Пусть $\mathfrak{R}$ и $\mathfrak{S}$ — два векторных пространства с общей областью $\mathfrak{G}$ операторов, производящих в обоих пространствах линейные преобразования. Далее, пусть задано линейное преобразование $T$, которое операторно-гомоморфно отображает пространство $\mathfrak{R}$ в $\mathfrak{S}$ или в некоторое подпространство пространства $\mathfrak{S}$. Операторный гомоморфизм приводит к тому, что, когда $Tv=w$ для каждого $a$ из $\mathfrak{G}$, преобразование $T$ также переводит $av$ в $aw$, т. е.
$$Tav=aTv$$

или $a$ коммутирует с $T$. Теперь докажем лемму Шура.
Лемма Шура. Если $\mathfrak{R}$ неприводимо, то $T$ либо является изоморфизмом, либо преобразует каждый вектор в нулевой вектор.

В первом случае $\mathfrak{R}$ эквивалентно неприводимому подпространству $\mathfrak{S}$. Если $\mathfrak{S}$ само неприводимо, то $\mathfrak{R}$ эквивалентно $\mathfrak{S}$. В частности, если $\mathfrak{R}=\mathfrak{S}$ и для $\mathfrak{R}$ и $\mathfrak{S}$ применяются одинаковые базисные векторы, то далее мы получаем: матрица $T$ является кратной единичной матрицей.
По закону гомоморфизма $T$ является изоморфным изображением дополнительного пространства $\mathfrak{R}/\mathfrak{r}$. Если $\mathfrak{R}$ неприводимо, то должно иметь место или $\mathfrak{r}=(0)$ или $\mathfrak{R}=\mathfrak{r}$. Это и дает доказываемую альтернативу.

Чтобы доказать соотношение $T=\tau E$ в случае $\mathfrak{R}=\mathfrak{S}$, определим $\tau$ так, что детерминант $|T-\tau E|=0$. Так как одновременно с $T$ и $T-\tau E$ коммутирует со всеми а, то по только что доказанной части теоремы матрица $T-\tau E$ или представляет однозначное, следовательно, несингулярное преобразование, или равна нулю. Следовательно, если $|T-\tau E|=0$, то $T-\tau E=0$, т. е. $T=\tau E$.

То же самое соотношение $T=\tau E$ имеет место, если положить не $\mathfrak{R}=\mathfrak{S}$, а $\mathfrak{R}\cong \mathfrak{S}$, так как выбранные базисы $\mathfrak{R}$ и $\mathfrak{S}$ соответствуют друг другу вследствие изоморфизма.

Мы определим теперь линейные преобразования, коммутирующие с целиком приводимой системой $\mathfrak{G}$ линейных преобразований пространства $\mathfrak{R}$. Другими словами, согласно вышесказанному, мы определим операторные гомоморфизмы целиком приводимого пространства представлений $\mathfrak{R}$ с областью операторов $\mathfrak{G}$.
Положим
$$\mathfrak{R}={\mathfrak{r}}_1+{\mathfrak{r}}_2+\cdots +{\mathfrak{r}}_r.$$

Если пространства $\mathfrak{r},\dots ,{\mathfrak{r}}_k$ преобразуются с помощью $\mathfrak{G}$ эквивалентным образом, то мы вводим в них соответствующие базисные векторы такого рода, чтобы преобразования этих пространств представлялись одинаковыми матрицами. Пусть $T$ — линейное преобразование, гомоморфно отображающее $\mathfrak{R}$ в самого себя. Чтобы полностью знать преобразование $\mathrm{T}$, нужно знать только его действие на векторы ${\mathfrak{r}}_1,{\mathfrak{r}}_2,\dots ,{\mathfrak{r}}_r$. Т отображает ${\mathfrak{r}}_1$ в изоморфное с ${\mathfrak{r}}_1$ пространство $T{\mathfrak{r}}_1$. Векторы $w=Tv$ пространства $T{\mathfrak{r}}_1$ можно разложить на компоненты по (13.1)
$$Tv=w=w_1+w_2+w_3+\cdots +w_r.$$

Соответствие $w\to w_1$ или $w\to w_2$ является тоже операторным гомоморфизмом, поэтому $v\to w\to w_1$ или $v\to w\to w_2$ и т. д. является также операторным гомоморфизмом. По лемме Шура в разложение (13.2) могут входить только такие компоненты, которые относятся к подпространствам ${\mathfrak{r}}_1,\dots ,{\mathfrak{r}}_k$, эквивалентным ${\mathfrak{r}}_1$. Все остальные компоненты должны равняться нулю. Далее, по лемме Шура (вторая часть) соотношения $v\to w_1$ и т. д. должны представляться кратными единичной матрице. Мы обозначим эти кратные, поскольку речь идет об отображении ${\mathfrak{r}}_1$ в ${\mathfrak{r}}_{\lambda }$, через ${\tau }_{\lambda 1}E$. Все, что имеет место для ${\mathfrak{r}}_1$, естественно,
имеет место и для всех остальных ${\mathfrak{r}}_{\mu }$ : мы имеем отображения ${\tau }_{\lambda \mu }E$ пространства ${\mathfrak{r}}_{\mu }$ в эквивалентном ему ${\mathfrak{r}}_{\lambda }$.

Построим теперь матрицу $T$, отнесенную к базису, составленному из базисов ${\mathfrak{r}}_1,\dots ,{\mathfrak{r}}_k,{\mathfrak{r}}_{k+1},\dots ,{\mathfrak{r}}_r$. Мы получаем при этом

Полученный результат можно формулировать следующим образом. Напишем последовательно базисные векторы эквивалентных пространств от ${\mathfrak{r}}_1$ до ${\mathfrak{r}}_k$
$$\begin{array}{cc}{v}_{11},v_{12},\dots ,v_{1n}& \left(\text{ базис }{\mathfrak{r}}_1\right),\\ v_{21},v_{22},\dots ,v_{2n}& \left(\text{ базис }{\mathfrak{r}}_2\right),\\ & \dots \\ v_{k1},v_{k2},\dots ,v_{kn}& \left(\text{ базис }{\mathfrak{r}}_k\right),\end{array}$$

при операциях $\mathfrak{G}$ строки этого прямоугольника линейно преобразуются в самих себя, причем все строки одинаковым образом, тогда как коммутирующие с ними операторы $T$ преобразуют столбиы прямоугольников в самих себя, причем тоже одинаковым образом, в остальном совершенно произвольным. Для пространств от ${\mathfrak{r}}_{k+1}$ до ${\mathfrak{r}}_r$ получаются аналогичные прямоугольники базисных векторов.

Таким образом находятся все матрицы, коммутирующие с полностью приводимой системой. Эти матрицы образуют кольцо $\mathfrak{I}$, т. е. систему величин, содержащую для каждой пары также и их сумму, разность и произведение. Кольцо $\mathfrak{I}$ является «прямой суммой» колец ${\mathfrak{I}}_1,\dots ,{\mathfrak{I}}_q$, составленных из матриц одной из «касс» в (13.3) (с нулями в других касcax), т. е. каждая матрица кольца $\mathfrak{I}$ может быть однозначно представлена суммой матриц колец ${\mathfrak{I}}_1,\dots ,{\mathfrak{I}}_q$, тогда как произведение двух матриц различных колец ${\mathfrak{I}}_u,{\mathfrak{I}}_{\mu }$ всегда равно нулю. Поэтому пишут
$$\mathfrak{I}={\mathfrak{I}}_1+\cdots +{\mathfrak{I}}_q.$$
Матрицы кольца ${\mathfrak{I}}_1$ складываются и умножаются точно так же, как $k$ рядные матрицы
$$\left|\begin{array}{cccc}{\tau }_{11}& {\tau }_{12}& \cdots & {\tau }_{1k}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\tau }_{k1}& {\tau }_{k2}& \cdots & {\tau }_{kk}\end{array}\right|$$

с совершенно произвольными числами ${\tau }_{\lambda \mu }$ в качестве элементов. Кольцо всех этих матриц мы называем полным матричным кольцом степени $k$. Следовательно, кольцо $\mathfrak{I}$ является прямой суммой полных матричных колец.

Базисные величины полного матричного кольца мы получим, если положим, что все ${\tau }_{\lambda \mu }$ (13.4) равны нулю, кроме одного ${\tau }_{\lambda \mu }=1$. Полученные таким образом матрицы (13.4) мы обозначим через $C_{\lambda \mu }$. При этом каждая матрица может быть однозначно представлена суммой $\sum C_{\lambda \mu }{\tau }_{\lambda \mu }$. Правила вычисления сводятся к равенствам
$$\begin{array}{rl}{C}_{\varkappa \lambda }{C}_{\lambda \mu }& =C_{\varkappa \mu },\\ C_{\varkappa \lambda }{C}_{{\lambda }^{\prime }\mu }& =0\left(\lambda eq{\lambda }^{\prime }\right).\end{array}$$

Полученная теорема позволяет ответить на следующий вопрос. Предположим, что на векторное пространство $\mathfrak{R}$ действуют две коммутирующие между собой группы или вообще две коммутирующие целиком приводимые системы линейных преобразований $\mathfrak{G},\mathfrak{H}$. Можно ли разложить системы на неприводимые части так, чтобы в приведенной форме коммутируемость была непосредственно видна?

Сначала разложим систему $\mathfrak{G}$, что приведет к рассмотренным выше прямоугольным системам базисных векторов
$$\begin{array}{llll}{v}_{11}& v_{12}& \cdots & v_{1n}\\ & & \cdots & \\ v_{k1}& v_{k2}& \cdots & v_{kn}.\end{array}$$

Согласно вышеизложенным результатам, коммутирующая система $\mathfrak{H}$ должна линейно преобразовывать столбцы каждого прямоугольника в самих себя и притом одинаковым образом. Следовательно, каждый столбец определяет подпространство в $\mathfrak{R}$, инвариантное относительно $\mathfrak{H}$, которое должно быть полностью приводимо. Поэтому можно заменить базисные векторы какого-либо столбца их линейными комбинациями так, чтобы после этого столбец распадался на отдельные участки, неприводимо преобразующиеся под действием $\mathfrak{H}$. Это видоизменение базисных векторов мы проводим для всех столбцов прямоугольника
одинаковым образом. Потом таким же образом преобразуем неприводимо строки прямоугольника системы $\mathfrak{G}$ так, что весь прямоугольник разделится горизонтальными линиями на частичные прямоугольники, столбцы которых неприводимо преобразуются системой $\mathfrak{H}$.

Таким образом, если даны две целиком приводимые и коммутирующие системы $\mathfrak{G},\mathfrak{H}$ линейных преобразований векторного пространства $\mathfrak{R}$, то можно расположить базисные векторы в прямоугольники

так, чтобы в каждом прямоугольнике все строки неприводимо преобразовывались одинаковым образом системой $\mathfrak{G}$ и точно так же все столбцы неприводимо преобразовывались одинаковым образом системой $\mathfrak{H}$.