По формуле (23.9) дифференциальное уравнение для волновой функции Дирака в электростатическом силовом поле с потенциалом $\varphi(r)$ имеет вид
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(E+e \varphi-\mu c^{2}\right) \psi^{s}=c(\mathfrak{p} \sigma) \psi^{a}, \\
\left(E+e \varphi+\mu c^{2}\right) \psi^{a}=c(\mathfrak{p} \sigma) \psi^{s}
\end{array}\right\}
\]
$\mathrm{c}$
\[
(\mathfrak{p} \sigma)=p_{x} \sigma_{x}+p_{y} \sigma_{y}+p_{z} \sigma_{z} ; \quad p_{x}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}, \text { и т. д. }
\]

Мы ставим себе задачей найти совокупность решений $\psi$ (с четырьмя компонентами $\psi_{1}^{s}, \psi_{2}^{s}, \psi_{1}^{a}, \psi_{2}^{a}$ ), преобразующихся по неприводимому
${ }^{1}$ Cm.: W. Heisenberg und W. Pauli, Z. f. Physlk, Bd. 56, S. 1 (1929) Bd. 59, S. 168 (1930).

представлению $D_{j}$ группы вращений и, кроме того, соответствующих определенному характеру отражения $w$. Введем в спиновом пространстве четыре базисных вектора $u_{1}^{s}, u_{2}^{s}, u_{1}^{a}, u_{2}^{a}$ и разложим функцию
\[
\psi=\psi_{1}^{s} u_{1}^{s}+\psi_{2}^{s} u_{2}^{s}+\psi_{1}^{a} u_{1}^{a}+\psi_{2}^{a} u_{2}^{a}
\]

по шаровым функциям $Y_{l}^{(n)}(\theta, \varphi)$. Это дает
\[
\psi=\sum f_{l n \lambda}(r) Y_{l}^{(n)} u_{\lambda}^{s}+\sum g_{l n \lambda}(r) Y_{l}^{(n)} u_{\lambda}^{a}=\sum P_{l}+\sum Q_{l} .
\]

Отдельные многочлены $P_{l}$ и $Q_{l}$ преобразуются при вращении так же, как и $\psi$, т. е. по $D_{j}$. Но они являются линейными комбинациями функций $Y_{l}^{(n)} u_{\lambda}^{s}$ или $Y_{l}^{(n)} u_{2}^{a}$, преобразующихся по $\mathfrak{D}_{l} \times \mathfrak{D}_{1 / 2}=\mathfrak{D}_{l+1 / 2}+$ $+\mathfrak{D}_{l-1 / 2}$. Следовательно, $j$ должно быть равно $l \pm 1 / 2$, т. е. $j$ полуцелое число и вместо $l$ рассматриваются только оба значения $j \pm 1 / 2$, из которых, естественно, одно четное и одно нечетное. Мы будем обозначать эти два значения через $l^{\prime}$ и $l^{\prime \prime}$, так что $(-1)^{l^{\prime}}=w$ и $(-1)^{l^{\prime \prime}}=-w$, чего, понятно, всегда можно достичь.

В (24.2) члены $P_{l}$ относятся к характеру отражения $(-1)^{l}$, тогда как члены $Q_{l}$ к характеру отражения $(-1)^{l+1}$. Следовательно, если $\psi$ должно относиться к характеру отражения $w=(-1)^{l^{\prime}}$, то в (24.2) из двух возможных членов $P_{l}$ входит только $P_{l^{\prime}}$ и точно так же из обоих $Q_{l}$ только $Q_{l^{\prime \prime}}$. Следовательно, $\psi=P_{l^{\prime}}+Q_{l^{\prime \prime}}$ или
\[
\left.\begin{array}{l}
\psi^{s}=P_{l^{\prime}}=\sum f_{l^{\prime} n \lambda}(r) Y_{l^{\prime}}^{(n)} u_{\lambda}^{s}, \\
\psi^{a}=Q_{l^{\prime \prime}}=\sum f_{l^{\prime \prime} n \lambda}(r) Y_{l^{\prime \prime}}^{(n)} u_{\lambda}^{a} .
\end{array}\right\}
\]

По $\S 18$ линейные комбинации $Y_{l}^{(n)} u_{\lambda}$, преобразующиеся по $\mathfrak{D}_{l+1 / 2}$ или $\mathfrak{D}_{l-1 / 2}$, равны $^{1}$
\[
\left.\begin{array}{rl}
W_{l, l+1 / 2}^{(m)}= & \sqrt{l+m+1 / 2} Y_{l}^{(m-1 / 2)} u_{1}+ \\
& +\sqrt{l-m+1 / 2} Y_{l}^{(m+1 / 2)} u_{2}, \\
W_{l, l-1 / 2}^{(m)}= & -\sqrt{l-m+1 / 2} Y_{l}^{(m-1 / 2)} u_{1}+ \\
& +\sqrt{l+m+1 / 2} Y_{l}^{(m+1 / 2)} u_{2} .
\end{array}\right\}
\]
${ }^{1}$ Независимо от $\S 18$ легко убедиться в правильности этих соотношений, применив к обеим частям (24.3) операторы $M_{p}, M_{q}, M_{z} \S 22$.
Отсюда следует
\[
\left.\begin{array}{l}
\psi^{s}=P_{l^{\prime}}^{(m)}=f(r) W_{l^{\prime}, j}^{(m)}, \\
\psi^{a}=Q_{l^{\prime \prime}}^{(m)}=g(r) W_{l^{\prime \prime}, j}^{(m)} .
\end{array}\right\}
\]

Этим задача сводится к определению двух функций $f(r)$ и $g(r)$. Подставляя (22.4) в (22.1), получаем дифференциальные уравнения для этих функций
\[
\begin{array}{l}
\left(E+e \varphi-\mu c^{2}\right) f(r) W_{l^{\prime}, j}^{(m)}=c(\mathfrak{p} \sigma) g(r) W_{l^{\prime \prime}, j}^{(m)}, \\
\left(E+e \varphi+\mu c^{2}\right) g(r) W_{l^{\prime \prime}, j}^{(m)}=c(\mathfrak{p} \sigma) f(r) W_{l^{\prime}, j}^{(m)} .
\end{array}
\]

По правилу дифференцирования произведения получаем
\[
(\mathfrak{p} \cdot \sigma) f(r) W_{l, j}^{(m)}=f(r)(\mathfrak{p} \sigma) W_{l, j}^{(m)}+f^{\prime}(r) \frac{\hbar}{i} \varepsilon W_{l, j}^{(m)},
\]

где принято
\[
\varepsilon=\frac{x}{r} \sigma_{x}+\frac{y}{r} \sigma_{y}+\frac{z}{r} \sigma_{z} .
\]

Так как выражения $(\mathfrak{p} \sigma) W_{l^{\prime}, j}^{(m)}$ и $\varepsilon W_{l^{\prime}, j}^{(m)}$ при вращении опять преобразуются по $\mathfrak{D}_{j}$, но как функции места относятся к противоположным характерам отражения $-w$, то они могут быть только численными кратными от $\hbar r^{-1} W_{l^{\prime \prime}, j}^{(m)}$ или, соответственно, $W_{l^{\prime \prime}, j}^{(m)}$; то же самое имеет место при перестановке $l^{\prime}$ и $l^{\prime \prime}$. Вычисление не представляет трудности (например, из развернутого выражения (24.3) и формул для шаровых функций) и (при соответствующем выборе множителей пропорциональности при $W_{l, j}$ ) дает
\[
\begin{aligned}
\varepsilon W_{j \pm \frac{1}{2}, j}^{(m)} & =W_{j \mp \frac{1}{2}, j}^{(m)}, \\
(\mathfrak{p} \sigma) W_{j+\frac{1}{2}, j} & =-\left(j+\frac{3}{2}\right) \frac{\hbar i}{r} W_{j-\frac{1}{2}, j}, \\
(\mathfrak{p} \sigma) W_{j-\frac{1}{2}, j} & =\left(j-\frac{1}{2}\right) \frac{\hbar i}{r} W_{j+\frac{1}{2}, j} .
\end{aligned}
\]

Последние две формулы можно представить в более удобном виде, если ввести вместо квантовых чисел $w, j$ новое целое число $k$, определяемое соотношениями
\[
\begin{array}{ll}
k=j+\frac{1}{2}=l^{\prime}+1 & \text { для } l^{\prime}=j-\frac{1}{2}, \\
k=-\left(j+\frac{1}{2}\right)=-l^{\prime} & \text { для } l^{\prime}=j+\frac{1}{2} .
\end{array}
\]

При этом получаем
\[
\begin{aligned}
(\mathfrak{p} \sigma) W_{l^{\prime} j} & =(k-1) \frac{\hbar i}{r} W_{l^{\prime \prime} j}=(1-k) \frac{\hbar}{i r} W_{l^{\prime \prime} j}, \\
(\mathfrak{p} \sigma) W_{l^{\prime \prime} j} & =-(k-1) \frac{\hbar i}{r} W_{l^{\prime} j}=(1+k) \frac{\hbar}{i r} W_{l^{\prime} j},
\end{aligned}
\]

а подставляя в (24.5),
\[
\begin{array}{l}
\left(E+e \varphi-\mu c^{2}\right) f=\frac{\hbar c}{i}\left(\frac{1-k}{r} g+g^{\prime}\right), \\
\left(E+e \varphi+\mu c^{2}\right) g=\frac{\hbar c}{i}\left(\frac{1+k}{r} f+f^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Интересующихся определением пары функций $f, g$ и собственных значений $E$ я отсылаю к учебной литературе. Вычисление дает в согласии с опытом тонкую структуру водорода, термы $\mathrm{He}^{+}$, а также дублетное расщепление термов наиболее легких щелочных металлов. Благодаря тому, что $\psi^{s}=P_{l^{\prime}}, l^{\prime}$ является обычным азимутальным квантовым числом $l$, значение которого $k-1$ для $k>0$ и $-k$ для $k \leqslant 0$. В случае чисто кулоновского поля ( $\mathrm{H}, \mathrm{He}^{+}$) для каждого главного квантового числа $n$ термы с равным $j=|k|-\frac{1}{2}$ и различными $l=j \pm 1 / 2$, совпадают (см. рис. 3 ).

Рассмотренную в этом параграфе задачу можно решать по методу возмущений, исходя из дифференциального уравнения (23.10) и рассматмущающие члены. Этот способ особенно полезен в случае некулоновского поля. Член $\left(E^{\prime}+e \varphi\right)^{2}$ дает только смещение термов, не зависящее от ориен-
Рис. 3. Тонкая структура линии $\alpha$. тации спина, второй член
\[
-2 \varkappa i(\mathfrak{E} \cdot \mathfrak{S}) \psi^{a}=-\varkappa i(\mathfrak{E} \cdot \sigma)\left(E^{\prime}+e \varphi+2 \mu c^{2}\right)^{-1} c(\mathfrak{p} \cdot \sigma) \psi^{s}
\]
является причиной дублетного расщепления. Если пренебречь $E^{\prime}+e \varphi$ по сравнению с $2 \mu c^{2}$, то получаем
\[
-\frac{\varkappa i}{2 \mu c}(\mathfrak{E} \cdot \sigma)(\mathfrak{p} \cdot \sigma) \psi^{s}=-\frac{\varkappa i}{2 \mu c}\{(\mathfrak{E} \cdot \mathfrak{p})+i([\mathfrak{E} \mathfrak{p}] \cdot \sigma)\} \psi^{s} .
\]

Для расщепления важен тольно второй член в скобках. Так как
\[
\mathfrak{E}=-\frac{\mathfrak{r}}{r} \frac{d \varphi}{d r} \quad \text { и } \quad[\mathfrak{r} \cdot \mathfrak{p}]=\mathfrak{L},
\]

то расщепляющий член запишется
\[
-\frac{\varkappa}{2 \mu c r} \frac{\partial \varphi}{\partial r}(\mathfrak{L} \cdot \sigma) \psi^{s}=-\frac{\varkappa}{\mu c r} \frac{\partial \varphi}{\partial r}(\mathfrak{L} \cdot \mathfrak{S}) \psi^{s} .
\]

Теперь имеем
\[
\begin{array}{c}
2(\mathfrak{L} \mathfrak{S})=(\mathfrak{L}+\mathfrak{S})^{2}-\mathfrak{L}^{2}-\mathfrak{S}^{2}=\mathfrak{M}^{2}-\mathfrak{L}^{2}-\mathfrak{S}^{2}, \\
2(\mathfrak{L} \cdot \mathfrak{S}) \psi^{s}=\left\{j(j+1)-l(l+1)-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+1\right)\right\} \psi^{s}=(k-1) \psi^{s},
\end{array}
\]

с $k=l+1$ или $-l$, как и выше. Непосредственно отсюда можно вычислить расщепление.

Формула (24.6) дает также выражение, применимое для взаимодействия орбитальных моментов импульса и их спинов в задаче многих электронов, если поле, в котором движется электрон, не слишком отклоняется от центрального поля.