В § 20 кратко описаны свойства нового класса математических величин спиноров или «полувекторов». Исследования Ван-дер-Вардена ${ }^{1}$ Уленбека и Лапорта ${ }^{2}$ и других показали, что тензоры и векторы являются величинами производными, которые можно свести к спинорам. Согласно $\S 20$, мы называем спинорами векторы $\left(a_{1}, a_{2}\right.$ ) в двухмерном комплексном пространстве, преобразующиеся по формулам
\[
\begin{array}{l}
a_{1}^{\prime}=\alpha_{11} a_{1}+\alpha_{12} a_{2} \\
a_{2}^{\prime}=\alpha_{21} a_{1}+\alpha_{22} a_{2}
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\bar{a}_{1}^{\prime}=\bar{\alpha}_{11} \bar{a}_{1}+\bar{\alpha}_{12} \bar{a}_{2} \\
\bar{a}_{2}^{\prime}=\bar{\alpha}_{21} \bar{a}_{1}+\bar{\alpha}_{22} \bar{a}_{2} .
\end{array}
\]

Детерминант этого преобразования равен единице
\[
\left|\begin{array}{ll}
\alpha_{11} & \alpha_{12} \\
\alpha_{21} & \alpha_{22}
\end{array}\right|=1 .
\]
${ }^{1}$ B. L. Wan-der-Waerden, Göt. Nachr. 100 (1929).
${ }^{2}$ Uhlenbeck and Lapport, Phys. Rev. 37, 1380 (1931).

—————————————————————-
0007ru_fiz_kvant_book15_no_photo_page-0216.jpg.txt

Дополнения
215
Спинор можно рассматривать как тензор половинного ранга. Обратно, вектор является спинором второго ранга, преобразующимся как произведение двух спиноров. Преобразования (3.1) и (3.2) образуют группу с 6 действительными параметрами, из которых можно образовать три линейно-независимых комплексных параметра. Эта группа является ничем иным, как специально линейной группой $C_{2}$, рассмотренной в § 16 .

Из произведений и компонент спиноров можно получить компоненты спиноров высших рангов, эквивалентных векторам и тензорам. Площадь параллелограмма, образованного двумя спинорами $a$ и $b$, равна
\[
a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} .
\]

Эта площадь инвариантна относительно преобразований (3.1), (3.2). Пользуясь инвариантной билинейной формой (3.4), мы можем ввести контравариантные спиноры $a^{k} b^{i}$. Между компонентами ко- и контравариантных спиноров имеют место соотношения
\[
\begin{array}{ll}
a^{1}=a_{2} & b^{\dot{1}}=b_{2} \\
a^{2}=-a_{1} & b^{\dot{2}}=-b_{1},
\end{array}
\]

которые можно записать в виде
\[
a^{k}=e^{k \lambda} a_{\lambda},
\]

где
\[
e^{k \lambda}=\left(\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & 0
\end{array}\right)
\]
(греческие буквы играют роль индексов суммирования).
В спинорной алгебре мы имеем только две операции: умножение и свертывание. Абсолютное значение спиноров нечетного ранга равно нулю
\[
a_{\lambda} a^{\lambda}=0 .
\]

Кроме того,
\[
a_{\dot{r} e t}=a_{e \dot{r} t}=a_{e r \dot{t}}
\]
Спиноры второго ранга связаны простыми соотношениями с компонентами мирового вектора
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{1}{2}\left(a_{\dot{2} 1}-a_{\dot{i}_{r}}\right)=A^{1}=A_{1} \\
\frac{1}{2 i}\left(a_{\dot{r} 1}-a_{\dot{i}_{2}}\right)=A^{2}=A_{2} \\
\frac{1}{2}\left(a_{\dot{1} 1}-a_{\dot{2} 2}\right)=A^{3}=A_{3} \\
\frac{1}{2}\left(a_{\dot{1} 1}-a_{\dot{2} 2}\right)=A^{4}=-A_{4}
\end{array}\right\} .
\]

Аналогично можно установить простые соотношения между мировым тензором и спинором четвертого ранга с двумя штрихованными индексами.

Спинор четного ранга можно разложить на четную и нечетную части
\[
a_{k e}=\frac{1}{2}\left(a_{k e}+a_{e k}\right)+\frac{1}{2}\left(a_{k e}-a_{e k}\right)=\sigma_{k e}+\alpha_{k e} .
\]

С помощью спиноров можно построить ряд дифференциальных операторов, инвариантных при бинарных преобразованиях. Так, например, компонентам четырехмерного градиента соответствуют операторы
\[
\begin{array}{l}
\left.\partial_{1}^{1}=\partial_{\dot{2} 1}=\frac{\partial}{\partial x^{1}}+i \frac{\partial}{\partial x^{2}}\right) \\
-\partial_{2}^{\dot{2}}=\partial_{\dot{12}}=\frac{\partial}{\partial x^{1}}-i \frac{\partial}{\partial x^{2}} \\
\left.-\partial_{1}^{\dot{2}}=\partial_{\mathrm{ii}}=\frac{\partial}{\partial x^{3}}-\frac{\partial}{\partial x^{4}}\right\} \\
-\partial_{2}^{\dot{1}}=\partial_{\dot{2} 2}=\frac{\partial}{\partial x^{3}}+\frac{\partial}{\partial x^{4}} . \\
\end{array}
\]

Четырехмерному оператору Лапласа соответствует спинорный оператор
\[
\frac{1}{2} \partial_{\lambda \dot{\mu}} \partial^{\dot{\lambda} \dot{\mu}}
\]

и т. д.
Рассмотрим некоторые физические применения спинорного анализа.
Как известно, уравнение Максвелла можно представить в тензорной форме
\[
\frac{\partial F^{i k}}{\partial x^{i}}=S^{\lambda} ; \quad \frac{\partial F_{i k}}{\partial x^{e}}+\frac{\partial F_{k e}}{\partial x^{i}}+\frac{\partial F_{e i}}{\partial x^{k}}=0,
\]

где $F^{i k}$ – антисимметричный, контравариантный тензор второго ранга
\[
F^{i k}=\left|\begin{array}{cccc}
0 & E_{x} & E_{y} & E_{z} \\
-E_{x} & 0 & -H_{z} & H_{y} \\
-E_{y} & H_{z} & 0 & -H_{x} \\
-E_{z} & -H_{y} & H_{x} & 0
\end{array}\right|,
\]
$F_{i k}$ – соответствующий ковариантный тензор
\[
F_{i k}=\left|\begin{array}{cccc}
0 & -E_{x} & -E_{y} & -E_{z} \\
E_{x} & 0 & -H_{z} & H_{y} \\
E_{y} & H_{z} & 0 & -H_{x} \\
E_{z} & -H_{y} & H_{x} & 0
\end{array}\right|,
\]

а $S$ – четырехкомпонентная величина
\[
S=S\left(\frac{\rho v_{x}}{c}, \frac{\rho v_{y}}{c}, \frac{\rho v_{z}}{c}, \rho\right),
\]

удовлетворяющая уравнению непрерывности
\[
\frac{\partial \rho^{\lambda}}{\partial x^{\lambda}}=0 .
\]

Решения системы уравнений (3.14) имеют вид
\[
F_{i k}=\frac{\partial \varphi_{i}}{\partial x^{k}}-\frac{\partial \varphi_{k}}{\partial x^{i}},
\]

где $\varphi_{i}$ – четырехмерный потенциал системы.
Но так как четырехкомпонентной величине $s^{\lambda}$ соответствует спинор второго ранга $s_{m l}$, а дифференциальные операторы в спинорной форме определяются выражениями (3.12), (3.13), то уравнение (3.14) можно записать в спинорной форме
\[
\begin{array}{c}
\partial \lambda \dot{\sigma} f_{\dot{\mu}}^{\dot{\sigma}}+\partial \dot{\mu} \sigma f_{\lambda}^{\sigma}=2 s \dot{\lambda} \mu, \\
\partial \lambda \dot{\sigma} f_{\dot{\mu}}^{\dot{\sigma}}-\partial \dot{\mu} \sigma f_{\lambda}^{\sigma}=0,
\end{array}
\]
где $f$ определяется уравнением
\[
f_{\lambda \mu}=\frac{1}{2}\left[\partial_{\lambda \dot{\sigma}} \varphi_{\mu}^{\dot{\sigma}}+\partial_{\mu \sigma} \varphi_{\lambda}^{\dot{\sigma}}\right] .
\]

Таким образом мы записали уравнение Максвелла в спинорной форме. Это преобразование было дано Уленбеком и Лапортом и показало, что спиноры не являются величинами, связанными исключительно с квантово-механическими задачами, но применимы и к задачам классической физики.

В § 23 уже указывалось, что уравнение Дирака (23.7) легко можно записать в спинорной форме (23.8), в которой особенно наглядно выступает инвариантность уравнения Дирака относительно преобразования Лоренца.

Отметим еще, что, исходя из спинорной формы уравнения Дирака, можно доказать его инвариантность относительно отражения.

Очень важной областью применения спиноров является теория валентности.

Рассмотрим атомы $A, B$ и т. д. Если обозначить число валентных электронов каждого атома (т. е. электронов с параллельными спинами) через $n_{a}, n_{b}$ и т. д., то рассматриваемые атомы обладают спиновыми моментами
\[
S_{A}=\frac{n_{a}}{2} ; S_{B}=\frac{n_{b}}{2} .
\]

Взаимодействие между атомами сводится к исследованию взаимодействия между «чисто валентными состояниями». Если $A_{1}, A_{2}$ спиновые компоненты электрона в атоме $A$, а $B_{1}, B_{2}$ компоненты спина электрона в атоме $B$, то два взаимно насыщенные спина (электронная пара) описываются спиновой функцией
\[
[A B]=A_{1} B_{2}-A_{2} B_{1},
\]

инвариантной относительно бинарного преобразования в спиновом пространстве. Графически эта функция изображается «валентной черточкой», проведенной от $A$ к $B$.

Функция, описывающая взаимодействие всей системы атомов в целом, будет полиномом из компонент спиноров, инвариантным при бинарных преобразованиях. Можно доказать, что этот полином является произведением функций (3.23) вида
\[
\varphi=[A B]^{P_{a b}}[A C]^{P_{a c}}[B C]^{P_{b c}} \ldots,
\]
где $P_{a b}, P_{a c}$ – числа валентных штрихов, проведенных между соответствующими атомами. Числа $P_{a b}, P_{a c}$ подчиняются соотношениям

Полученные таким образом функции не будут линейно-независимыми, так как они связаны соотношениями вида
\[
[A B][C D]+[A C][D B]+[A D][B C]=0 .
\]

Поэтому для исследования взаимодействия между атомами необходимо находить линейно-независимые спининварианты.

Их можно найти простым геометрическим методом. Расположим по кругу точки $A, B, C \ldots$ и проведем все валентные штрихи, соответствующие формуле (3.24). Линейно-независимые инварианты будут соответствовать непересекающимся линиям. Пересекающиеся линии могут быть разложены на непересекающиеся с помощью формулы (3.26). Действительно, изображая эту формулу графически, получим

Дальнейшие сведения по спинорному анализу и его применениям читатель найдет в монографии Ю.Б.Румера «Спинорный анализ», ОНТИ, 1936.