12.5.4. Перенормировка спонтанно нарушенных калибровочных теорий

Ясно, что калибровка (12.209), называемая унитарной, поскольку она включает в себя только физические степени свободы, не удобна для изучения перенормировки, вследствие того, что в этой калибровке пропагатор при больших импульсах ведет себя плохо. Следует вернуться к первоначальной калибровке, в которой перенормируемость более очевидна, но тогда придется показать, что нефи зические состояния не дают вклада в -матрицу.

Здесь используется та же идея, что и в случае спонтанно нарушенной о-модели (гл. 11). Перенормировка не зависит от того, является ли симметрия точной или спонтанно нарушенной. Для простоты проведем анализ для группы и вещественного скалярного векторного мультиплета Полный лагранжиан, включающий в себя калибровочные и духовые члены, запишется в виде

    (12.214)

Для того чтобы избежать путаницы с калибровочным параметром, константу связи при члене мы обозначили через При поле Ф имеет вакуумное среднее Надо показать, что контрчлены симметричной теории вполне достаточны, для того чтобы нарушенная теория с точностью до перенормировки стала конечной. Как и в гл. 11, нельзя просто продолжить от положительных значений к отрицательным, поскольку точка не является точкой аналитичности. В этой точке имеет место фазовый переход. Однако можно найти спасительный выход . Для этого нужно ввести малый внешний источник с, связанный с полем и постоянный во всем пространстве:

    (12.215)

Это явное нарушение приводит к вакуумному среднему v для параллельному с. Действительно, тождество, полученное в линейной -модели [выражение (11.170)], остается справедливым и здесь. Если обозначает обратный пропагатор для поперечной компоненты Ф, - при нулевом импульсе, то

    (12.216)

В низшем порядке это условие записывается как с и выражает тот факт, что при вакуумном среднем лагранжиан (12.214) является стационарным.

Доказательство перенормируемости основано на двух наблюдениях. Во-первых, как и в линейной -модели, производящие функционалы сильносвязных функций в симметричной и нарушенной теориях связаны соотношением:

    (12.217)

где

    (12.218)

Остальные аргументы величин такие, как здесь опущены. Мы подчеркиваем, что Г — это производящий функционал функций Грина, описывающих флуктуации относительно состояния несимметричного вакуума. Это тождество играет важную роль, поскольку нам уже известно, как следует перенормировать симметричную теорию. В разд. 12.4.3 мы получили

    (12.219)

Следовательно, при введении симметричных контрчленов нарушенная теория также становится конечной:

    (12.220)

если v и с перенормируются таким образом, что сохраняется конечность произведения и выполняется (12.218):

    (12.221)

Вторая наша забота связана с вариацией величины Из подсчета степеней следует, что в нарушенной теории такая вариация требует модификации одного лишь контрчлена . Тождество (12.217) показывает, что эта модификация оказывается также достаточной и для того, чтобы нарушенная теория стала конечной. В этом случае можно было бы считать, что вариация величины также требует модификации массового члена векторного

поля, что нарушило бы справедливость нашего доказательства. Однако из соотношения (12.217) следует, что такая модификация члена обусловлена лишь изменением зависимости величины v от

В заключение отметим, что можно достигнуть любой точки плоскости (рис. 12.12) и перенормировать соответствующую теорию с помощью контрчленов симметричной теории.

РИС. 12.12. Кривые, соответствующие постоянным в плоскости .

Перенормируем спонтанно нарушенную теорию задано (точка на рис. 12.12)], модифицируя только контрчлен для Вспомним также изображенные на рис. 11.14 диаграммы на -или -плоскостях.

Мы не выписали явно соответствующие условия нормировки различных сильносвязных функций. Их можно вывести, исходя из тождества (12.217) и условий нормировки симметричных функций. Этой промежуточной перенормировке мы предпочитаем более физические требования, например, определение константы связи как значения трехточечной функции в некоторой точке на массовой поверхности и т. п. Нет необходимости напоминать, что эти новые условия нормировки должны согласовываться с тождествами, выведенными из (12.217) и из тождеств, которым удовлетворяет величина

Можно сказать, что метод, которому мы здесь следовали, является экономным, поскольку он позволяет свести перенормировку спонтанно нарушенной теории к перенормировке ее более простого симметричного варианта. Однако можно вообще избежать ссылок на безмассовую ненарушенную теорию. При этом задача будет состоять в том, чтобы показать, что тождества Славнова—Тейлора, которым удовлетворяет спонтанно нарушенная теория, остаются справедливыми и после перенормировки.

Предыдущее рассмотрение проводилось нами в перенормируемой калибровке, когда не представляет труда сравнение нарушенной и ненарушенной теорий. Эта калибровка не удовлетворяет нас с физической точки зрения, так как приводит к нефизическим следствиям, например к возникновению безмассовых при Однако изучение перенормировки в унитарной калибровке, например такой, как и выражении (12.209), было бы затруднительным, поскольку теория выглядит неперенормируемой и теряется прямая связь с симметричной фазой.