13.4.2. Динамика на световом конусе

Изучим более подробно кинематическую область, которая зондируется в экспериментах по глубоконеупругому рассеянию. При высоких энергиях мы фактически исследуем сингулярности коммутатора

РИС. 13.9. Система координат с бесконечным импульсом.

Сингулярности появляются на малых расстояниях или при светоподобных интервалах Поскольку коммутатор обращается в нуль вне светового конуса (т. е. при ), то в пространстве Минковского упомянутые малые расстояния являются времениподобными. Чтобы изучить такую область, нам придется рассмотреть импульсное пространство

при больших q и малых со. Однако физическая область ограничена условием со 75 1. В экспериментально доступной области можно записать q в виде где n — светоподобный вектор, а параметр X велик. При имеем и величина стремится к конечному пределу. Грубо говоря, можно ожидать, что область, в которой зондируется таким образом, что Следовательно, изучаемая нами структура сингулярностей коммутаторов токов находится вблизи светового конуса Поэтому полезно сформулировать гипотезы, лежащие в основе партонной модели, в так называемой системе координат бесконечного импульса (рис. 13.9).

Рассматривается динамическая эволюция с начальными условиями, заданными на гиперплоскости, содержащей некоторое свегопотобное направление, что соответствует ситуации, когда энергии и продольные импульсы велики и сравнимы по величине. Не вдаваясь в детали, изложим схематически интуитивные рассуждения партонной модели Обозначим через Р величину большою продольного импульса протона, например в системе центра масс, тогда его -импульс приближенно равен . Мишень представим как совокупность N элемешарных составляющих, которые в течение их электромагнитных взаимодействий рассматриваются как свободные частицы с продольными импульсами и пренебрежимо малыми по сравнению с поперечными импульсами В этой системе отсчета -импульс виртуального фосона имеет приб гиженно координаты

РИС. 13.10. Вклады парюнов в структурную функцию.

Правила Фейнмана в системе бесконечного импульса подобны правилам нерелятивистской теории возмущений Таким образом, в сечение рассеяния составляющая дает вклад, пропорциональный величине

где - заряд этой составляющей (рис. 13.10) Поскольку ее начальный импульс равен мы имеем

Следовательно, рассматриваемый вклад можно также записать в виде

позволяющем интерпретировать масштабную переменную как долю полного импульса приходившегося на составляющую до ее рассеяния на виртуальном фотоне Модель дополняется предположением, что вероятность такого события равна , причем

Для простоты рассмотрим случай, когда не зависит от типа составляющей Отсюда следует, что структурная функция, скажем дается выражением

где

и автоматически удовлетворяет масштабной инвариантности Аналогичным образом функция равна функции Соотношение между и зависит от спинов составляющих, причем для спина 1/2 имеем равенство

которое соответствует Используя закон сохранения полной энергии-импульса находим правила сумм

    (13.110)

Главным предположением этого подхода является гипотеза о квазисвободном поведении партонов в процессе взаимодействия с внешним током и пренебрежение поперечными степенями свободы.

Можно получить эквивалентное описание, если при вычислении вклада адронного тока в окрестности светового конуса в (13 101) подставить евободные поля для адронных составляющих. Этот ток записывается в виде

    (13.111)

где — свободное фермионное поле, зарядовая матрица. Используя антикоммутатор (3.170) (см. т. 1 в настоящей книге)

находим

Поскольку рассматривается диагональный матричный элемент и производится суммирование по поляризациям мишени, вклад в (13 101) дают лишь члены, четные относительно перестановки Разложим произведение полей в ряд Тейлора

и используем соотношение

В результате получим

    (13.112)

В окрестности коммутатор разложен в бесконечный ряд по регулярным локальным операторам, умноженным на соответствующие - числовые обобщенные функции. Чтобы в пределе Бьеркена вычислить тензор понадобятся матричные элементы

    (13.113)

Члены, содержащие свертки по двум индексам, не дают вклада, когда умножаются на произведение как в (13.112). Таким образом, имеем

Подставим сюда выражение (13.113) и введем функцию следующим образом:

где х, как мы убедимся ниже, является масштабной переменной (не путать ее с координатой!). Это означает, что матричные элементы представляют собой моменты функции распределения . Пренебрегая величиной по сравнению с , находим

Выполняя интегрирование по у, приходим к выражению

    (13.115)

где, очевидно,

Таким образом, мы снова получили структурные функции партонной модели:

    (13.116)

Возникают вопросы, почему такое незамысловатое приближение хорошо описывает эксперимент и какие ожидаются к нему поправки? Ответ на эти вопросы связан с существованием асимптотически свободной теории. В разд 13.5 мы проведем более детальное рассмотрение этого вопроса.

В экспериментах с поляризованными лептонами и нуклонами можно измерять антисимметричную часть коммутатора гоков Покажите, что, если известна степень поляризации спина в направлении падающего пучка, справедливо следующее выражение:

    (13.117)

где величины даются выражением

и 4-вектор S поляризации нуклона удовлетворяет условию