8.2.5. Конечные перенормировки

До сих пор мы рассматривали вычитания бесконечностей. Однако выводы, сделанные относительно структуры контрчленов, мультипликативном характере перенормировок и алгебре вычитаний,

применимы также и к конечным перенормировкам Этим термином мы обозначаем операции, которые необходимо произвести при изменении условий нормировки При этом (перенормированные) параметры теории претерпевают конечное изменение Это имеет место, например, при переходе от условий нормировки (8 30) и (8.35) к (8 36) В более общем случае рассмотрим в рамках -теории следующую систему условий нормировки, зависящую от произвольного массового масштаба

где определяется выражением (8.35), в котором заменено на

Это весьма разумный выбор нормировочного условия, поскольку оно удовлетворяется в низшем порядке и является обобщением условия (8 30) и условий (8 35) и (8 36) Имеет смысл въбрать таким образом, чтобы точки перенормировки лежали внутри областей аналитичности двух- и четырехточечных функций соответственно В противном случае следует подразууевать, что приведенное выше условие выполняется только для вещественной части амплитуды

Теория зависит теперь от двух массовых масштабов —массы, входящей в пропагатор в диаграммах Фейнмана, и -массы, определяющей точку перенормировки Что касается физической массы, определяемой как полюс полного пропагатора, то она является некоторой функцией от и ее можно вычислить в каждом порядке теории возмущений Кроме того, вычет в полюсе теперь не равен единице и его необходимо учитывать при вычислении элементов -матрицы

Как связаны между собой две перенормированные теории, соответствующие двум различным Очевидно, что каждая из них может быть получена из другой путем перестройки с помощью конечных контрчленов, определяемых в каждом порядке теории возмущений на основании новых условий Как и в случае бесконечной перенормировки, это в свою очередь эквивалентно переопределению параметров теории при условии, что мы учитываем также конечную перенормировку оператора поля Поскольку эти параметры равны значению функций Грина в данной точке переход от равносилен переходу от параметров к . Следовательно, справедливо соотношение

где и являются функциями от , вычисляемыми по теории возмущений.

Проиллюстрируем это на примере двухточечных функций «ртеории в шестимерном пространстве Эта перенормируемая теория имеет то свойство, что в ней перенормировка оператора поля в однопетлевом приближении нетривиальна Если , то амплитуда отвечащая диаграмме собственной энергии, представленной на рис 8 7, записываем в виде

где подразумевается, что произведена какая-либо регуляризация, а значок [1] означает, что берется однопетлевая поправка С помощью непосредственного вычисления получаем

и

Перенормированная функция удовлетворяющая условиям (8.58), записывается в виде

где мы не позаботились выполнить интегрирование по а явно Если теперь заменить на , то нетрудно показать, что удовлетворяет уравнению (8 59), причем

Функция определяется из однопетлевой трехточечнои функции Мы предоставляем это вычисление читателю в качестве упражнения

Полученные выше результаты можно обобщить на произвольные условия нормировки в любой перенормируемой теории, причем мы получим уравнение, аналогичное (8 59) Уравнение (8 59) отражает эквивалентность схем перенормировки, соответствующих различному выбору точек перенормировки или перенормированных параметров. Это свойство теории называется инвариантностью

относительно ренормализацнонной группы. В гл. 13 мы изучим следствия, вытекающие из этого уравнения или его инфинигезимальной формы, так называемого ренормгруппового уравнения Мы увидим, что кажущаяся невинной свобода выбора условий нормировки имеет нетривиальные и важные следствия.