12.4.2. Тождества для сильносвязных функций

Сначала напишем тождества для связных функций. Удобно ввести источники не только для духовых полей, но и для составных операторов, входящих в преобразования (12.134). Напишем выражения

    (12.138)

Здесь — локальные источники, связанные о а потому являющиеся антикоммутирующими или коммутирующими объектами соответственно. Точнее говоря, если величине сопоставить духовое число для , то К и L будут иметь . Подсчет степеней показывает, что а следовательно, К и L имеют размерность, равную двум. В дальнейшем мы будем предполагать, что функция линейна по А:

    (12.139)

Например, обобщенные калибровки Фейнмана соответствуют выбору . Использование нелинейного калибровочного условия потребовало бы введения в (12.138) дополнительного источника, связанного с

Заменяя переменные в соответствии с (12.134), получаем

поскольку являются также инвариантами Последнее уравнение можно переписать следующим образом:

Оператор функционального дифференцирования является линейным в соответствии с предположением (12.139) Следовательно,

    (12.140)

В предыдущем разделе тождество (12.130) было дополнено уравнением движения для духового пропагатора [см. (12.132)] Аналог его в данном случае можно получить, используя то обстоятельство, что функциональный интеграл (12.138) инвариантен относительно бесконечно малого смещения , где — произвольная величина. В результате получаем локальное соотношение

или, поскольку :

Для связных функций это соотношение запишется в виде

    (12.141)

Уравнения (12.140) и (12.141) следует теперь переписать через сильносвязные функции. Это можно сделать, воспользовавшись преобразованием Лежандра

    (12.142)

где

или, что эквивалентно,

При этом преобразовании источники К и L не затрагиваются:

Уравнения (12.140) и (12.141), выраженные через Г, записываются следующим образом:

Введем модифицированное эффективное действие

    (12-146)

Тогда уравнения (12.144) и (12.145) принимают более простой вид:

    (12147)

Тождества (12.147) записаны в универсальной форме. Они уже не содержат каких-либо параметров, изменяемых перенормировкой, таких, как константы связи, и не несут следов групповой Г структуры, которая теперь скрыта в определении источников. Следовательно, эти тождества в равной степени применимы к действию, а потому подходят для изучения структуры контрчленов.

Легко проверить, что тождества (12.144) и (12.145) удовлетворяются в низшем порядке Первое тождество выражает инвариантность действия относительно преобразования Бекки — Рюэ—Стора:

Условие того, чтобы якобиан был равен единице, записывается в виде

и очевидным образом удовлетворяется.

Хорошее упражнение — выполнить диалогичный анализ в абелевом случае для калибровки , которая требует введения духов.