11.3. АЛГЕБРА ТОКОВ

11.3.1. Коммутаторы токов

Слабые взаимодействия приводят к необходимости детального изучения структуры и свойств адронных токов. В феноменологическом плане эти взаимодействия хорошо описываются эффективным лагранжианом ток

где G — константа Ферми, равная

    (11.63)

Полный ток есть сумма лептонного и адронного токов:

    (11.64)

Если пренебречь вкладом недавно открытого массивного лептона, то в лептонный ток будут входить только левоспиральные компоненты электрона мюона и нейтрино

    (11.65)

Адронный же ток состоит из сохраняющей странность и изменяющей странность частей:

    (11.66)

где - угол Кабиббо, приближенно равный

    (11.67)

Такое разбиение подразумевает, что мы можем соотнести масштаб различных составляющих, отвечающих за переходы с различными квантовыми числами. Существование такого общего масштаба обеспечивается нелинейной алгеброй коммутаторов токов.

Каждый из этих токов, как и лептонный, представляет собой суперпозицию векторной и аксиальной частей. В рамках унитарной симметрии они образуют октеты токов, обозначаемых причем

Читатель не должен путать применяемое здесь обозначение , для аксиального тока с обозначением для потенциала в электродинамике.

Слабое взаимодействие токов, дополненное этими гипотезами, приводит к замечательным свойствам универсальности. Рассмотрим, например, матричный элемент, измеряемый в -распаде нейтрона:

    (11.69)

В правой части формфакторы вычисляются при нулевом передаваемом импульсе ввиду малого различия масс нейтрона и протона. С однопроцентной точностью наблюдаемое значение совпадает с соответствующим значением, измеряемым в распаде мюона. Значение константы G в (11.63) получается из распада

мюона с учетом радиационных поправок. Наиболее точные измерения для сильно взаимодействующих частиц обычно проводятся в разрешенных (-переходах между состояниями ядер ). При этом учитываются различные тонкие эффекты, такие, как радиационные поправки, наличие угла Кабиббо и т. п. Приведем некоторые значения, полученные сравнительно недавно:

Тот факт, что не перенормируется сильными взаимодействиями, находит естественную интерпретацию, если вслед за Гелл-Манном и Фейнманом мы предположим, что векторный ток сохраняется и генерирует унитарную симметрию адронов. Иными словами, являются составляющими изоспинового тока, а сохраняется приближенно, если пренебречь нарушением -симметрии. Следовательно, адронный электромагнитный ток можно записать в виде где для удобства сравнения мы опустили множитель в определении Данная гипотеза возникла как обобщение известного свойства электродинамики, состоящего в том, что сохранение тока приводит к универсальной перенормировке заряда. Напомним (см. гл. 7 и 8), что тождество Уорда, выражающее закон сохранения, показывает, что перенормировка заряда целиком обусловлена поляризацией вакуума. Все взаимодействия фермионов дают вклад лишь в перенормировку волновой функции с константой

Таким образом, определенные составляющие векторного адронного слабого тока и изовекторная часть электромагнитного токр входят в один и тот же мультиплет и одновременно сохраняются. Эту гипотезу Гелл-Манна и Фейнмана о сохраняющемся векторном токе (СВТ) можно проверить, сравнивая вероятности слабого и электромагнитого распадов частиц, входящих в один изоспиновый мультиплет. Из физики частиц нам известны ширины распадов . В силу того что передаваемый импульс ничтожно мал, амплитуды этих распадов можно нормировать непосредственна на электрический заряд посредством соответствующего поворота матричных элементов в изоспиновом пространстве. При этом предсказывается следующее значение ширины распада:

где вкладами порядка мы пренебрегли. Это значение следует сравнить с экспериментальным результатом

В ядерной физике можно также выполнить точную проверку справедливости гипотезы СВТ.

Напротив, аксиальный ток не сохраняется даже в пределе точной -симметрии. Это находится в соответствии с тем фактом, что аксиальная константа связи, измеряемая в -распаде, вовсе не равна векторной константе:

    (11.70)

Однако мы можем изучать приближение, в котором аксиальные токи будут сохраняться, по крайней мере те, что не изменяют странность Это соответствует требованию инвариантности относительно дополнительной группы киральных преобразований генерируемой зарядами .

Если для описания адронов в качестве фундаментальных динамических переменных использовать кварковые поля, то можно получить следующие выражения для токов:

    (11.71)

Для этих токов можно вычислить одновременные коммутационные: соотношения; это же справедливо для соответствующих зарядов:

    (11.72)

Гелл-Манн постулировал, что эти коммутационные соотношения, выведенные в рамках модели кварков, остаются справедливыми независимо от предположения о кварковой структуре адронов. Если SU (3) не является точной симметрией, некоторые из зарядов могут зависеть от времени, однако вид алгебры одновременных коммутаторов при этом не изменяется

    (11.73)

Мы видим, что данные коммутационные соотношения образуют алгебру Ли группы . Это легко проверить, если построить лево- и правосторонние комбинации генераторов

    (11.74)

которые подчиняются следующим правилам коммутации:

Обычная унитарная группа входит в как диагональная подгруппа, а оператор четности переводит эти два набора зарядов друг в друга:

    (11.76)

Поскольку алгебра этих зарядов нелинейна, с ее помощью можно придать ясный смысл концепции универсальности. Например, из соотношения

    (11.77)

следует, что матричный элемент коммутатора в левой части, входящий в слабую амплитуду, универсально нормирован относительно изоспиновых состояний.

Соотношения (11.73) можно обобщить в два этапа. Вначале мы можем написать коммутационные соотношения между зарядами и токами, выражающие трансформационные свойства операторов VV и V относительно преобразований . Из кварковой модели следует, что токи принадлежат представлению

Беря интегралы от соотношений (11.78) по пространственным координатам, мы снова придем к коммутационным соотношениям между зарядами.

На втором этапе, исходя снова из кварковой модели, можно вывести одновременные коммутаторы для временных составляющих:

Данные соотношения между временными составляющими, по-видимому, выполняются с высокой степенью достоверности и в общем случае. Однако это уже не так, если попытаться продвинуться дальше и включить в рассмотрение все составляющие. При этом появятся члены с производными от -функции. Например, мы получаем

    (11.80)

Такие дополнительные члены были первоначально введены Швингером при обсуждении сохраняющегося электромагнитного тока [-симметрия]. В данном случае предположим, что справедливо соотношение вида

    (11.81)

В правой части каких-либо вкладов от -функции мы не имеем, поскольку структурные константы в этом абелевом случае равны нулю Таким образом,

    (11.82)

В силу сохранения тока это также означает, что

Вычисляя вакуумное среднее этой величины и вставляя полный набор собственных состояний оператора энергии, приходим в пределе к следующему равенству:

    (11.84)

Из свойства положительности энергии мы заключаем, что обращается в нуль! По крайней мере в этом случае швингеровские члены неизбежны.

Эти дополнительные вклады выпадают из коммутаторов получаемых интегрированием Ситуация оказывается даже более запутанной, когда дело касается одновременных коммутаторов пространственных составляющих, которые сильно зависят от модели и не будут рассматриваться в дальнейшем.

В разд. 5.1.7 (см. т. 1 настоящей книги) мы уже встречались с швингеровскими членами, когда пытались написать спектральные представления для вакуумного среднего хронологического произведения электромагнитных токов или их коммутатора. Мы обнаружили связь между швингеровским членом и локальной нековариантной разностью «наивного» хронологического произведения (Т) и его ковариантной версии (Г). Было найдено, что

    (11.85)

где -интеграл от спектральной функции:

    (11.86)

С Другой стороны, было также показано, что

    (11.87)

Если предположить существование такой же связи между швингеровскими членами и нековариантными частями «наивного» хронологического произведения (вклады диаграммы типа чайка) для произвольных токов и состояний, то эти нежелательные вклады будут сокращаться в окончательных выражениях, во шикающих в приложениях алгебры токов. В самом деле, типичный результат следует из тождества Уорда, которому удовлетворяет ковариантное хронологическое произведение

Если последний член компенсируется швингеровским членом, появляющимся из одновременного коммутатора, то мы можем их оба опустить, после чего это тождество сводится к своей «наивной» форме:

    (11.89)

Примем это как постулат. Тождество Уорда будет использоваться для того, чтобы получать низкоэнергетические теоремы и правила сумм всякий раз, когда имеется определенная информация о дивергенции тока Можно постулировать правило частичного сохранения аксиальных токов (ЧСАТ), точное содержание которого мы установим ниже. Однако покажем вначале, как можно проверять локальные коммутационные соотношения Это позволит нам ввести новый технический прием — так называемую систему бесконечно большого импульса Дирака, Фубини и Фурлана

Выбирая нуклонные состояния А и В с равными импульсами и усредняя но поляризациям нуклонов, определим величину

Поляр

Интегрирование по приводит к одновременному коммутатору

Поляр

    (11.91)

В типичных приложениях токи выбираются как векторные плотности или коммутаторы которых сводятся к

комбинациям Например,

    (11.92)

здесь — третья составляющая изоспина нуклона, а состояния нормированы в соответствии с условием

Ковариантную амплитуду можно разложить следующим

где -функции лоренц-инвариантных переменных

Следовательно,

    (11.94)

Если выбрать систему отсчета, в которой и потому то выражение (11.94) можно переписать в виде

    (11.95)

Интерпретация этого правила сумм все еще затруднена из-за его зависимости от . Вместо системы координат, в которой нуклон покоится, а потому разумнее выбрать предельную систему, В которой остается фиксированным, т. е.

Если допустить законность перестановки операций перехода к пределу и интегрирования, то можно написать

Вспоминая (11.91) и (11.92), видим, что мы получили сильное ограничение на амплитуду, поскольку из него, в частности, следует,

что левая часть полученного соотношения не зависит от . Этим подтверждается локальный характер алгебры токов.

Правило сумм этого типа имеет ряд приложений. Мы приведем здесь только некоторые из них. Если применить соотношение (11.97) к изоспиновым векторным токам то мы получим правило сумм Кабиббо — Радикати. Оно записывается в виде

Функции представляют собой изовекторные формфакторы нуклона, определяемые через матричный элемент электромагнитного тока следующим образом:

    (11.99)

Величины — это полные адронные сечения рассеяния «изовекторных» фотонов на нуклонах в каналах с полным изоспином соответственно 1/2 и 3/2.

РИС. 11.8. Инклюзивный процесс

Экспериментальные значения обеих частей выражения (11 99) находятся в хорошем согласии друг с другом. В единицах обратного квадрата массы пиона имеем

Инклюзивное сечение процесса Нейтрино [или антинейтрино Нуклен Лептон , где X — неидентифицированное адронное состояние (рис 11.8), записывается через структурные функции появляющиеся в выражении (11.93),

следующим образом:

    (11.101)

В этом процессе кинематические переменные v и q связаны с энергией Е входящего нейтрино, энергией Е конечного лептона и углом рассеяния в лабораторной системе соотношениями:

В экспериментах с лептонами высоких энергий их массами можно пренебречь Этим объясняется отсутствие в (11,101) функций и простое выражение для передаваемого импульса В гл. 13 мы изучим такие процессы более подробно.

При фиксированных и v, когда Е (а следовательно, и Е) растет, 0 стремится к нулю и величину сечения можно аппроксимировать единственным вкладом Следовательно,

Перекрестная симметрия приводит тогда к условию

    (11.104)

и алгебра токов позволяет написать правило сумм Адлера:

где — третья составляющая изоспина, Y — гиперзаряд частицы мишени и - угол Кабиббо Аналогичный результат можно получить для инклюзивных сечений неупругого рассеяния электрона которое описывается векторным током Однако, поскольку алгебра токов неприменима к изоскалярной части электромагнитного тока, предсказание, полученное Бьеркеном, представляет собой всего лишь ограничение на сумму сечений рассеяния электронов на нейтронной и протонной мишенях: