Будем исходить из группы $\mathfrak{c}_{2}$ одномодулярных линейных преобразований в двухмерном пространстве. Так как в дальнейшем нам придется иметь дело с ко- и контравариантными векторами, то мы воспользуемся обозначениями исчисления Ричи ${ }^{1}$. Мы обозначим базисные векторы через $\stackrel{1}{u}, \stackrel{2}{u}$, а их линейные комбинации через $a_{1} \stackrel{1}{u}+a_{2} \stackrel{2}{u}$. Формула
${ }^{1}$ Тензорного исчисления.
преобразования имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\stackrel{1}{u}^{\prime}=\stackrel{1}{u} \alpha+\stackrel{2}{u} \gamma, \\
\stackrel{2}{u}^{\prime}=\stackrel{1}{u} \beta+\stackrel{2}{u} \delta, \\
\alpha \delta-\beta \gamma=1\} . \\
\end{array}
\]

Мы введем еще второе векторное пространство $\left(a_{1} \stackrel{\dot{i}}{u}+a_{2} \stackrel{\dot{2}}{u}\right)$, которое преобразуется одновременно с первым, но всегда с комплексносопряженной матрицей
\[
\left.\begin{array}{l}
\stackrel{\dot{1}}{u^{\prime}}=\stackrel{\dot{1}}{u} \bar{\alpha}+\stackrel{\dot{2}}{u} \bar{\gamma} \\
\dot{u^{\prime}}=\stackrel{\dot{1}}{u} \bar{\beta}+\stackrel{\dot{\alpha}}{u} \bar{\delta}
\end{array}\right\} .
\]

Мы уславливаемся отмечать все величины, преобразующиеся по (20.2), пунктирными индексами ( $\dot{1}, \dot{2}$ или $\left.1^{*}, 2^{*}\right)$.

Если нужно, можно считать $\stackrel{1}{u}, \stackrel{2}{u}$ численными переменными, а $\dot{i}, \dot{2}$ комплексно-сопряженными переменными $\stackrel{\dot{i}}{u}=\bar{i}, \dot{\stackrel{2}{u}}=\overline{2}$. Иногда мы будем пользоваться этой интерпретацией, иногда будем понимать под $\stackrel{1}{u}, \stackrel{2}{u}, \stackrel{i}{u}, \stackrel{\dot{2}}{u}$ четыре совершенно произвольных основных вектора.

Если $\left(a_{1}, a_{2}\right)$ и $\left(b_{1}, b_{2}\right)$ два вектора, преобразующиеся по (20.1), то выражение $a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}$ инвариантно; поэтому вектор $\left(b_{2},-b_{1}\right.$ ) контрагредиентен к $\left(a_{1}, a_{2}\right)$. Следовательно, мы можем для каждого бинарного вектора $\left(b_{1}, b_{2}\right.$ ) построить контрагредиентный вектор $\left(b^{1}, b^{2}\right)$ с компонентами
\[
b^{1}=b_{2}, \quad b^{2}=-b_{1} .
\]

Точно так же для каждого вектора $\left(b_{\dot{1}}, b_{\dot{2}}\right)$ мы определяем контрагредиентный вектор $\left(b^{\dot{1}}, b^{\dot{2}}\right)=\left(b_{\dot{2}},-b_{\dot{1}}\right)$.
Линейное пространство всех билинейных форм

линейно преобразуется в самого себя при преобразованиях
и (20.2) (т. е. при замене $\stackrel{\lambda}{u}$ на ${ }_{u}^{\prime}$ ), причем детерминант
\[
|C|=c_{1 \dot{1}} c_{2 \dot{2}}-c_{1 \dot{2}} c_{2 \dot{1}}
\]
остается инвариантным. Для того чтобы форма (20.4) при интерпретации $\stackrel{\lambda}{u}, \stackrel{\dot{\lambda}}{u}$, как комплексно-сопряженных пар переменных, принимала только вещественные значения, $c_{12}$ и $c_{21}$ должны быть вещественными, а $c_{1 \dot{2}}, c_{2 \dot{1}}$ – комплексно-сопряженными. В дальнейшем мы будем пользоваться этими условиями вещественности; они, очевидно, инвариантны относительно преобразований (20.1).

Введем теперь вещественные переменные $x, y, z, t$ с помощью соотношений
\[
\left.\begin{array}{rl}
c_{2 \dot{1}} & =x+i y, \\
c_{1 \dot{2}} & =x-i y, \\
c_{1 \dot{1}} & =z+c t, \\
c_{2 \dot{2}} & =-z+c t .
\end{array}\right\}
\]

Эти новые переменные, как и $c_{\lambda \dot{\mu}}$, претерпевают при группе (20.2) линейное преобразование. Так как они вещественны и это свойство сохраняется при нашем преобразовании, то коэффициенты преобразования также вещественны.
Далее, квадратичная форма
\[
c_{1 \dot{1}} c_{2 \dot{2}}-c_{1 \dot{2}} c_{2 \dot{1}}=c^{2} t^{2}-z^{2}-x^{2}-y^{2}
\]

инвариантна и поэтому речь идет о вещественном преобразовании Лоренца для переменных $x, y, z, t$. Среди получаемых таким образом преобразований Лоренца находятся и все пространственные вращения, так как если в (20.1) и (20.2) специально выбрать $\delta=\bar{\alpha}, \gamma=-\bar{\beta}$, то $2 c t=c_{11}+c_{2 \dot{2}}$ остается инвариантным. Преобразование (20.1) является унитарным и поэтому $\stackrel{\dot{i}}{u}$ и $\dot{\stackrel{2}{u}}$ (или $\overline{\bar{u}}$ и $\overline{2}$ преобразуется как $u_{2},-u_{1}$, а форма (20.4) преобразуется как
\[
-c_{1 \dot{2}} \stackrel{1}{u} \stackrel{1}{u}+\left(c_{1 \dot{1}}-c_{2 \dot{2}}\right) \stackrel{1}{u} \stackrel{2}{u}+c_{2 \dot{1}} \stackrel{2}{u} u=2\left(c_{0} \stackrel{11}{u} u+c_{1} \stackrel{12}{u}+c_{2} \stackrel{2}{u} \stackrel{2}{u}\right),
\]
т. е. переменные $x, y, z$ претерпевают те преобразования, которые были рассмотрены в $\S 16$. Но среди наших преобразований Лоренца встречаются также и следующие:
\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
\stackrel{1}{u}^{\prime}=\alpha \stackrel{1}{u}, \\
\stackrel{2}{u}^{\prime}=\alpha^{-1} \stackrel{2}{u},
\end{array}\right\} \\
\left.\left.\begin{array}{l}
c_{1 \dot{1}}^{\prime}=\alpha^{2} c_{1 \dot{1}}, \\
c_{2 \dot{2}}^{\prime}=\alpha^{-2} c_{2 \dot{2}}, \\
c_{1 \dot{2}}^{\prime}=c_{1 \dot{2}}, \\
c_{2 \dot{1}}^{\prime}=c_{2 \dot{1}},
\end{array}\right\} \quad \begin{array}{l}
x^{\prime}=x, \\
y^{\prime}=y, \\
z^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\alpha^{2}+\alpha^{-2}\right) z+\frac{1}{2}\left(\alpha^{2}-\alpha^{-2}\right) c t, \\
c t^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\alpha^{2}-\alpha^{-2}\right) z+\frac{1}{2}\left(\alpha^{2}+\alpha^{-2}\right) c t,
\end{array}\right\} \\
\end{array}
\]

при которых новая система ( $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, t^{\prime}$ ) движется в направлении $z$ с любой скоростью $v=c \frac{\alpha^{4}-1}{\alpha^{4}+1}$. Из этого преобразования и вращений можно составить все «собственные преобразования Лоренца», т. е. все те преобразования, которые не меняют вращательного соотношения между пространственными осями ${ }^{1}$. Поэтому наши преобразования дают все собственные преобразования Лоренца: основная группа Лоренца является представлением группы $\mathfrak{c}_{2}$.

Единственные преобразования (20.1), дающие тождественные преобразования группы Лоренца, определяются матрицами
\[
E=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \quad \text { и } \quad-E=\left(\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) .
\]

Поэтому обратно группа $\mathfrak{c}_{2}$ является двузначным представлением собственной группы Лоренца.