Глава 10. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ПРОБЛЕМА СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ

Интегральные уравнения, связывающие амплитуды, являются важным средством изучения особенностей теории, выходящих за рамки теории возмущений В частности, они представляют собой адекватный метод исследования релятивистских связанных состояний. Сосредоточим свое внимание в первую очередь на этой проблеме, оставляя в стороне другие интересные вопросы В настоящей главе дано весьма подробное описание формализма, основанного на интегральных уравнениях В качестве иллюстрации мы рассмотрим сверхтонкое расщепление позитрония.

10.1. УРАВНЕНИЯ ДАЙСОНА—ШВИНГЕРА

Применяя различные методы, Швингер и Дайсон независимо вывели интегральные уравнения для функций Грина как следствие уравнений поля, т. е. характерней структуры лагранжиана В гл 9 нам уже встречались подобные уравнения, соответствующие случаю самодействующего скалярного поля

Бели эти уравнения перенормировать должным образом, то их можно использовать как независимую основу для построения теории возмущений Более внимлельное рассмотрение показывает, что данная система уравнений представляет собой бесконечную иерархию Вследствие этого, помимо анализа общих свойств, практическая применимость таких уравнений ограничена приближениями, необходимыми для того, чтобы придать им обозримый вид Это досадное обстоятельство можно увязать с тем фактом, что в данном случае естественным математическим аппаратом является функциональное исчисление — метод, не очень распространенный.

10.1.1. Уравнения поля

Для определенности мы будем рассматривать электродинамику, хотя данный метод применим в общем случае. Как обычно, определим производящий функиионал с источником электромагнитного потенциала и антикоммутирующими источниками электрон-позитронного поля Этот функционал выражается

через континуальный интеграл следующим образом:

где

Здесь действие представляет собой функцию от определяемую соотношениями (6.25) (см т. 1 настоящей книги). Подразумевается также, что присутствует нормировочный множитель, благодаря которому связный функционал, у которого для краткости записи опущен индекс с, удовлетворяет условию

Чтобы учесть перенормировку, можно регуляризовать действие и включить в него конгрчлены Для простоты они не будут выписываться явным образом до конца наших вычислений Уравнения поля получаются как следствие того факта, что интеграл от производной равен нулю Мы имеем, например,

Выпишем уравнение для производной

С учетом этого равенства уравнение (10.2) принимает вид

Удобно с помощью преобразования Лежандра перейти к неприводимым функциям

которые удовлетворяют следующим соотношениям:

Подставляя эти величины в (10 4) и учитывая, что

в случае, когда фермионные источники равны нулю, уравнение (10.4) можно переписать в виде

Величина, обратная , является электронным пропагатором, в который включены радиационные поправки в присутствии внешнего поля. Возьмем производную по и приравняем ее нулю.

РИС. 10.1. Интегральное уравнение для амплитуды поляризации вакуума.

При этом возникают неприводимая вершинная функция (7.46) (см. т. 1 настоящей книги):

амплитуда поляризации вакуума

    (10.10)

и полный электронный пропагатор удовлетворяющий соотношению (рис. 10.1)

    (10.11)

Условия нормировки таковы, что в низшем порядке мы имеем

Иными словами, уравнение (10.4) представляет собой усложненную форму уравнений Максвелла, по отношению к которым (10.11) является лишь малой частью Высшие функциональные производные приводят к последующим соотношениям. Непосредственным

образом уравнения можно вывести, используя графическую интерпретацию, данную на рис. 10.1. Аналогично, уравнение Дирака следует из тождества

Здесь удобно работать с полиыми функциями Грина в отсутствие несвязных фотонных амплитуд, получаемых как производные от Записывая для краткости получаем

Дифференцируя по и полагая имеем

здесь функция описывает распространение в присутствии источника J. Вводя обозначение

последнее уравнение можно переписать в виде

где мы опустили символ Кронекера для спинорных индексов. В данном уравнении можно продифференцировать по У и положить источник равным нулю, вследствие чего будет выполняться равенство . Это дает

    (10.16)

поскольку полная трехточечная функция содержит неприводимую вершину, свернутую с пропагаторами двух фермионов и фотона:

Смысл уравнения (10 16) становится более ясным, если записать его в виде

    (10.18)

где оператор собственной массы дается выражением

    (10.19)

Это выражение иллюстрируется на рис. 10.2.

Полагая уравнение (10.4) можно переписать следующим образом:

    (10.20)

В сочетании с (10.15) это дает замкнутую функциональную систему, в которой аргументом является источник У.

РИС. 10.2. Представление оператора собственной массы.

Альтернативно можно записать эквивалентную систему, в которой аргументом является внешний потенциал А. Для этого введем фотонный пропагатор . Дифференцируя уравнение (10.20) по У, получаем

    (10.21)

В то же время (10.15) можно записать в виде

    (10.22)

Мы вновь получили полную систему уравнений, определяющую S и G. К сожалению, они дают мало пользы, поскольку у нас нет опыта работы с такими выражениями.

Возвращаясь к уравнению (10.14), можно получить дальнейшую информацию, вычисляя производные более высокого порядка по спинорным источникам Большой интерес представляет собой функция Грина , соответствующая распространению двух заряженных частиц. Действуя так же, как и прежде, находим

    (10.23)

В правой части антисимметричная комбинация является отражением принципа Паули Учитывая соотношение (10 18), которому удовлетворяет двухточечная функция, можно подействовать на переменную оператором (В других случаях нас мог бы интересовать результат действия этого оператора на оставшиеся переменные или

РИС. 10.3. Ядро V уравнения Бете — Солпитера Перечеркивание соответствует усечению соответствующей пропагаторной линии

Во всяком случае, полагая , находим

Нетрудно заметить, что в правой части первые два члена являются вкладом несвязной амплитуды Роль третьего члена легче понять с помощью графического анализа Будучи записан в виде свертки

этот член содержит ядро описываемое усеченными четырехфермионными диаграммами, которые нельзя сделать несвязными, разрезая две фермионные линии (рис. 10.3).

РИС. 10.4 Уравнение Беге—Солпшера

Вводя для у-матриц значки, указывающие, на какие индексы они действуют, получаем в наинизшем порядке

    (10.25)

В этих обозначениях уравнение Бете—Солпитера окончательно запишется в виде

    (10.26)

Это уравнение представлено графически на рис. 10.4, на котором перечеркивание указывает на то, что соответствующие пропагаторные линии являются усеченными.

Уравнение (10.26) записано для электрон-электронного канала. Разумеется, соответствующее уравнение можно вывести и для перекрестного электрон-позитронного канала, где оно описывает связанные состояния позитрония.