В конце § 23 указывается, как на один из недостатков теории Дирака, на то, что она допускает состояние с отрицательной энергией. За 5 лет, прошедших с момента написания этой книги, положение вещей изменилось, и в настоящее время существование отрицательных уровней энергии считается одним из важнейших достижений теории Дирака.

Релятивистское выражение для энергии в отсутствии внешнего поля, из которого получается и релятивистское выражение Шредингера, и уравнение Дирака имеет вид
\[
W=c \sqrt{m^{2} c^{2}+p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}},
\]
но перед корнем возможен не только обычно употребляемый положительный, но и отрицательный знак. А это и приводит к тому, что наряду с положительными значениями энергии возникают и отрицательные. Из 4 компонент функции Дирака две описывают состояние с положительной, а две с отрицательной энергией.

На первый взгляд кажется, что такое же затруднение имеет место и в классической механике. В действительности это не так. В самом деле, формула (4.1) допускает положительные значения энергии от $m c^{2}$ до бесконечности и отрицательные от $-m c^{2}$ до минус бесконечности. Между $m c^{2}$ и $-m c^{2}$ находится запрещенный интервал энергии величины $2 m c^{2}$. В классической теории все величины меняются непрерывно и поэтому переход через запрещенную зону невозможен.

В квантовой механике такие скачкообразное переходы возможны и поэтому принципиально нет никаких оснований ограничиваться только положительными значениями энергии. Более того, можно легко показать, что если ограничиться только положительными значениями энергии, то функция Дирака не удовлетворяет условиям $\S 2$, т. е. не образует замкнутой системы функций. Для достижения замкнутости необходимо наряду с положительными значениями энергии внести также и отрицательные.

Частица, обладающая отрицательной энергией, ведет себя весьма странно. Так, например, в силовом поле она движется в направлении, противоположном направлению действия силы, при уменьшении энергии ее скорость увеличивается и т. д.

Для того чтобы выйти из этого затруднения, Дирак предположил, что все состояния с отрицательной энергией, как обладающие минимумом свободной энергии, заняты электронами. При этом, в противоположность не полностью занятым состояниям с положительной энергией, эти состояния не наблюдаемы. Если под влиянием каких-либо внешних воздействий электрон переходит из состояния с отрицательной энергией в состояние с положительной энергией, то в заполненном пространстве уровней с отрицательной энергией образуется «дырка». Эта дырка уже наблюдаема и ведет себя так, как вел бы себя электрон с положительным зарядом. Такая дырка получила название позитрона. Существование позитронов было экспериментально доказано Андерсоном в 1932 г.

Благодаря тому, что отсутствию электрона с отрицательной энергией соответствует положительная энергия, позитрон ведет себя как реальная частица, но, в отличие от обычных частиц, он обладает весьма коротким периодом существования. Действительно, электрон с положительной энергией может упасть в дырку с испусканием излучения, но при этом и электрон и позитрон перестают быть наблюдаемы «аннигилируются».
Таким образом, существование отрицательных уровней энергии дало возможность объяснить целый ряд явлений, как то: существование и аннигиляцию позитронов, образование электронных пар и т. д.

Но, с другой стороны, представление о заполненных электронами отрицательных уровнях приводит к новым затруднениям. Если считать, что их движение совершенно свободно, то число возможных значений скорости электрона трижды бесконечно. Соответственно трижды бесконечно и число электронов в единице объема, но это в свою очередь должно приводить к существованию бесконечно большого поля.

Существование уровней с отрицательной энергией дает возможность разрешить одну фундаментальную трудность теории Дирака, а именно: оператор скорости электрона в теории Дирака имеет вид
\[
\mathfrak{B}=c \mathfrak{G},
\]

где $\mathfrak{G}$ — вектор с компонентами $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \Gamma_{3}$. Компоненты этого оператора, описывающие составляющие скорости электрона, обладают характеристическими значениями $\pm c$ в то время, как в действительности для электрона возможны любые значения скорости в интервале от $+c$ до $-c$. Кроме того, в теории Дирака не существует обычного соответствия между операторами энергии и импульса, и эти величины выражены совершенно различными операторами.

Как показал Шредингер ${ }^{1}$, эти особенности оператора скорости связаны существованием состояний с отрицательной энергией и обусловливаются биением волн с положительной и отрицательной энергией. Скорость электрона может быть разложена на две части: на «макроскорость», связанную обычным образом с оператором импульса, и на колебательную часть — «микроскорость», возникающую вследствие биений и поэтому обладающую частотой $\frac{2 w}{h}$, равной разности частот волн с положительной и отрицательной энергией. Благодаря этому «мерцательному движению» электрона в теории Дирака уже не имеет места теорема Эренфеста о том, что центр тяжести вероятности движется по классическим законам, так как движение центра тяжести является наложением двух движений: макродвижения, удовлетворяющего теореме Эренфеста, и мерцательного движения.

Дальнейшие подробности по вопросу об отрицательной энергии читатель найдет в учебниках по квантовой механике, в особенности в книге проф. Я. И. Френкеля «Волновая механика», т. II, § 31,32,35. Теория образования электронных пар изложена в книге: Мотт и Месси, «Теория атомных столкновений», гл. XV.
${ }^{1}$ Schroedinger, Annals de l’lnstitut Henri Poincaré 2, 269 (1931). Berl. Ber. (1931).