При унитарном представлении абелевой группы все матрицы представления коммутируют между собой и поэтому могут (согласно концу §7) одновременно преобразовываться к главным осям. Если $v_{1}, \ldots, v_{n}$ – главные оси или собственные векторы, то одномерные подпространства $\left(v_{1}\right), \ldots,\left(v_{n}\right)$ инвариантны относительно всех преобразований группы. Следовательно, представления распадаются исключительно на представления первой степени, которые, само собою разумеется, неприводимы.
ПРимЕР 1. Представляемая группа называется ииклической группой порядка $n$, если она состоит из степеней $1, a, a^{2}, \ldots, a^{n-1}$ элемента $a$, причем $a^{n}=1$. В представлении первого порядка элемент $a$ представлен матрицей $(\alpha)$. Тогда $a^{2}$ должно быть представлено $\left(\alpha^{2}\right)$ и т. д. и,
наконец, $a^{n}=1$ представлено $\left(\alpha^{n}\right)$. Следовательно, $\alpha^{n}=1$, откуда $\alpha$ есть $n$-ый корень из единицы. Существует $n$ различных $n$-ых корней из единицы
\[
\alpha=e^{\frac{2 \pi i m}{n}} \quad(m=0,1, \ldots, n-1),
\]

поэтому циклическая группа степени $n$ имеет ровно $n$ различных представлений первой степени. Любое представление распадается на представление первой степени, причем, естественно, данное представление первой степени может встречаться несколько раз.

Например, группа перестановок двух предметов (электронов) является циклической группой второй степени. Если а обозначает перестановку обоих предметов, то представление имеет вид
\[
a \rightarrow(+1), \quad a \rightarrow(-1) .
\]

Оператор $a$ не меняет векторов $v_{+}$, относящихся к представлению $(+1)$, вектора же $v_{-}$, относящиеся к (-1), меняют знак
\[
a v_{+}=v_{+}, \quad a v_{-}=-v_{-} .
\]

Вектор $v_{+}$называется «симметричным», $v_{-}$- «антисимметричным». Так, например, спектр атома гелия распадается на две совершенно раздельных системы термов, из которых одна относится к симметричным собственным функциям (синглетная система), а вторая к антисимметричным (триплетная система).

То же самое имеет место для группы, состоящей из отражения (инверсии) в начале координат (в трехмерном пространстве)
\[
x^{\prime}=-x ; \quad y^{\prime}=-y ; \quad z^{\prime}=-z
\]

и тождественного преобразования. Здесь также имеется два типа базисных векторов $v_{+}, v_{-}$. Вектор $v_{+}$принадлежит к «характеру отражения +1 », вектор $v_{-}$к «характеру отражения -1 ». Это различие обусловливает распад системы термов любого атома на две подсистемы, отличающиеся значением характера отражений $w= \pm 1$.
ПРИМЕР 2. (ГРУПІА ВРАЩЕНИЙ ВОКРУГ НЕИЗМЕННОЙ осИ). Каждое вращение $D_{\varphi}$ определяется углом вращения $\varphi$. Если вращение $D_{\varphi}$ представлено матрицей первого порядка $\chi(\varphi)$, то, чтобы произведению вращений соответствовало произведение матриц, должно иметь место
\[
\chi\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)=\chi\left(\varphi_{1}\right) \cdot \chi\left(\varphi_{2}\right) .
\]

Непрерывными решениями этого функционального уравнения являются функции
\[
\chi(\varphi)=e^{c \varphi} .
\]
Так как $\chi(2 \pi)=\chi(0)$ (по крайней мере для однозначных представлений), то
\[
e^{2 \pi c}=1,
\]

следовательно, $i c=m$ с цельночисленным $m$. Поэтому представление имеет вид
\[
\chi(\varphi)=e^{-i m \varphi} .
\]

Отсюда следует, что существует бесконечное количество представлений первой степени, относящихся к значениям
\[
m=0, \pm 1, \pm 2, \ldots
\]

Из них образуется всякое однозначное непрерывное представление.
Этот способ рассмотрения применяется главным образом в молекулярных спектрах.

Рассмотрим в первом приближении двухатомную молекулу как систему из двух неподвижных ядер, вокруг которых вращаются электроны. При вращении вокруг линии, соединяющей ядра, собственные функции каждого уровня энергии переходят в самих себя. Мы получаем, таким образом, для каждого уровня энергии представление группы вращений вокруг этой оси, которое мы можем считать приведенным. Собственные функции, а следовательно, и соответственные термы можно различать по относящимся к ним различным представлениям первой степени с $m=0, \pm 1, \pm 2, \ldots$, к которым они принадлежат. Для абсолютного значения $|m|$ применяют символ $\Lambda$. Термы с $\Lambda=0(m=0)$ обозначают как $\Sigma$-термы, с $\Lambda=1(m= \pm 1)$ как $\Pi$-термы, с $\Lambda=2$, ( $m= \pm 2$ ) как $\Delta$-термы и т. д. Почему термы с противоположными значениями $m$ (например, с $m=+1$ и $m=-1$ ) не отличаются в обозначении друг от друга, мы увидим ниже.
ПРИМЕР 3. (ГРУПІІ ВРАЩЕНИЙ И ОТРАЖЕНИЙ). Оператор энергиИ только что рассмотренной двухатомной молекулы с двумя неподвижными центрами допускает не только вращение вокруг неподвижной оси молекул $\alpha$, но и отражения относительно плоскостей, проведенных через эту ось. Эти вращения и отражения образуют неабелеву группу $\mathfrak{G}$, группу вращений и отражений. Примем во внимание отражение от какойнибудь определенной плоскости и обозначим его через $s_{y}$. Тогда из $s_{y}$ и произвольных вращений можно получить все остальные отражения.
При этом имеют место соотношения:
\[
\begin{array}{l}
D_{\varphi} \cdot D_{\psi}=D_{\varphi+\psi} \\
D_{\varphi} s_{y}=s_{y} D_{-\varphi} .
\end{array}
\]
В каждом пространстве представлений группы $\mathfrak{G}$ можно сначала выполнить приведение подгруппы вращений. Это дает уже известные нам векторы $v_{m}$ (где $m$ целое число), которые при вращении $D_{\varphi}$ умножаются на $e^{-i m \varphi}$.

Положим теперь $m=\Lambda>0$. При отражении $s_{y} v_{\Lambda}$ переходит в вектор $v_{-\Lambda}$, так как
\[
D_{\varphi}\left(s_{y} v_{\Lambda}\right)=s_{y} D_{\varphi} v_{\Lambda}=s_{y} e^{-i \Lambda \varphi} v_{\Lambda}=e^{i \Lambda \varphi}\left(s_{y} v_{\Lambda}\right) .
\]
$v_{\Lambda}$ и $v_{-\Lambda}$ образуют двухмерное подпространство $\mathfrak{r}_{\Lambda}=\left(v_{\Lambda}, v_{-\Lambda}\right)$, инвариантное относительно группы $\mathfrak{G}$ и не содержащее меньших инвариантных подпространств. В самом деле, если бы в пространстве $\mathfrak{r}_{\Lambda}$ существовало одномерное инвариантное подпространство $\mathfrak{r}^{\prime}$, то оно вместе с тем было бы неприводимым пространством представлений подгруппы вращений. Тогда его базисный вектор должен был бы при вращении на $\varphi$ умножаться на $e^{i m \varphi}$, где $m$ может быть только $\pm \Lambda$, так как только эти два представления группы вращений входят, как слагающие, в пространство представлений $\mathfrak{r}_{\Lambda}$. Но при отражении этот базисный вектор переходит в другой, относящийся к характеру вращения $-\Lambda$, поэтому подпространство $\mathfrak{r}^{\prime}$ должно быть по меньшей мере двухмерным и пространство представлений ( $v_{\Lambda}, v_{-\Lambda}$ ) неприводимо. Отсюда следует, что в молекуле с двумя неподвижными ядрами к каждому собственному значению относятся только две собственные функции $\psi_{\Lambda}, \psi_{-\Lambda}$.

Представляющие матрицы для вращения $D_{\varphi}$ и отражения $s_{y}$ имеют вид
\[
\left(\begin{array}{ll}
e^{-i \Lambda \varphi} & 0 \\
0 & e^{i \Lambda \varphi}
\end{array}\right) \text { и } \quad\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Это представление обозначается символом $\mathfrak{A}_{\Lambda}$.
В случае $\Lambda=0$, когда векторы $v_{0}$ инвариантны при всех вращени$я х, v_{-\Lambda}$ и $v_{\Lambda}$ не отличаются друг от друга. Если пространство векторов $v_{0}$ рассматривается, как пространство преобразований циклической группы, состоящей из тождества и отражений, и если эти представления циклической группы приводимы, то существует два типа представлений первой степени, определяющихся «характером отражения» +1 и -1 и обозначающихся через $\mathfrak{A}_{0}^{+}$и $\mathfrak{A}_{0}^{-}$. Базисные векторы неприводимого пространства представлений $\mathfrak{A}_{0}^{ \pm}$при каждом отражении умножаются на $\pm 1$ и остаются инвариантными при всех вращениях. Следовательно, неприводимыми представлениями группы инверсии $\mathfrak{G}$ являются $\mathfrak{A}_{0}^{+}, \mathfrak{A}_{0}^{-}, \mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \mathfrak{A}_{3}, \ldots$

Как показывает предыдущий пример, для неабелевой группы $\mathfrak{g}$ могут тоже существовать неприводимые представления первого порядка, но они обязательно являются неточными, так как представляющие
матрицы коммутируют друг с другом, тогда как элементы группы не коммутируют между собой. Так как элементам группы $a b$ и $b a$ не соответствует одна и та же матрица, то «коммутатору»
\[
a b(b a)^{-1}=a b a^{-1} b^{-1}
\]

соответствует единичная матрица. Все эти коммутаторы и их произведения образуют подгруппу в $\mathfrak{g}$ – «коммутант», элементы которой представляются единичными матрицами. Таким образом, представление является точным представлением (абелевой) дополнительной группы $\mathfrak{g} / \mathfrak{h}$, где нормальный делитель $\mathfrak{h}$ по крайней мере охватывает коммутант.
ПримеР 4. Симметрическая группа $\mathfrak{S}_{n}(n>2)$ не является абелевой. Коммутаторами ее (между прочим) являются перестановки
\[
(i j)(i j k)(i j)^{-1}(i j k)^{-1}=(i j k),
\]

которые все «трехцикличны». Как легко видеть, они и их произведения образуют «знакопеременную группу» $\mathfrak{A}_{n}$ (§8). Поэтому каждое представление первой степени группы $\mathfrak{S}_{n}$ является одновременно представлением группы $\mathfrak{S}_{n} / \mathfrak{A}_{n}$. Так как эта дополнительная группа является циклической группой второго порядка, то она имеет только два представления первой степени: одно тождественное или симметричное представление, в котором всем перестановкам соответствует единичная матрица (1); другое – антисимметричное представление, в котором четным перестановкам соответствует матрица (1), а нечетным матрица (-1). Все остальные представления группы $\mathfrak{S}_{n}$ выше, чем первой степени.
Пример 5. (СимметричесКая груПIа $\mathfrak{S}_{3}$ ). Ее неприводимые представления можно определить совершенно таким же способом, как и представления группы вращений и отражений $\mathfrak{G}$, рассмотренные в примере 3 , а именно, исходя из произвольного представления $\mathfrak{S}_{3}$ и осуществляя приведение содержащегося в нем представления знакопеременной группы $\mathfrak{A}_{3}$. Группа $\mathfrak{A}_{3}$ циклична и состоит из 3 перестановок 1 , (1 123 ), (1 32 ).

Согласно первому примеру, существует только три представления первого порядка тройной циклической группы, при которых элементам 1 соответствует корень третьей степени из единицы
\[
1 \text { или } \rho=e^{\frac{2 \pi i}{3}} \text { или } \rho^{\prime}=\rho^{-1}=e^{-\frac{2 \pi i}{3}} .
\]
Вектор $v_{\rho}$, соответствующий корню $\rho$ при применении перестановки (12), дает вектор $v_{\rho^{\prime}}$, соответствующий $\rho^{-1}$, так как
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right) v_{\rho^{\prime}}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
1 & 2
\end{array}\right) v_{\rho}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right)^{-1} v_{\rho}= \\
=(12) \rho^{-1} v_{\rho}=\rho^{-1} v_{\rho^{\prime}} \text {. } \\
\end{array}
\]

Векторы $v_{\rho}, v_{\rho^{\prime}}$ образуют пространство неприводимого представления второй степени. В пространстве векторов $v_{1}$, остающихся инвариантными при перестановках 1 , ( 123 ), ( 132 ), находим, применяя циклическую группу 1 , (12), еще два представления первой степени, а именно тождественное и антисимметричное. Таким образом, существует совокупность двух представлений первого порядка и одного неприводимого представления второго порядка. Из приведенного доказательства следует, что каждое представление целиком распадается на неприводимые представления трех названных типов. Найденное в примере $\S 9$ представление второй степени должно быть эквивалентно описанному здесь представлению второй степени $\left(v_{\rho}, v_{\rho^{\prime}}\right)$, что легко подтверждается вычислением.