Задача теории возмущений заключается в следующем. Оператор энергии $H$ состоит из двух частей
\[
H=H^{0}+\varepsilon W .
\]

Вторая часть представляет собой «возмущающий член» с малым множителем $\varepsilon$. Поэтому решаемая задача собственных значений имеет вид
\[
\left(H^{0}+\varepsilon W\right) \psi=E \psi .
\]

Невозмущенная задача $H^{0} \varphi=E^{0} \varphi$ считается уже решенной. Мы считаем, что собственные функции $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ образуют нормированную ортогональную замкнутую систему и что соответствующие собственные значения $E_{1}^{0}, E_{2}^{0}$ расположены в порядке возрастающих величин. Нашей задачей является определить в первом приближении, т. е. с точностью до членов порядка $\varepsilon^{2}$, собственные функции, и в особенности собственные значения возмущенной задачи.

Мы принимаем, что собственные значения непрерывно и дифференцируемо зависят от $\varepsilon$. Следовательно, $n$-ое собственное значение $E_{n}$ лежит вблизи собственного значения невозмущенной задачи $E_{n}^{0}$ и может быть разложено по степеням $\varepsilon$ (ряд Тейлора с остаточным членом)
\[
E_{n}=E_{n}^{0}+\zeta_{n} \varepsilon+\cdots .
\]

Сначала мы опустим индекс $n$ и разложим обе стороны (5.1) по ортогональной системе $\varphi_{
u}$. Мы имеем
\[
\begin{aligned}
\psi & \sim \sum_{1}^{\infty} c_{\lambda} \varphi_{\lambda}, \\
W \varphi_{\mu} & \sim \sum_{1}^{\infty} w_{\lambda \mu} \varphi_{\lambda}, \\
H^{0} \varphi_{\lambda} & =E_{\lambda}^{0} \varphi_{\lambda} .
\end{aligned}
\]

Приравнивая коэффициенты разложения в (5.1), получаем
\[
c_{\lambda} E_{\lambda}^{0}+\varepsilon \sum_{1}^{\infty} w_{\lambda \mu} c_{\mu}=c_{\lambda} E .
\]
Это уравнение является точным. $E$ лежит вблизи одного из $E_{n}^{0}$. Следовательно, если $E_{\lambda}^{0}
eq E_{n}^{0}$, то при малых значениях $\varepsilon$ величина $E_{\lambda}^{0}-E$ так же больше некоторого заданного положительного числа. Поэтому (5.3) можно решить относительно $\mathrm{c}_{\lambda}$
\[
c_{\lambda}=\frac{\varepsilon \sum_{1}^{\infty} w_{\lambda \mu} c_{\mu}}{E_{\lambda}^{0}-E} .
\]

Следовательно, речь идет о том, какие $E_{\lambda}^{0}
eq E_{n}^{0}$.
В невозмущенной задаче может быть $k$ следующих друг за другом равных собственных значений, которые мы обозначим через $E_{n}^{0}=E_{n+1}^{0}=\cdots=E_{n+k-1}^{0} \quad(k$-кратное вырождение $)$. Тогда для $\lambda
eq n$, $n+1, \ldots, n+k-1$ можно применить решение (5.4), откуда следует что $c_{\lambda}$ с $\lambda
eq n, n+1, \ldots, n+k-1$ малые величины порядка $\varepsilon$.

Но $c_{n}, c_{n+1}, \ldots, c_{n+k-1}$ не малы или, по крайней мере, не все малы. Обозначим их предельные значения при $\varepsilon=0$ через $c_{n}^{0}, c_{n+1}^{0}, \ldots, c_{n+k-1}^{0}$, т. е. положим
\[
c_{\lambda}=c_{\lambda}^{0}+\cdots .
\]

Подставив (5.2) и (5.5) в (5.3), сравнивая члены с $\varepsilon$ и приняв во внимание порядок величины членов $c_{\lambda}$ с $\lambda
eq n, n+1, \ldots, n+k-1$, получим
\[
\sum_{n}^{n+k-1} w_{\lambda \mu} c_{\mu}^{0}=\zeta c_{\lambda}^{0} \quad(\lambda=n, n+1, \ldots, n+k-1) .
\]

Исключая $c_{\mu}^{0}$, получим «вековое уравнение»
\[
\left|\begin{array}{llll}
w_{n n}-\zeta & w_{n, n+1} & \cdots & w_{n, n+k-1} \\
w_{n+1, n} & w_{n+1, n+1}-\zeta & \cdots & w_{n+1, n+k-1} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
w_{n+k-1, n} & w_{n+k-1, n+1} & \cdots & w_{n+k-1, n+k-1}-\zeta
\end{array}\right|=0
\]

корни которого $\zeta_{n}, \zeta_{n+1}, \ldots, \zeta_{n+k-1}$ по (5.2) определяют в первом приближении уровни энергии возмущенной задачи. $k$-кратно вырожденный терм $E_{n}^{0}$ вследствие возмущения «расщепляется» на $k$ термов (не обязательно различных). Для каждого корня $\zeta_{\lambda}$ с помощью (5.6) определяем $c_{n}^{0}, \ldots, c_{n+k-1}^{0}$, т. е. значения начальных членов рядов $c_{n}, \ldots, c_{n+k-1}$. Начальные члены рядов для остальных $c_{\lambda}$ (т. е. члены с $\varepsilon$ ) получаются из (5.4). Коэффициенты разложения найденного таким образом
решения возмущенной задачи отличаются только членами первого и высших порядков от коэффициентов линейной комбинации $c_{n}^{0} \varphi_{n}+\cdots+$ $+c_{n+k-1}^{0} \varphi_{n+k-1}$.

Задачу «приведения к главным осям» (5.6) мы еще рассмотрим далее в §8. Там будет показано, что $i$-кратному корню (5.7) соответствует $i$ независимых решений (5.6), как это и требуется для нашей задачи собственных значений. Легко видеть, что решение задачи приведения к главным осям (5.6) одновременно дает «первое приближение» собственных значений и «нулевое приближение» собственных функций. Понятно, можно продолжить апроксимирование до более высоких степеней $\varepsilon$, но мы не пойдем далее в этом направлении.

Полученное первое приближение собственных значений при возрастании $\varepsilon$ становится неточным, как только в (5.4) знаменатель стаповится одного порядка всличины с числитслсм, т. с. когда возмущспное значение $E$ близко к другому терму $E_{\lambda}^{0}
eq E_{n}^{0}$. Тогда говорят, что члены $E_{\lambda}^{0}$ и $E_{n}^{0}$ взаимно возмущены. Но взаимное возмущение исчезает, если исчезают входящие в числитель члены $w_{\mu \lambda}$, т. е. два терма $E^{\prime}, E^{\prime \prime}$ не возмущаются, хотя они близки друг к другу, когда $w_{\lambda} \mu=0$ для $E_{\lambda}^{0}=E^{\prime}, E_{\mu}^{0}=E^{\prime \prime}$.

Способ вычисления возмущений меняется, когда «невозмущенные» собственные функции $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ являются не собственными функциями оператора $H_{0}$, а решением различных приближенных задач собственных значений, и поэтому не образуют ортогональной системы. Мы все же предполагаем, что функции $\varphi_{
u}$ образуют замкнутую систему или, по крайней мере, что собственные функции $\psi$ полного оператора $H$ с достаточным приближением могут быть заменены суммой $\sum_{1}^{N} c_{\mu} \varphi_{\mu}$, причем сумма содержит большое, но конечное число членов. Задача собственных значений $H \psi=E \psi$ тогда принимает вид
\[
\sum c_{\mu} H \varphi_{\mu}=E \sum c_{\mu} \varphi_{\mu} .
\]

В «нулевом приближении» $H \varphi_{\mu}=E_{\mu} \varphi_{\mu}$ и приравнивание коэффициентов слева и справа дает, как и прежде, то, что в нулевом приближении все $c_{\mu}$ равны нулю, за исключением тех $c_{\mu}$, характеристические значения которых $E_{\mu}$ в нулевом приближении совпадают с $E$. Вместо того чтобы, как это мы делали ранее в (5.3), разлагать обе части по $\varphi_{\mu}$, что сопряжено с известными трудностями вследствие неортогональности $\varphi_{\lambda}$, образуем из обеих сторон (5.8) скалярное произведение с $\varphi_{\lambda}$ для $\lambda=n, n+1, \ldots, n+k-1$ :
\[
\sum c_{\mu}\left(\varphi_{\lambda}, H \varphi_{\mu}\right)=E \sum c_{\mu}\left(\varphi_{\lambda}, \varphi_{\mu}\right) .
\]
$\left(\varphi_{\lambda}, \varphi_{\mu}\right)$ при $\lambda
eq \mu$ очень мало, так как $\varphi_{\lambda}$, как почти собственные функции оператора $H$, образуют почти ортогональную систему. Точно так же $\left(\varphi_{\lambda}, H \varphi_{\mu}\right)$ очень мало для $\lambda
eq \mu$, так как $H \varphi_{\mu}$ почти равно $E_{\mu} \varphi_{\mu}$. Если мы отбросим эти малые члены, которые, кроме того, умножены на малые коэффициенты $c_{\mu}$ (следовательно, для $\mu
eq n, n+1, \ldots, n+k-1)$ соответственно тому, как мы ранее пренебрегали членом с $\varepsilon^{2}$, то остается конечная система уравнений, аналогичная (5.6)
\[
\sum_{n}^{n+k-1} c_{\mu}\left(\varphi_{\lambda}, H \varphi_{\mu}\right)=E \sum_{n}^{n+k-1} c_{\mu}\left(\varphi_{\lambda}, \varphi_{\mu}\right) .
\]

Положим для сокращения $\left(\varphi_{\lambda}, \varphi_{\mu}\right)=g_{\lambda \mu}$ и $\left(\varphi_{\lambda}, H \varphi_{\mu}\right)=h_{\lambda \mu}$, тогда наша система уравнений принимает вид
\[
\sum_{n}^{n+k-1}\left(h_{\lambda \mu}-E g_{\lambda \mu}\right) c_{\mu}=0 .
\]

Исключение $c_{\mu}$ дает опять вековое уравнение
\[
\left|h_{\lambda \mu}-E g_{\lambda \mu}\right|=0,
\]

откуда в первом приближении определяются значения энергии.
Если в вышеприведенных вычислениях не пренебрегать малыми членами с $\mu=n, n+1, \ldots, n+k-1$, т. е. принимать во внимание всю сумму $\sum_{1}^{N} c_{\mu} \varphi_{\mu}$ и увеличивать $N$, то мы будем получать вековые уравнения все возрастающей степени, из которых мы все с большей точностью будем определять значения энергии. Это — метод Ритца для приближенного решения задачи собственных значений.

Теорию возмущений можно применить так же для исследования поведения заданной волновой функции при возмущении, зависящем от времени. Изложение этого вопроса можно найти в учебниках по квантовой механике.