Пример 1. (СИмметричная групІІ $\mathfrak{S}_{3}$ ). Число элементов $3 !=6$. Классы сопряженных элементов группы: класс (1), класс (1 2), класс (12 3); мы имеем, следовательно, три представления. Они уже известны нам из примера $5 \S 10$. Их степени $1,1,2$. Действительно,
\[
6=1^{2}+1^{2}+2^{2} \text {. }
\]

Представления первой степени являются симметричным и антисимметричным. Представление второй степени легче всего получить, присоединяя сначала к двум линейно-независимым векторам $e_{1}, e_{2}$ третий вектор е $_{3}$ с помощью $e_{3}=-e_{1}-e_{2}$ или $e_{1}+e_{2}+e_{3}=0$ и подвергая затем эти три вектора перестановкам $\mathfrak{S}_{3}$. Это представление второй степени является, очевидно, точным.
Пример 2. (Симметричная группа $\mathfrak{S}_{4}$ ). Число элементов 4 ! $=24$. Классы (1), (1 2), (1 2 3), (1 2), (3 4), (1 23 4); мы имеем, следовательно, пять представлений. Дополнительная группа $\mathfrak{S}_{4} / \mathfrak{B}_{4} \cong \mathfrak{S}_{3}$ и поэтому, согласно примеру 1 , имеем два представления первой степени и одно второй степени. Это дает три неточных представления $\mathfrak{S}_{4}$ (степени 1, 1, 2). Из
\[
24=1^{2}+1^{2}+2^{2}+n_{4}^{2}+n_{5}^{2}
\]

следует: $n_{4}^{2}+n_{5}^{2}=18$, т. е. $n_{4}=n_{5}=3$.
Мы получаем одно из представлений третьей степени, подвергая перестановкам $\mathfrak{S}_{4}$ четыре вектора $e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}$, из которых три первых
линейно-независимы, тогда как $e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}=0$. Другое представление получаем, меняя знак в относящихся к нечетным перестановкам матрицах полученного ранее представления.
ПРИМЕР 3. (ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУППА $\mathfrak{A}_{4}$ ). Число элементов 12 . Классы (1), (2 3), (1 3 2) и (1 2), (3 4). Существуют, следовательно, четыре представления. Дополнительная группа $\mathfrak{A}_{4} / \mathfrak{B}_{4}$ является циклической группой третьего порядка и поэтому имеет три представления первой степени (с корнем третьей степени из 1 ). Из
\[
12=1^{2}+1^{2}+1^{2}+n_{4}^{2}
\]

следует: $n_{4}=3$. Недостающие представления третьей степени являются ничем иным, как обоими вышеприведенными представлениями третьей степени $\mathfrak{S}_{4}$, примененными к перестановкам $\mathfrak{A}_{4}$. Вышеприведенное представление второй степени $\mathfrak{S}_{4}$, примененное к $\mathfrak{A}_{4}$, распадается на два комплексно-сопряженных представления первой степени.