Задача теории возмущений заключается в следующем. Оператор энергии $H$ состоит из двух частей
$$H=H^0+\epsilon W.$$

Вторая часть представляет собой «возмущающий член» с малым множителем $\epsilon$. Поэтому решаемая задача собственных значений имеет вид
$$(H^0+\epsilon W)\psi =E\psi .$$

Невозмущенная задача $H^0\phi =E^0\phi$ считается уже решенной. Мы считаем, что собственные функции ${\phi }_1,{\phi }_2,\dots$ образуют нормированную ортогональную замкнутую систему и что соответствующие собственные значения $E_1^0,E_2^0$ расположены в порядке возрастающих величин. Нашей задачей является определить в первом приближении, т. е. с точностью до членов порядка ${\epsilon }^2$, собственные функции, и в особенности собственные значения возмущенной задачи.

Мы принимаем, что собственные значения непрерывно и дифференцируемо зависят от $\epsilon$. Следовательно, $n$-ое собственное значение $E_n$ лежит вблизи собственного значения невозмущенной задачи $E_n^0$ и может быть разложено по степеням $\epsilon$ (ряд Тейлора с остаточным членом)
$$E_n=E_n^0+{\zeta }_n\epsilon +\cdots .$$

Сначала мы опустим индекс $n$ и разложим обе стороны (5.1) по ортогональной системе ${\phi }_u$. Мы имеем
$$\begin{array}{rl}\psi & \sim \sum _1^{\mathrm{\infty }}{c}_{\lambda }{\phi }_{\lambda },\\ W{\phi }_{\mu }& \sim \sum _1^{\mathrm{\infty }}{w}_{\lambda \mu }{\phi }_{\lambda },\\ H^0{\phi }_{\lambda }& =E_{\lambda }^0{\phi }_{\lambda }.\end{array}$$

Приравнивая коэффициенты разложения в (5.1), получаем
$$c_{\lambda }{E}_{\lambda }^0+\epsilon \sum _1^{\mathrm{\infty }}{w}_{\lambda \mu }{c}_{\mu }=c_{\lambda }E.$$
Это уравнение является точным. $E$ лежит вблизи одного из $E_n^0$. Следовательно, если $E_{\lambda }^{0}eq{E}_n^0$, то при малых значениях $\epsilon$ величина $E_{\lambda }^0-E$ так же больше некоторого заданного положительного числа. Поэтому (5.3) можно решить относительно ${\mathrm{c}}_{\lambda }$
$$c_{\lambda }=\frac{\epsilon \sum _1^{\mathrm{\infty }}{w}_{\lambda \mu }{c}_{\mu }}{E_{\lambda }^0-E}.$$

Следовательно, речь идет о том, какие $E_{\lambda }^{0}eq{E}_n^0$.
В невозмущенной задаче может быть $k$ следующих друг за другом равных собственных значений, которые мы обозначим через $E_n^0=E_{n+1}^0=\cdots =E_{n+k-1}^0(k$-кратное вырождение $)$. Тогда для $\lambda eqn$, $n+1,\dots ,n+k-1$ можно применить решение (5.4), откуда следует что $c_{\lambda }$ с $\lambda eqn,n+1,\dots ,n+k-1$ малые величины порядка $\epsilon$.

Но $c_n,c_{n+1},\dots ,c_{n+k-1}$ не малы или, по крайней мере, не все малы. Обозначим их предельные значения при $\epsilon =0$ через $c_n^0,c_{n+1}^0,\dots ,c_{n+k-1}^0$, т. е. положим
$$c_{\lambda }=c_{\lambda }^0+\cdots .$$

Подставив (5.2) и (5.5) в (5.3), сравнивая члены с $\epsilon$ и приняв во внимание порядок величины членов $c_{\lambda }$ с $\lambda eqn,n+1,\dots ,n+k-1$, получим
$$\sum _n^{n+k-1}{w}_{\lambda \mu }{c}_{\mu }^0=\zeta c_{\lambda }^0(\lambda =n,n+1,\dots ,n+k-1).$$

Исключая $c_{\mu }^0$, получим «вековое уравнение»
$$\left|\begin{array}{llll}{w}_{nn}-\zeta & w_{n,n+1}& \cdots & w_{n,n+k-1}\\ w_{n+1,n}& w_{n+1,n+1}-\zeta & \cdots & w_{n+1,n+k-1}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ w_{n+k-1,n}& w_{n+k-1,n+1}& \cdots & w_{n+k-1,n+k-1}-\zeta \end{array}\right|=0$$

корни которого ${\zeta }_n,{\zeta }_{n+1},\dots ,{\zeta }_{n+k-1}$ по (5.2) определяют в первом приближении уровни энергии возмущенной задачи. $k$-кратно вырожденный терм $E_n^0$ вследствие возмущения «расщепляется» на $k$ термов (не обязательно различных). Для каждого корня ${\zeta }_{\lambda }$ с помощью (5.6) определяем $c_n^0,\dots ,c_{n+k-1}^0$, т. е. значения начальных членов рядов $c_n,\dots ,c_{n+k-1}$. Начальные члены рядов для остальных $c_{\lambda }$ (т. е. члены с $\epsilon$ ) получаются из (5.4). Коэффициенты разложения найденного таким образом
решения возмущенной задачи отличаются только членами первого и высших порядков от коэффициентов линейной комбинации $c_n^0{\phi }_n+\cdots +$ $+c_{n+k-1}^0{\phi }_{n+k-1}$.

Задачу «приведения к главным осям» (5.6) мы еще рассмотрим далее в §8. Там будет показано, что $i$-кратному корню (5.7) соответствует $i$ независимых решений (5.6), как это и требуется для нашей задачи собственных значений. Легко видеть, что решение задачи приведения к главным осям (5.6) одновременно дает «первое приближение» собственных значений и «нулевое приближение» собственных функций. Понятно, можно продолжить апроксимирование до более высоких степеней $\epsilon$, но мы не пойдем далее в этом направлении.

Полученное первое приближение собственных значений при возрастании $\epsilon$ становится неточным, как только в (5.4) знаменатель стаповится одного порядка всличины с числитслсм, т. с. когда возмущспное значение $E$ близко к другому терму $E_{\lambda }^{0}eq{E}_n^0$. Тогда говорят, что члены $E_{\lambda }^0$ и $E_n^0$ взаимно возмущены. Но взаимное возмущение исчезает, если исчезают входящие в числитель члены $w_{\mu \lambda }$, т. е. два терма $E^{\prime },E^{\prime \prime }$ не возмущаются, хотя они близки друг к другу, когда $w_{\lambda }\mu =0$ для $E_{\lambda }^0=E^{\prime },E_{\mu }^0=E^{\prime \prime }$.

Способ вычисления возмущений меняется, когда «невозмущенные» собственные функции ${\phi }_1,{\phi }_2,\dots$ являются не собственными функциями оператора $H_0$, а решением различных приближенных задач собственных значений, и поэтому не образуют ортогональной системы. Мы все же предполагаем, что функции ${\phi }_u$ образуют замкнутую систему или, по крайней мере, что собственные функции $\psi$ полного оператора $H$ с достаточным приближением могут быть заменены суммой $\sum _1^N{c}_{\mu }{\phi }_{\mu }$, причем сумма содержит большое, но конечное число членов. Задача собственных значений $H\psi =E\psi$ тогда принимает вид
$$\sum c_{\mu }H{\phi }_{\mu }=E\sum c_{\mu }{\phi }_{\mu }.$$

В «нулевом приближении» $H{\phi }_{\mu }=E_{\mu }{\phi }_{\mu }$ и приравнивание коэффициентов слева и справа дает, как и прежде, то, что в нулевом приближении все $c_{\mu }$ равны нулю, за исключением тех $c_{\mu }$, характеристические значения которых $E_{\mu }$ в нулевом приближении совпадают с $E$. Вместо того чтобы, как это мы делали ранее в (5.3), разлагать обе части по ${\phi }_{\mu }$, что сопряжено с известными трудностями вследствие неортогональности ${\phi }_{\lambda }$, образуем из обеих сторон (5.8) скалярное произведение с ${\phi }_{\lambda }$ для $\lambda =n,n+1,\dots ,n+k-1$ :
$$\sum c_{\mu }({\phi }_{\lambda },H{\phi }_{\mu })=E\sum c_{\mu }({\phi }_{\lambda },{\phi }_{\mu }).$$
$({\phi }_{\lambda },{\phi }_{\mu })$ при $\lambda eq\mu$ очень мало, так как ${\phi }_{\lambda }$, как почти собственные функции оператора $H$, образуют почти ортогональную систему. Точно так же $({\phi }_{\lambda },H{\phi }_{\mu })$ очень мало для $\lambda eq\mu$, так как $H{\phi }_{\mu }$ почти равно $E_{\mu }{\phi }_{\mu }$. Если мы отбросим эти малые члены, которые, кроме того, умножены на малые коэффициенты $c_{\mu }$ (следовательно, для $\mu eqn,n+1,\dots ,n+k-1)$ соответственно тому, как мы ранее пренебрегали членом с ${\epsilon }^2$, то остается конечная система уравнений, аналогичная (5.6)
$$\sum _n^{n+k-1}{c}_{\mu }({\phi }_{\lambda },H{\phi }_{\mu })=E\sum _n^{n+k-1}{c}_{\mu }({\phi }_{\lambda },{\phi }_{\mu }).$$

Положим для сокращения $({\phi }_{\lambda },{\phi }_{\mu })=g_{\lambda \mu }$ и $({\phi }_{\lambda },H{\phi }_{\mu })=h_{\lambda \mu }$, тогда наша система уравнений принимает вид
$$\sum _n^{n+k-1}(h_{\lambda \mu }-E{g}_{\lambda \mu })c_{\mu }=0.$$

Исключение $c_{\mu }$ дает опять вековое уравнение
$$|h_{\lambda \mu }-E{g}_{\lambda \mu }|=0,$$

откуда в первом приближении определяются значения энергии.
Если в вышеприведенных вычислениях не пренебрегать малыми членами с $\mu =n,n+1,\dots ,n+k-1$, т. е. принимать во внимание всю сумму $\sum _1^N{c}_{\mu }{\phi }_{\mu }$ и увеличивать $N$, то мы будем получать вековые уравнения все возрастающей степени, из которых мы все с большей точностью будем определять значения энергии. Это — метод Ритца для приближенного решения задачи собственных значений.

Теорию возмущений можно применить так же для исследования поведения заданной волновой функции при возмущении, зависящем от времени. Изложение этого вопроса можно найти в учебниках по квантовой механике.