) Отметим что в электродинамике существует соотношение между и аномальной размерностью электромагнитного поля у. Это есть следствие тождества Уорда.

Проведенный выше анализ можно гакже обобщить на функции, включающие составные операторы Каждый набор операторов, имеющих одинаковые размерности, мультипликативно перенормируется с помощью матрицы перенормировок Z [см. (8 69)] Сильносвязные функции (возьмем для простоты безмассовую теорию) удовлетворяют уравнению

причем

Смысл различного выбора знаков в выражениях (13.67) и (13.75) мы разъясним ниже