По формуле (23.9) дифференциальное уравнение для волновой функции Дирака в электростатическом силовом поле с потенциалом $\phi (r)$ имеет вид
$$\begin{array}{l}(E+e\phi -\mu c^2){\psi }^s=c(\mathfrak{p}\sigma ){\psi }^a,\\ (E+e\phi +\mu c^2){\psi }^a=c(\mathfrak{p}\sigma ){\psi }^s\end{array}\}$$
$\mathrm{c}$
$$(\mathfrak{p}\sigma )=p_x{\sigma }_x+p_y{\sigma }_y+p_z{\sigma }_z;p_x=\frac{\hslash }{i}\frac{\partial }{\partial x},\text{ и т. д. }$$

Мы ставим себе задачей найти совокупность решений $\psi$ (с четырьмя компонентами ${\psi }_1^s,{\psi }_2^s,{\psi }_1^a,{\psi }_2^a$ ), преобразующихся по неприводимому
${}^1$ Cm.: W. Heisenberg und W. Pauli, Z. f. Physlk, Bd. 56, S. 1 (1929) Bd. 59, S. 168 (1930).

представлению $D_j$ группы вращений и, кроме того, соответствующих определенному характеру отражения $w$. Введем в спиновом пространстве четыре базисных вектора $u_1^s,u_2^s,u_1^a,u_2^a$ и разложим функцию
$$\psi ={\psi }_1^s{u}_1^s+{\psi }_2^s{u}_2^s+{\psi }_1^a{u}_1^a+{\psi }_2^a{u}_2^a$$

по шаровым функциям $Y_l^{(n)}(\theta ,\phi )$. Это дает
$$\psi =\sum f_{ln\lambda }(r)Y_l^{(n)}{u}_{\lambda }^s+\sum g_{ln\lambda }(r)Y_l^{(n)}{u}_{\lambda }^a=\sum P_l+\sum Q_l.$$

Отдельные многочлены $P_l$ и $Q_l$ преобразуются при вращении так же, как и $\psi$, т. е. по $D_j$. Но они являются линейными комбинациями функций $Y_l^{(n)}{u}_{\lambda }^s$ или $Y_l^{(n)}{u}_2^a$, преобразующихся по ${\mathfrak{D}}_l\times {\mathfrak{D}}_{1/2}={\mathfrak{D}}_{l+1/2}+$ $+{\mathfrak{D}}_{l-1/2}$. Следовательно, $j$ должно быть равно $l\pm 1/2$, т. е. $j$ полуцелое число и вместо $l$ рассматриваются только оба значения $j\pm 1/2$, из которых, естественно, одно четное и одно нечетное. Мы будем обозначать эти два значения через $l^{\prime }$ и $l^{\prime \prime }$, так что $(-1{)}^{l^{\prime }}=w$ и $(-1{)}^{l^{\prime \prime }}=-w$, чего, понятно, всегда можно достичь.

В (24.2) члены $P_l$ относятся к характеру отражения $(-1{)}^l$, тогда как члены $Q_l$ к характеру отражения $(-1{)}^{l+1}$. Следовательно, если $\psi$ должно относиться к характеру отражения $w=(-1{)}^{l^{\prime }}$, то в (24.2) из двух возможных членов $P_l$ входит только $P_{l^{\prime }}$ и точно так же из обоих $Q_l$ только $Q_{l^{\prime \prime }}$. Следовательно, $\psi =P_{l^{\prime }}+Q_{l^{\prime \prime }}$ или
$$\begin{array}{l}{\psi }^s=P_{l^{\prime }}=\sum f_{l^{\prime }n\lambda }(r)Y_{l^{\prime }}^{(n)}{u}_{\lambda }^s,\\ {\psi }^a=Q_{l^{\prime \prime }}=\sum f_{l^{\prime \prime }n\lambda }(r)Y_{l^{\prime \prime }}^{(n)}{u}_{\lambda }^a.\end{array}\}$$

По $\mathrm{\S }18$ линейные комбинации $Y_l^{(n)}{u}_{\lambda }$, преобразующиеся по ${\mathfrak{D}}_{l+1/2}$ или ${\mathfrak{D}}_{l-1/2}$, равны ${}^1$
$$\begin{array}{rl}{W}_{l,l+1/2}^{(m)}=& \sqrt{l+m+1/2}{Y}_l^{(m-1/2)}{u}_1+\\ & +\sqrt{l-m+1/2}{Y}_l^{(m+1/2)}{u}_2,\\ W_{l,l-1/2}^{(m)}=& -\sqrt{l-m+1/2}{Y}_l^{(m-1/2)}{u}_1+\\ & +\sqrt{l+m+1/2}{Y}_l^{(m+1/2)}{u}_2.\end{array}\}$$
${}^1$ Независимо от $\mathrm{\S }18$ легко убедиться в правильности этих соотношений, применив к обеим частям (24.3) операторы $M_p,M_q,M_z\mathrm{\S }22$.
Отсюда следует
$$\begin{array}{l}{\psi }^s=P_{l^{\prime }}^{(m)}=f(r)W_{l^{\prime },j}^{(m)},\\ {\psi }^a=Q_{l^{\prime \prime }}^{(m)}=g(r)W_{l^{\prime \prime },j}^{(m)}.\end{array}\}$$

Этим задача сводится к определению двух функций $f(r)$ и $g(r)$. Подставляя (22.4) в (22.1), получаем дифференциальные уравнения для этих функций
$$\begin{array}{l}(E+e\phi -\mu c^2)f(r)W_{l^{\prime },j}^{(m)}=c(\mathfrak{p}\sigma )g(r)W_{l^{\prime \prime },j}^{(m)},\\ (E+e\phi +\mu c^2)g(r)W_{l^{\prime \prime },j}^{(m)}=c(\mathfrak{p}\sigma )f(r)W_{l^{\prime },j}^{(m)}.\end{array}$$

По правилу дифференцирования произведения получаем
$$(\mathfrak{p}\cdot \sigma )f(r)W_{l,j}^{(m)}=f(r)(\mathfrak{p}\sigma )W_{l,j}^{(m)}+f^{\prime }(r)\frac{\hslash }{i}\epsilon W_{l,j}^{(m)},$$

где принято
$$\epsilon =\frac{x}{r}{\sigma }_x+\frac{y}{r}{\sigma }_y+\frac{z}{r}{\sigma }_z.$$

Так как выражения $(\mathfrak{p}\sigma )W_{l^{\prime },j}^{(m)}$ и $\epsilon W_{l^{\prime },j}^{(m)}$ при вращении опять преобразуются по ${\mathfrak{D}}_j$, но как функции места относятся к противоположным характерам отражения $-w$, то они могут быть только численными кратными от $\hslash r^{-1}{W}_{l^{\prime \prime },j}^{(m)}$ или, соответственно, $W_{l^{\prime \prime },j}^{(m)}$; то же самое имеет место при перестановке $l^{\prime }$ и $l^{\prime \prime }$. Вычисление не представляет трудности (например, из развернутого выражения (24.3) и формул для шаровых функций) и (при соответствующем выборе множителей пропорциональности при $W_{l,j}$ ) дает
$$\begin{array}{rl}\epsilon W_{j\pm \frac{1}{2},j}^{(m)}& =W_{j\mp \frac{1}{2},j}^{(m)},\\ (\mathfrak{p}\sigma )W_{j+\frac{1}{2},j}& =-(j+\frac{3}{2})\frac{\hslash i}{r}{W}_{j-\frac{1}{2},j},\\ (\mathfrak{p}\sigma )W_{j-\frac{1}{2},j}& =(j-\frac{1}{2})\frac{\hslash i}{r}{W}_{j+\frac{1}{2},j}.\end{array}$$

Последние две формулы можно представить в более удобном виде, если ввести вместо квантовых чисел $w,j$ новое целое число $k$, определяемое соотношениями
$$\begin{array}{ll}k=j+\frac{1}{2}=l^{\prime }+1& \text{ для }{l}^{\prime }=j-\frac{1}{2},\\ k=-(j+\frac{1}{2})=-l^{\prime }& \text{ для }{l}^{\prime }=j+\frac{1}{2}.\end{array}$$

При этом получаем
$$\begin{array}{rl}(\mathfrak{p}\sigma )W_{l^{\prime }j}& =(k-1)\frac{\hslash i}{r}{W}_{l^{\prime \prime }j}=(1-k)\frac{\hslash }{ir}{W}_{l^{\prime \prime }j},\\ (\mathfrak{p}\sigma )W_{l^{\prime \prime }j}& =-(k-1)\frac{\hslash i}{r}{W}_{l^{\prime }j}=(1+k)\frac{\hslash }{ir}{W}_{l^{\prime }j},\end{array}$$

а подставляя в (24.5),
$$\begin{array}{l}(E+e\phi -\mu c^2)f=\frac{\hslash c}{i}(\frac{1-k}{r}g+g^{\prime }),\\ (E+e\phi +\mu c^2)g=\frac{\hslash c}{i}(\frac{1+k}{r}f+f^{\prime }).\end{array}$$

Интересующихся определением пары функций $f,g$ и собственных значений $E$ я отсылаю к учебной литературе. Вычисление дает в согласии с опытом тонкую структуру водорода, термы ${\mathrm{He}}^{+}$, а также дублетное расщепление термов наиболее легких щелочных металлов. Благодаря тому, что ${\psi }^s=P_{l^{\prime }},l^{\prime }$ является обычным азимутальным квантовым числом $l$, значение которого $k-1$ для и $-k$ для $k⩽0$. В случае чисто кулоновского поля ( $\mathrm{H},{\mathrm{He}}^{+}$) для каждого главного квантового числа $n$ термы с равным $j=|k|-\frac{1}{2}$ и различными $l=j\pm 1/2$, совпадают (см. рис. 3 ).

Рассмотренную в этом параграфе задачу можно решать по методу возмущений, исходя из дифференциального уравнения (23.10) и рассматмущающие члены. Этот способ особенно полезен в случае некулоновского поля. Член ${(E^{\prime }+e\phi )}^2$ дает только смещение термов, не зависящее от ориен-
Рис. 3. Тонкая структура линии $\alpha$. тации спина, второй член
$$-2\varkappa i(\mathfrak{E}\cdot \mathfrak{S}){\psi }^a=-\varkappa i(\mathfrak{E}\cdot \sigma ){(E^{\prime }+e\phi +2\mu c^2)}^{-1}c(\mathfrak{p}\cdot \sigma ){\psi }^s$$
является причиной дублетного расщепления. Если пренебречь $E^{\prime }+e\phi$ по сравнению с $2\mu c^2$, то получаем
$$-\frac{\varkappa i}{2\mu c}(\mathfrak{E}\cdot \sigma )(\mathfrak{p}\cdot \sigma ){\psi }^s=-\frac{\varkappa i}{2\mu c}\{(\mathfrak{E}\cdot \mathfrak{p})+i([\mathfrak{E}\mathfrak{p}]\cdot \sigma )\}{\psi }^s.$$

Для расщепления важен тольно второй член в скобках. Так как
$$\mathfrak{E}=-\frac{\mathfrak{r}}{r}\frac{d\phi }{dr}\text{ и }[\mathfrak{r}\cdot \mathfrak{p}]=\mathfrak{L},$$

то расщепляющий член запишется
$$-\frac{\varkappa }{2\mu cr}\frac{\partial \phi }{\partial r}(\mathfrak{L}\cdot \sigma ){\psi }^s=-\frac{\varkappa }{\mu cr}\frac{\partial \phi }{\partial r}(\mathfrak{L}\cdot \mathfrak{S}){\psi }^s.$$

Теперь имеем
$$\begin{array}{c}2(\mathfrak{L}\mathfrak{S})=(\mathfrak{L}+\mathfrak{S}{)}^2-{\mathfrak{L}}^2-{\mathfrak{S}}^2={\mathfrak{M}}^2-{\mathfrak{L}}^2-{\mathfrak{S}}^2,\\ 2(\mathfrak{L}\cdot \mathfrak{S}){\psi }^s=\{j(j+1)-l(l+1)-\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)\}{\psi }^s=(k-1){\psi }^s,\end{array}$$

с $k=l+1$ или $-l$, как и выше. Непосредственно отсюда можно вычислить расщепление.

Формула (24.6) дает также выражение, применимое для взаимодействия орбитальных моментов импульса и их спинов в задаче многих электронов, если поле, в котором движется электрон, не слишком отклоняется от центрального поля.