11.4. сигма-МОДЕЛЬ

Опишем теперь теоретико-полевую модель, первоначально развитую Гелл-Манном и Леви в 1960 г., как пример реализации киральной симметрии и частичного сохранения аксиального тока. Название -модель возникло из-за введенных ими обозначений. Мы воспользуемся этой моделью, чтобы изучить взаимосвязь перенормировки и симметрий, что позволит нам, следуя идеям Ли и Симанзнка, изложить технику тождеств Уорда, которая будет полезна при изучении калибровочных теорий.

11.4.1. Описание модели

Рассматриваемая -модель включает фермионное изодублетное поле с нулевой голой массой, триплет псевдоскалярных пионов и скалярное поле Соответствующий лагранжиан записывается в виде

где

    (11.144)

Его обычно называют лагранжианом линейной -модели по причинам, которые мы обсудим ниже.

Часть (индекс означает симметричный) инвариантна по отношению к преобразованиям киральной группы которые вводятся следующим образом. Правая и левая спинорные компоненты преобразуются по представлениям соответственно (1/2, 0) и (0, 1/2), в то время как совокупность полей преобразуется по представлению (1/2, 1/2).

Чтобы убедиться в этом, запишем лагранжиан взаимодействия в виде

Если обозначает элемент группы с независимыми U и V, то преобразование есть допустимое -преобразование, приводящее к действительным полям Следовательно, если мы одновременно произведем вращения изоспиноров то лагранжиан взаимодействия, очевидно, останется инвариантным. Инвариантна и величина пропорциональная детерминанту Наконец, кинетический член равен и явно инвариантен. Следовательно, мы показали инвариантность лагранжиана

Соответствующие инфинитезимальные преобразования генерируются киральными зарядами где а пробегает значения от единицы до трех:

В компактной записи преобразования полей представляются соотношениями

    (11.146)

Такая форма киральных преобразований позволяет особенно легко проверить инвариантность лагранжиана. Алгебра Ли группы изоморфна алгебре одной из ее фактор-групп преобразуется как вектор по отношению к . В отсутствие нарушающего члена векторный и аксиальный токи сохраняются. Они имеют вид

Нарушающий член со оставляет ненарушенной только диагональную группу SU(2). При этом векторный ток остается сохраняющимся, а аксиальный ток, выражение которого не меняется, приобретает ненулевую дивергенцию:

    (11.148)

Таким образом, эта модель обладает всеми желаемыми свойствами алгебры токов, а дивергенция аксиального тока оказывается, естественно, пропорциональной полю пионов.

Присутствие линейного нарушающего члена приводит к тому, что в квантовом случае поле о приобретает отличное от нуля вакуумное среднее Поэтому в разложении по теории возмущений следует учитывать флуктуации этого поля относительно значения v, а не нуля. Для построения корректной квантовой теории необходимо произвести следующий сдвиг поля:

и потребовать, чтобы о имело нулевое вакуумное среднее. Переписывая полный лагранжиан в терминах поля а, получаем

Выполненный нами сдвиг имеет три следствия. Во-первых, исчезло вырождение по массе у мезонных полей. Теперь их массы равны

    (11.150)

Во-вторых, фермион приобрел массу, равную

    (11.151)

И в-третьих, мы видим, что появилось новое трилинейное взаимодействие

Вакуумное среднее v ограничено непростым условием Лучший способ удовлетворить ему — это потребовать, чтобы в теории возмущений вклады от диаграмм типа головастик для перехода вакуум обращались в нуль (рис 11.12)

РИС. 11.12. Диаграмма типа головастик.

В борновском приближении это условие, как видно из формулы (11.149), можно записать в виде

Сравнение соотношений (11.117) и (11.148) приводит к следующей идентификации:

Следовательно,

    (11.152)

что есть не что иное, как соотношение Гольдбергера—Треймана в приближении

При могут возникнуть две различные ситуации. Одна из возможностей состоит в том, что мы имеем также в этом случае симметрия реализуется в описанной выше нормальной моде с безмассовыми нуклонами. Альтернативная возможность возникает, когда . В этом пределе имеем:

    (11.153)

Эта симметрия реализуется голдстоуновским способом, рассматриваемым нами в разд. 11.2.2, с нулевой массой пиона:

В этой фазе -модель можно применить для вывода низкоэнергетических теорем для пион-пионного или пион-нуклонного рассеяния.