8.1.3. Подсчет степени расходимости

Мы уже использовали понятие условной степени расходимости при обосновании сходимости фейнмановских интегралов из соображений размерности. Рассмотрим здесь это понятие более подробно.

В настоящем и следующем разделах мы будем иметь дело лишь с проблемой ультрафиолетовых расходимостей и отложим для дальнейшего изучения возможные трудности, связанные с инфракрасной областью, которые могут возникнуть из-за отсутствия массы у каких-либо частиц Для конкретности предположим на время, что все поля являются массовыми.

Наивный способ оценить сходимость некоторой диаграммы Фейнмана состоит в том, чтобы одновременно растянуть все внутренние импульсы диаграммы с помощью общего множителя X, т. е. и изучить поведение соответствующей амплитуды при . В параметрическом представлении это сводится к изучению поведения подынтегрального выражения, когда все одинаковым образом, а именно Мы ожидаем и это будет скоро доказано, что если общая степень величины X, называемая условной степенью расходимости и обозначаемая через со, неотрицательна то интеграл, вообще говоря, расходится. Если она отрицательна, то некоторые интегралы, отвечающие поддиаграммам, все еще могут быть расходящимися; при этом говорят, что интеграл является условно сходящимся.

Мы рассматриваем теорию, включающую бозонные поля со спином 0 или 1 и фермионные поля со спином 1/2. Фермионные пропагаторы ведут себя при больших импульсах как а бозонные — как Мы предполагаем здесь, что массивным векторным полям сопоставляются пропагаторы в калибровке Штюкельберга (3.147) (см. т. 1) В гл. 12 рассматривается случай, когда массивные поля связаны с несохраняющимися токами. Поля с высшими спинами в этой книге мы обсуждать не будем.

Здесь применяются те же обозначения, что и в гл. 6 (см. т. 1). Если соответствующий член в лагранжиане взаимодействия содержит

производные полей, то вершина у диаграммы G вносит степень . Каждое интегрирование по импульсам петли дает вклад . Если L — число независимых петель, число внутренних бозонных и фермионных линий соответственно, полное число вершин, то условная степень расходимости «а диаграммы G запишется в виде

    (8.13а)

или

    (8.13б)

если учесть равенство (6.69) (см. т. 1):

Величина равна числу производных, действующих на те поля в вершине v, которые входят в спаривания, отвечающие пропагаторам внутренних линий Если - число внутренних фермионных, a - число внутренних бозонных линий, входящих в вершину V, то, очевидно,

поскольку в сумме по вершинам каждая внутренняя линия учи тывается дважды. Таким образом, равенство (8.136) можно переписать в виде

    (8.13в)

где

Интерпретация этой величины, относящейся к вершине v, становится ясной, если вспомнить соображения размерности, приведенные в разд. 6.2.1 (см т. 1). На шкале масс размерность фермионного поля со спином 1/2 равна 3/2, а для бозонного поля она равна 1 Следовательно, является вкладом в размерность лагранжиана взаимодействия, отвечающим внутренних фермионов, внутренних бозонов и производных внутренних полей. С другой стороны, если является размерностью члена

отнесенного к вершине v, включая как внутренние, так и внешние поля, т. е.

и если — число соответственно внешних фермионных и бозонных линий диаграммы, то из (8.13в) с очевидностью следует, что

где - полная степень внешних импульсов, факторизованных из фейнмановского интеграла. Разумеется, в размерность вершины не входит вклад от размерной константы связи относящейся к данной вершине. Как уже отмечалось в гл. 6 (см. т. 1),

Нет ничего удивительного в том, что сходимость фейнмановских интегралов связана с размерностью констант связи. В самом деле, если для вершин, то размерность константы связи положительна. Переход к более высоким порядкам теории возмущений означает включение более высоких степеней величины g; при этом фейнмановское подынтегральное выражение при больших импульсах должно убывать все быстрее, чтобы общая размерность оставалась неизменной. Наоборот, если все , то интегралы будут расходиться все быстрее. Данные соображения в равной степени приложимы к любой поддиаграмме. В общем случае диаграмма с со (G) 0 называется условно расходящейся.

Таким образом, существуют следующие три класса теорий поля:

1. Неперенормируемые теории - это теории, в которых хотя бы один из мономов в лагранжиане взаимодействия имеет степень . Для данной функции Грина из соотношения (8.18) следует, что условная степень расходимости растет с числом вершин, т. е. с порядком теории возмущений. Как будет показано ниже, любая функция в достаточно высоком порядке становится расходящейся.

2. Перенормируемые теории представляют наибольший интерес.

В этом случае всем членам в лагранжиане взаимодействия отвечает и хотя бы одному из них отвечает Если для всех этих членов соет то мы видим из (8.18), что все диаграммы, дающие вклад в данную функцию, имеют одну и ту же степень расходимости. В перенормируемых

теориях лишь конечное число функций Грина является источником расходимостей.

3. Суперперенормируемые теории содержат лишь вершины с . Степень расходимости уменьшается с увеличением порядка теории возмущений. В таких теориях имеется лишь конечное число расходящихся диаграмм.

Слово «неперенормируемая» может ввести в заблуждение. Оно не означает, что такие теории не могут быть сделаны конечными, но что размножение расходимостей, а стало быть и контрчленов делает нереалистичным применение здесь теории возмущений. После перенормировки эти теории зависят от бесконечного набора произвольных параметров, за исключением тех случаев, когда существует какой-либо принцип, позволяющий установить связь между этими параметрами. Такие теории мы больше не будем рассматривать. С другой стороны, суперперенормируемые теории образуют слишком ограниченный класс и часто являются патологическими.

Опираясь на правило (8.17), с помощью простой проверки нетрудно найти все возможные перенормируемые и суперперенормируемые теории. Для этого из операторов дифференцирования, скалярных полей полей Дирака и векторных нолей (которым по предположению сопоставляется пропагатор Штюкельберга) нужно построить все возможные лагранжианы взаимодействия, представляющие собой лоренцевы скаляры, являющиеся эрмитовыми и имеющие степень Выражениям или или (или, возможно, наряду с выражениями обычно входящими в кинетический лагранжиан, соответствует . С точностью до введения нескольких полей каждого типа и дополнительных внутренних симметрий этим исчерпывается список перенормируемых лагранжианов взаимодействия. Членам соответствуют или т. е. это суперперенормируемые лагранжианы. Среди неперенормируемых теорий укажем псевдоскалярную связь взаимодействие Ферми а также высшие степени поля и т. д.

Данный анализ и классификация теорий проведены нами для четырехмерного пространства-времени. С целью обобщения или для нужд статистической механики может оказаться необходимым распространение этого анализа на другие размерности. Читатель без особого труда может вывести аналоги соотношений и определить, в пространстве какой размерности теория Ферми или скалярные теории (где Р — произвольный полином) являются перенормируемыми.