Мы определим теперь все дифференцируемые представления группы Лоренца с помощью метода бесконечно малых преобразований. Каждое собственное представление собственной группы Лоренца является одновременно собственным представлением группы $\mathfrak{c}_{2}$, и обратно; поэтому мы сначала будем искать представления $\mathfrak{c}_{2}$. В качестве матрицы преобразования $\mathfrak{c}_{2}$ мы возьмем
\[
A=\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
1+\alpha_{1}+i \alpha_{2} & \alpha_{3}+i \alpha_{4} \\
\alpha_{5}+i \alpha_{6} & \delta
\end{array}\right),
\]

где
\[
\delta=\frac{1+\beta \gamma}{\alpha}=\frac{1+\left(\alpha_{3}+i \alpha_{4}\right)\left(\alpha_{5}+i \alpha_{6}\right)}{1+\alpha_{1}+i \alpha_{2}},
\]

и в качестве параметров вблизи единичной матрицы – вещественные переменные $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{6}$. Мы определим, как и в $\S 17$, бесконечно малые преобразования $I_{1}, \ldots, I_{6}$ произвольного представления так, чтобы они удовлетворяли перестановочному соотношению вида
\[
I_{\mu} I_{
u}-I_{
u} I_{\mu}=\sum_{\sigma} I_{\sigma} c_{\mu
u}^{\sigma} .
\]

$c_{\mu
u}^{\sigma}$ являются вещественными числами, зависящими только от построения группы, и поэтому могут быть определены из какого-нибудь представления, например, из матриц самого $\mathfrak{c}_{2}$. Для этого представления по (20.12) имеем
\[
\begin{array}{ll}
I_{1}=\frac{\partial A}{\partial \alpha_{1}}=\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) ; \quad I_{3}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right) ; \quad I_{5}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
1 & 0
\end{array}\right) ; \\
I_{2}=\frac{\partial A}{\partial \alpha_{2}}=\left(\begin{array}{cc}
i & 0 \\
0 & -i
\end{array}\right) ; \quad I_{4}=\left(\begin{array}{cc}
0 & i \\
0 & 0
\end{array}\right) ; \quad I_{6}=\left(\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
i & 0
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Получаем следующие перестановочные соотношения с вещественными коэффициентами ${ }^{1}$
\[
\begin{array}{l}
I_{1} I_{3}-I_{3} I_{1}=2 I_{3} \quad I_{1} I_{4}-I_{4} I_{1}=2 I_{4} \quad I_{2} I_{3}-I_{3} I_{2}=2 I_{4} \\
I_{1} I_{5}-I_{5} I_{1}=-2 I_{5} \quad I_{1} I_{6}-I_{6} I_{1}=-2 I_{6} \quad I_{2} I_{5}-I_{5} I_{2}=-2 I_{6} \\
I_{3} I_{5}-I_{5} I_{3}=I_{1} \quad I_{3} I_{6}-I_{6} I_{3}=I_{2} \quad I_{4} I_{5}-I_{5} I_{4}=I_{2} \\
I_{2} I_{4}-I_{4} I_{2}=-2 I_{3} \quad I_{1} I_{2}-I_{2} I_{1}=0 \\
I_{2} I_{6}-I_{6} I_{2}=2 I_{5} \quad I_{3} I_{4}-I_{4} I_{3}=0 \\
I_{4} I_{6}-I_{6} I_{4}=-I_{1} \quad I_{5} I_{6}-I_{6} I_{5}=0 . \\
\end{array}
\]

Эти соотношения должны также иметь место для любого представления. Их можно упростить введением новых операторов
\[
\begin{array}{lll}
I_{1}+i I_{2}=4 A_{z} ; & I_{3}+i I_{4}=2 A_{p} ; & I_{5}+i I_{6}=2 A_{q} ; \\
I_{1}-i I_{2}=4 B_{z} ; & I_{3}-i I_{4}=2 B_{p} ; & I_{5}-i I_{6}=2 B_{q} .
\end{array}
\]

Вычисление показывает, что все $A$ и $B$ коммутируют между собой
\[
A_{h} B_{k}-B_{k} A_{h}=0 \quad \text { для } \quad h, k=z, p, q
\]

и далее
\[
\left.\left.\begin{array}{l}
A_{z} A_{p}-A_{p} A_{z}=A_{p} \\
A_{z} A_{q}-A_{q} A_{z}=-A_{q} \\
A_{p} A_{q}-A_{q} A_{p}=2 A_{z}
\end{array}\right\} \quad \begin{array}{l}
B_{z} B_{p}-B_{p} B_{z}=B_{p} \\
B_{z} B_{q}-B_{q} B_{z}=-B_{q} \\
B_{p} B_{q}-B_{q} B_{p}=2 B_{z}
\end{array}\right\} .
\]

Как для $A$, так и для $B$ мы имеем такие же перестановочные соотношения, как (17.5). Поэтому остаются в силе все выводы, сделанные
1 Что коэффициенты должны быть вещественны, следует из общих соображений $\S 17$. Только при условии вещественности коэффициенты определяются однозначно.
нами из (17.5). Если $v_{J}$ вектор, относящийся к наивысшему собственному значению $J$ величины $A_{z}$, то имеется целый ряд собственных векторов $v_{M}(-J \leqslant M \leqslant J)$, преобразующихся с помощью операторов $A_{h}$ по (17.8) (с $A_{k}$ вместо $L_{k}$ ). Совокупность всех $v_{J}$, относящихся к собственному значению $J$, является линейным пространством, инвариантным относительно $B_{k}$, так как последнее коммутирует с $A_{z}$. В этом пространстве можно по тому же принципу найти ряд векторов $v_{J M^{\prime}}\left(-J^{\prime} \leqslant M^{\prime} \leqslant J^{\prime}\right)$, преобразующихся с помощью $B_{k}$ по (17.8); каждый такой вектор $v_{J M^{\prime}}$ при повторном применении оператора $A_{q}$ дает целый ряд векторов $v_{M M^{\prime}}(-J \leqslant M \leqslant J)$. Таким образом мы находим $(2 J+1)\left(2 J^{\prime}+1\right)$ векторов $v_{M M^{\prime}}$, для которых имеют место соотношения
\[
\left.\begin{array}{l}
A_{p} v_{M M^{\prime}}=\sqrt{(J-M)(J+M+1)} v_{M+1, M^{\prime}} \\
A_{q} v_{M M^{\prime}}=\sqrt{(J+M)(J-M+1)} v_{M-1, M^{\prime}} \\
A_{z} v_{M M^{\prime}}=M v_{M M^{\prime}} \\
B_{p} v_{M M^{\prime}}=\sqrt{\left(J^{\prime}-M^{\prime}\right)\left(J^{\prime}+M^{\prime}+1\right)} v_{M, M^{\prime}+1} \\
B_{q} v_{M M^{\prime}}=\sqrt{\left(J^{\prime}+M^{\prime}\right)\left(J^{\prime}-M^{\prime}+1\right)} v_{M, M^{\prime}-1} \\
B_{z} v_{M M^{\prime}}=M^{\prime} v_{M M^{\prime}}
\end{array}\right\}
\]

и которые определяют неприводимое представление группы $\mathfrak{c}_{2}$. Неприводимость легко получается из тех же соображений, которыми мы пользовались для этой цели в §17. Если первоначальное представление неприводимо, то $v_{M M^{\prime}}$ должны обнзательно заполнять все пространство; поэтому каждое неприводимое представление эквивалентно заданному (20.13) представлению $\mathfrak{D}_{J J^{\prime}}$.

Далее, легко построить систему величин, преобразующихся так же, как и $\mathfrak{D}_{J J^{\prime}}$. Для этого мы должны только принять

Произвольная линейная комбинация этих $v_{M M^{\prime}}$ дается выражением
\[
c_{\lambda \mu \ldots
u \dot{\rho} \dot{\sigma} \ldots \dot{\tau}} \stackrel{\lambda \mu}{u} \ldots \stackrel{
u}{\dot{\rho} \dot{\sigma}} \ldots \stackrel{\dot{\tau}}{u}
\]

где тензор $c$ симметричен относительно $2 J$ индексов $\lambda, \ldots,
u$ и $2 J^{\prime}$ индексов $\dot{\rho}, \ldots, \dot{\tau}$.

Следовательно, эти тензоры с образуют ряд величин, которые при применении группы $\mathfrak{c}_{2}$ претерпевают неприводимую группу преобразований, и эти величины являются единственными (с точностью до эквивалентности), обладающими этими свойствами.
Я не буду здесь останавливаться на доказательстве (впрочем, не очень трудном), что каждое представление полностью приводимо, и поэтому все возможные величины могут быть написаны в виде сумм величин вышеописанного вида.

В вышеизложенном исследовании определены все виды «величин», линейно преобразующихся при применении (собственной) группы Лоренца. Простейшие величины являются инвариантами или скалярами; далее следуют бинарные векторы $\left(a_{1}, a_{2}\right)$ и $\left(a_{i}, a_{\dot{2}}\right)$ [контраградиентные векторы по (20.3) преобразуются одинаково с коградиентными], далее – тензоры $c_{\lambda \dot{\mu}}$, которые по (20.4) эквивалентны мировому тензору (четырехмерному вектору); потом симметричные тензоры $c_{\lambda \mu}$ и $c_{\dot{\lambda} \dot{\mu}}$ с тремя компонентами и т. д.

Все эти величины обозначают собирательным именем «спиноров», так как они играют роль в теории «вращающегося» электрона (электрона со спином).

Между всеми видами спиноров можно установить соотношения, инвариантные относительно преобразования Лоренца, в которых, как обычно подразумевается, производится суммирование его по верхним или нижним индексам (которые либо оба пунктированы, либо оба непунктированы). При этом имеют значение также те определенные численные спиноры, все компоненты которых в отдельности инварианты. Такие спиноры нам уже известны, это определенные (20.7) величины $\sigma_{k \lambda \mu}$ (собственно говоря, не чистые спиноры, так как индекс $k$ меняется не от 1 до 2 , а от 0 до 3 и преобразуются они подобно мировым тензорам). Эти величины всегда входят в формулы [как в (20.10)] как связывающие члены между спинорами и векторами. С их помощью можно записать (20.4) в виде
\[
c_{\lambda \dot{\mu}}=\sigma_{k \lambda \dot{\mu}} x^{k} .
\]

Таким же образом с каждым мировым вектором или мировым тензором с помощью величины $\sigma$ можно связать спинор. Например,
\[
f_{\varkappa \lambda \dot{\mu} \dot{
u}}=\sigma_{k \varkappa \dot{\mu}} \sigma_{l \lambda \dot{
u}} F^{k l} .
\]

Другой простой величиной является чистый спинор $\varepsilon^{\lambda \mu}$ с компонентами
\[
\varepsilon^{12}=1, \quad \varepsilon^{21}=-1, \quad \varepsilon^{11}=\varepsilon^{22}=0 .
\]

Точно так же можно определить $\varepsilon_{\lambda \mu}, \varepsilon^{\dot{\lambda} \dot{\mu}}$ и $\varepsilon_{\dot{\lambda} \dot{\mu}}$. С помощью этих величин строят инварианты, как, например,
\[
\varepsilon^{\lambda \mu} a_{\lambda} b_{\mu}=a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}
\]
и пишут (20.3) в инвариантном виде
\[
b^{\lambda}=\varepsilon^{\lambda \mu} b_{\mu} .
\]

На доказательстве ${ }^{1}$ того, что символов $\varepsilon$ и $\sigma$ достаточно, чтобы записать инвариантно любую инвариантную систему уравнений, связывающую спиноры и мировые тензоры, мы останавливаться не будем и ограничимся следующим примером. Скалярное произведение $x_{k} y^{k}$ двух мировых векторов может быть представлено с помощью $\varepsilon$-символики в виде
\[
x_{k} y^{k}=-\frac{1}{2} \varepsilon^{\varkappa \lambda} \varepsilon^{\mu \dot{
u}} \xi_{\varkappa \dot{\mu}} \eta_{\lambda \dot{
u}},
\]

где $\xi_{\lambda \dot{\mu}}=\sigma_{k \lambda \dot{\mu}} x^{k}$ и $\eta^{\lambda \mu}=\sigma_{k \lambda \dot{\mu}} y^{k}$ соответствующие спиноры ${ }^{2}$.
${ }^{1}$ Вкратце это доказательство сводится к следующему. Сначала мировые векторы и тензоры заменяются эквивалентными им спинорами [как в (20.14)]. После этой замены символы $\sigma$ уже не нужны. Каждая инвариантная система уравнений может быть получена путем приравнивания нулю ковариантов (теорема Грама). Все коварианты бинарных тензоров строятся путем символического разложения тензора на «линейные множители» $a_{\mu} x^{\mu}$ соответственно $a_{\dot{\mu}} y^{\dot{\mu}}$ и «скобочные символы» $(a b)=a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1}=\varepsilon^{\lambda \mu} a_{\lambda} b_{\mu}$ или, соответственно, $(\dot{a} \dot{b}) \varepsilon^{\dot{\lambda} \dot{\mu}} a_{\dot{\lambda}} b_{\dot{\mu}}$. В этом и заключается доказательство. Применяемые законы теории инвариантов см.: R. Weitzenböck. Invariantentheorie, Groningen, 1923.
${ }^{2}$ Подробное изложение спинорного анализа с многочисленными примерами и, между прочим, с применением к уравнениям поля Максвелла, дано в Laporte und Uhlenbeck. Phys Rev., Bd. 37, S. 1380 (1931).