Способ записи ко- и контраградиентных векторов с помощью верхних и нижних значков имеет, как известно, то преимущество, что инвариантность тех или иных соотношений бросается в глаза. Например, система уравнений
\[
a_{\lambda}=\sum c_{\lambda \dot{\mu}} b^{\dot{\mu}}
\]

инвариантна относительно группы $\mathfrak{c}_{2}$, так как $c_{\lambda \dot{\mu}}$, т. е. коэффициенты (20.4) преобразуются так же, как коэффициенты $c_{\lambda} c_{\dot{\mu}}$ развернутой билинейной формы $\left(c_{1} \stackrel{1}{u}+c_{2} \stackrel{2}{u}\right)\left(c_{1} \stackrel{\dot{1}}{u}+c_{\dot{2}} \stackrel{\dot{u}}{u}\right)$.
Это значит, что матрица $C=\left(c_{\lambda \dot{\mu}}\right)$ преобразует бинарный вектор вида $\left(b^{\mathrm{i}}, b^{\dot{2}}\right.$ ) в вектор вида ( $\left.a_{1}, a_{2}\right)$. Обратная матрица, умноженная на инвариант $|C|=c_{1 \dot{1}} c_{2 \dot{2}}-c_{1 \dot{2}} c_{2 \dot{1}}$, т. е.
\[
C^{\prime}=|C| C^{-1}=\left(\begin{array}{rr}
c_{2 \dot{2}} & -c_{1 \dot{2}} \\
-c_{2 \mathrm{i}} & c_{1 \dot{1}}
\end{array}\right),
\]

естественно, преобразует обратно бинарный вектор вида $\left(a_{1}, a_{2}\right)$ в вектор вида $\left(b^{\dot{1}}, b^{\dot{2}}\right)$.
Согласно (20.5), имеем
\[
C=\left(\begin{array}{ll}
c_{1 \mathrm{i}} & c_{1 \dot{2}} \\
c_{2 \mathrm{i}} & c_{2 \dot{2}}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
z+c t & x-i y \\
x+i y & -z+c t
\end{array}\right)
\]

и поэтому
\[
C^{\prime}=\left(\begin{array}{cc}
-z+c t & -(x-i y) \\
-(x+i y) & z+c t
\end{array}\right) .
\]

Введем «спиновые матрицы» Паули
\[
\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)=\sigma_{x} ; \quad\left(\begin{array}{rr}
0 & -i \\
i & 0
\end{array}\right)=\sigma_{y} ; \quad\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right)=\sigma_{z}
\]

и обозначим единичную матрицу через $\sigma_{0}$, тогда
\[
\begin{aligned}
C & =x \sigma_{x}+y \sigma_{y}+z \sigma_{z}+c t \sigma_{0}, \\
C^{\prime} & =-x \sigma_{x}-y \sigma_{y}-z \sigma_{z}+c t \sigma_{0} .
\end{aligned}
\]

Обозначим переменные $\quad x, y, z, c t \quad$ через $\quad x^{1}, x^{2}, x^{3}, x^{0}$, матрицы $\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}, \sigma_{0}$ через $\sigma_{1}, \sigma_{2}, \sigma_{3}, \sigma_{0}$ и элемент матрицы $\sigma_{k}$ через $\sigma_{k \lambda \dot{\mu}}$ $(k=1,2,3,4 ; \lambda=1,2 ; \dot{\mu}=1,2)$, тогда
\[
c_{\lambda \dot{\mu}}=\sum x_{k \lambda \dot{\mu}}^{\sigma} .
\]

Полученный результат означает, что каждое уравнение вида
\[
a_{\lambda}=\sum_{k} \sum_{\dot{\mu}} x^{k} \sigma_{k \lambda \dot{\mu}} b^{\dot{\mu}}
\]

остается инвариантным при всех преобразованиях Лоренца, если $a_{\lambda}$ и $b^{\dot{\mu}}$ преобразуются согласно вышеописанному двузначному представлению группы Лоренца, а $x^{k}$ преобразуется по группе Лоренца, тогда как чисто числовые величины, $\sigma_{k \lambda \dot{\mu}}$ при преобразовании не меняются.
Если мы примем $\sigma_{1}^{\prime}=-\sigma_{x}, \sigma_{z}^{\prime}=-\sigma_{y}, \sigma_{3}^{\prime}=-\sigma_{z}, \sigma_{0}^{\prime}=\sigma_{0}$, то всякое уравнение вида
\[
a^{\dot{\mu}}=\sum_{k} \sum_{\lambda} x^{k} \sigma_{k}^{\prime \dot{\mu} \lambda} b_{\lambda}
\]

также оказывается инвариантным относительно всех собственных преобразований Лоренца.

Кроме того, пара уравнений $(20.10),(20.11)$ остается инвариантной при отражении $s$, преобразующем $a_{\lambda}$ в $a^{\dot{\lambda}}, b_{\mu}$ в $+b^{\dot{\mu}}, x^{k}$ в $-x^{k}$ $(k=1,2,3)$, так как при таком отражении (20.10) переходит в (20.11), и обратно.

Только что описанные свойства инвариантности, естественно, сохраняются при замене $x^{k}$ любым другим выражением, преобразующимся как компоненты мирового вектора, как, например
\[
\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z},-\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} .
\]