8.2.2. Рекуррентная формула Боголюбова

В разд. 8.2.1 контрчлены ассоциировались с сильносвязными функциями, т. е. с суммой диаграмм Фейнмана, вычисленных до определенного порядка. Существование условий нормировки позволяет нам сопоставить каждой условно расходящейся диаграмме контрчлен, вычисленный с учетом условия нормировки. Здесь следует указать на некоторую тонкость, связанную с сокращениями, вызванными симметриями (симметрия Бозе или Ферми, внутренние симметрии и т. д.), благодаря чему отдельные диаграммы могут расходиться сильнее, чем их сумма в данном порядке. В этом случае надежнее рассматривать только совокупность диаграмм, в которых эти сокращения происходят, например калибровочно-инвариантные совокупности диаграмм в квантовой электродинамике. В дальнейшем мы будем избегать этого несущественного осложнения, ограничиваясь рассмотрением скалярной теории без производных.

Изучим теперь вклад в данную сильносвязную диаграмму Фейнмана G, который вносят контрчлены более низкого порядка. В самом деле, в G могут входить условно расходящиеся сильносвязные поддиаграммы Каждой из этих поддиаграмм можно сопоставить контрчлен порядка — число петель

в . Обозначим через подынтегральное выражение для диаграммы Фейнмана G в импульсном пространстве, же подынтегральное выражение, но с учетом всех контрчленов более низкого порядка, и перенормированное подынтегральное выражение, дающее конечный интеграл. Если G условно сходится, то

Однако если , то отличается от вкладом, вносимым контрчленом, отвечающим самой диаграмме G. Иными словами, в нужно произвести вычитание, чтобы получить интеграл от которого конечен и удовлетворяет условиям нормировки. После интегрирования по внутренним импульсам дает полином от независимых внешних импульсов диаграммы G, причем его степень будет меньше или равна . В рамках промежуточной перенормировки (вычитание при нулевом импульсе) есть не что иное, как разложение Тейлора величины по внешним импульсам в окрестности начала координат до порядка включительно. Мы будем писать

Нам остается найти связь с первоначальным подынтегральным выражением Различие между ними обусловлено контрчленами, отвечающими ренормализационным частям у диаграммы G. Согласно Циммерману, это относится к сильносвязным условно расходящимся поддиаграммам, т. е. в соответствии с определением, данным к разд. 8.1.4, к поддиаграммам, содержащим все линии диаграммы G, которые соединяют две их вершины. Вклад контрчлена, отвечающего у, равен . Подстановка его в диаграмму G вместо у дает

Здесь обозначает разложение в ряд Тейлора модифицированного подынтегрального выражения как функции независимых внешних импульсов поддиаграммы у до порядка (включительнно).

Данное разложение в ряд Тейлора не является столь же хорошо определенным, как в случае самой G, так как здесь требуется большая осторожность при различении внутренних и внешних независимых импульсов. Будем считать, что мы можем в любом случае определить эти внешние переменные. Заинтересованный читатель может обратиться к работам, цитируемым а примечаниях. помещенных в конце главы.

С другой стороны, обозначает вклад в подынтегральное выражение линий и вершин первоначальной диаграммы, внешних по отношению к 7. В частности, в него входят пропагаторы, относящиеся к линиям, которые соединяют у с остальной частью G (см. для иллюстрации рис. 8.3). Выражение (8.43) содержит вклад контрчлена, относящегося к у (и, возможно, контрчленов, дающих вклад в ). Теперь легко записать вклад, двух контрчленов, относящихся к двум несвязным ренормализационным частям

РИС. 8.3. Вычитание внутренней ренормализационной части у в подынтегральном выражении

Под несвязными понимаются диаграммы, не имеющие общих линий или вершин: Этот вклад записывается в виде

где обозначает вклад в первоначальное подынтегральное выражение всех линий и вершин диаграммы G, за исключением тех, которые принадлежат или То, почему рассматриваются лишь несвязные ренормализационные части, объясняется тем, что в противном случае ни одну из них нельзя будет заменить соответствующим ей контрчленом. Это перечисление возможных вкладов в может быть продолжено. В результате получается рекуррентная формула, данная Боголюбовым:

В правой части первый член совпадает с исходным подынтегральным выражением, а суммирование проводится по всем семействам несвязных ренормализационных частей. Из формулы (8.45) после итерации с учетом (8.41) и (8.42) получаем перенормированное подынтегральное выражение. Если G не содержит условно расходящихся сильносвязных поддиаграмм, то . К таким диаграммам относятся все диаграммы, изучавшиеся в гл. 7 (см. т. 1). Для однопетлевых диаграмм либо либо

Приведем теперь простые примеры, в которых имеется большее число петель. Ради простоты рассмотрим теорию скалярного поля с взаимодействием в шестимерном пространстве-времени. Хотя такая теория страдает серьезными недостатками — ее гамильтониан не ограничен снизу, — имеет смысл построить для нее разложение в ряд теории возмущений. Это перенормируемая теория (в шести измерениях). Подсчет степеней расходимости проводится в соответствии с формулой вместо (8.18),

РИС. 8.4. Расходимости вложенных диаграмм.

Рассмотрим диаграмму, изображенную на рис. 8.4. Поддиаграмма у внутри прямоугольника, очерченного штриховой линией, является единственной ренор-молизационной частью, не ечитая самой G. Согласно (8.45),

откуда следует выражение

Здесь допущена некоторая вольность в обозначениях. Следуя (8.42), имеем

Мы видим, что в случае с вложенными диаграммами имеются два фактора Это утверждение продолжает оставаться справедливым, если к этой диаграмме добавлять новые (параллельные) ступени. Здесь мы имеем хорошее упражнение, позволяющее убедиться в том, что перенормированное подынтегральное выражение приводит к конечному интегралу.

РИС. 8.5. Расходимости перекрывающихся диаграмм.

Обратимся теперь к диаграмме, приведенной, на рис. 8.5. Она условно расходится так же, как и две ее ренормализационные части Здесь мы сталкиваемся с новым явлением; и не входят одна в другую И не являются несвязными — они перекрываются. У них имеются одна общая линия и две вершины, однако ни одна из них не включена

в другую. Следовательно, формула (8.45) дает

Записывая тождество окончательно получаем

Мы видим, что не равно величине Дополнительные члены, а именно в точности соответствуют перекрывающимся поддиаграммам.

Диаграмму, приведенную на рис. 8.5, мы изучим в разд. 8.4.4 для случая четырехмерной квантовой электродинамики.