12.3.3. Другие функции

Для других условно расходящихся сильносвязных функций приведем лишь структуру расходящегося члена.

В трехточечную функцию (рис. 12.2) дают вклад три диаграммы. Контрчлен, который необходимо ввести, записывается в виде

Аналогичным образом диаграммы, изображенные на рис. 12.3, которые дают вклад в четырехточечную функцию, нуждаются во введении контрчлена

Контрчлены имеют тот же вид, что и исходные члены в лагранжиане. Неудивительно, что это справедливо для поскольку представляет собой единственное выражение, которое является лоренц-инвариантным, кубическим по полю, имеет размерность четыре и инвариантно при (глобальных) групповых преобразованиях.

РИС. 12.2. Трехточечная функция,

Для члена четвертого порядка по полю это не так, а поэтому контрчлен вида (12.116) является сюрпризом.

РИС. 12.3. Четырехточечная функция.

Необходимо также вычислить контрчлены для функций с внешними духами Структура оператора Q, определяемого выражениями (12 102) и (12 103) или, эквивалентным образом, с помощью правил Фейнмана (12 92), такова, что импульс выходящей духовой линии всегда может быть факторизован.

РИС. 12.4. Собственная энергия духа в однопетлевом приближении.

Это уменьшает эффективную условную степень расходимости функций, включающих в себя духовые поля, и оставляет нам лишь две расходящиеся функции: собственную энергию духа (рис. 12 4) и вершину, в которой дух поглощает или излучает векторное поле (рис. 12 5) Вследствие указанного выше свойства первая функция не нуждается в введении

какого-либо массового контрчлена, и мы имеем

и

    (12.118)

В калибровке Ландау величина Z, в действительности сводится к единице во всех порядках, что является следствием поперечности векторного пропагатора и факторизации входящего духового импульса.

РИС. 12.5. Однопеглевые вклады в вершину вектор-дух.

На практике с калибровочным полем также взаимодействуют поля материи. Приведем контрчлены, включающие спинорные поля, а также дополнительные вклады в от этих полей Лагранжиан взаимодействия дается выражением (12.93). Примем следующие обозначения для квадратичных операторов Казимира в представлении, по которому преобразуются поля:

    (12.119)

Если через обозначить размерность группы [например, число генераторов алгебры Ли для SU(N) равно а через -размерность фермионного представления [для фундаментального представления SU(N) имеем то можно записать следующее соотношение:

    (12.120)

РИС. 12.6. Собственная энергия фермиона.

Для присоединенного представления и, следовательно, в случае в то время накдля фундаментального представления SU(N) имеем

Контрчлены, порождаемые диаграммами, представленными на рис. 12.6 и 12 7, записываются в виде

    (12.122)

Эти выражения, если положить в них сводятся к выражениям, которые вычислялись в гл. 7 (см. т. 1) для случая квантовой электродинамики

РИС. 12.7. Фермион-векторная вершина.

Наконец, изменения в контрчленах калибровочных полей, обусловленные наличием внутренней фермионной петли (рис. 12.8), даются выражениями

Рассмотрение случая, когда с калибровочными векторными полями связаны скалярные поля, не вызовет у читателя каких-либо затруднений.

РИС. 12.8. Фермионные вклады в двух-, трех- и четырехточечные функции.