13.3.3. Массовые поправки

Вернемся к вопросу о самосогласованности безмассовой асимптотической теории. Заметим, что при определении амплитуд теории возмущений в области больших импульсов мы пренебрегли главными вкладами Наличие этих вкладов отражает то, что в лагранжиане имеются члены, размерность которых меньше четырех, и соответствующие им константы связи положительной размерности в единицах энергии Как правило, эти члены являются массовыми Мы уже упоминали, что можно определить аномальные размерности составных операторов таких, как или

благодаря их мультипликативной перенормируемости. Предположим для простоты, что матрица перенормировок диагональна и имеет вид . Определим функцию

    (13.93)

Если - ультрафиолетовая фиксированная точка, то эффективная размерность оператора будет отличаться от канонической размерности в соответствии с соотношением

    (13.94)

где подразумевается только случай . Как правило, массовыми поправками можно пренебрегать до тех пор, пока удовлетворяется критерий Вилсона:

    (13.95)

Это условие будет автоматически выполняться в асимптотически свободной теории, в которой Напомним, однако, что логарифмические поправки все же портят каноническое поведение.

Весьма близкий по духу к вышеприведенному метод анализа данного вопроса был предложен Вайнбергом. В его методе вводятся контрчлены, не зависящие от перенормированной массы, с точностью до тривиальных размерных множителей Иными словами, последние не фиксируются явно. Такого результата можно добиться, используя размерную регуляризацию и перенормировку. При таком подходе в уравнении ренормгруппы уже нельзя пренебрегать членом, связанным с массовой вставкой. В -теорми решение соответствующего уравнения

    (13.96)

где

Покажите, что в низшем порядке вклад однопетлевой диаграммы на рис. 13.7 дает

РИС. 13.7. Массовая вставка низшего порядка в теории .

Когда условие соответствует условию и, следовательно, оно эквивалентно критерию Вилсона (13.95). Только в этом случае имеет смысл рассматривать

безмассовую масштабно-инвариантную теорию, даже если данное условие не выполняется в теории возмущений. Из приведенного выше анализа нельзя было сделать вывода о том, что мягкую массовую вставку можно изучать в рамках теории возмущений. Действительно, в бэзмассовом пределе производные достаточно высокого порядка функций Грина по массе являются сингулярными. Это является следствием того, что с некоторого момента увеличение числа вставок не улучшает ультрафиолетового поведения (см. обсуждение теоремы Вайнберга в гл. 8). Интуитивно это можно понять следующим образом. Вторая (третья) производная по бозонного (фермионного) пропагатора в общем случае приводит к появлению при логарифмической инфракрасной сингулярности в соответствующей фейнмановской диаграмме. Следовательно, можно ожидать, что при малых массах имеются сингулярности типа