Пусть $\mathfrak{R}$ и $\mathfrak{S}$ – два векторных пространства с общей областью $\mathfrak{G}$ операторов, производящих в обоих пространствах линейные преобразования. Далее, пусть задано линейное преобразование $T$, которое операторно-гомоморфно отображает пространство $\mathfrak{R}$ в $\mathfrak{S}$ или в некоторое подпространство пространства $\mathfrak{S}$. Операторный гомоморфизм приводит к тому, что, когда $T v=w$ для каждого $a$ из $\mathfrak{G}$, преобразование $T$ также переводит $a v$ в $a w$, т. е.
\[
T a v=a T v
\]

или $a$ коммутирует с $T$. Теперь докажем лемму Шура.
Лемма Шура. Если $\mathfrak{R}$ неприводимо, то $T$ либо является изоморфизмом, либо преобразует каждый вектор в нулевой вектор.

В первом случае $\mathfrak{R}$ эквивалентно неприводимому подпространству $\mathfrak{S}$. Если $\mathfrak{S}$ само неприводимо, то $\mathfrak{R}$ эквивалентно $\mathfrak{S}$. В частности, если $\mathfrak{R}=\mathfrak{S}$ и для $\mathfrak{R}$ и $\mathfrak{S}$ применяются одинаковые базисные векторы, то далее мы получаем: матрица $T$ является кратной единичной матрицей.
По закону гомоморфизма $T$ является изоморфным изображением дополнительного пространства $\mathfrak{R} / \mathfrak{r}$. Если $\mathfrak{R}$ неприводимо, то должно иметь место или $\mathfrak{r}=(0)$ или $\mathfrak{R}=\mathfrak{r}$. Это и дает доказываемую альтернативу.

Чтобы доказать соотношение $T=\tau E$ в случае $\mathfrak{R}=\mathfrak{S}$, определим $\tau$ так, что детерминант $|T-\tau E|=0$. Так как одновременно с $T$ и $T-\tau E$ коммутирует со всеми а, то по только что доказанной части теоремы матрица $T-\tau E$ или представляет однозначное, следовательно, несингулярное преобразование, или равна нулю. Следовательно, если $|T-\tau E|=0$, то $T-\tau E=0$, т. е. $T=\tau E$.

То же самое соотношение $T=\tau E$ имеет место, если положить не $\mathfrak{R}=\mathfrak{S}$, а $\mathfrak{R} \cong \mathfrak{S}$, так как выбранные базисы $\mathfrak{R}$ и $\mathfrak{S}$ соответствуют друг другу вследствие изоморфизма.

Мы определим теперь линейные преобразования, коммутирующие с целиком приводимой системой $\mathfrak{G}$ линейных преобразований пространства $\mathfrak{R}$. Другими словами, согласно вышесказанному, мы определим операторные гомоморфизмы целиком приводимого пространства представлений $\mathfrak{R}$ с областью операторов $\mathfrak{G}$.
Положим
\[
\mathfrak{R}=\mathfrak{r}_{1}+\mathfrak{r}_{2}+\cdots+\mathfrak{r}_{r} .
\]

Если пространства $\mathfrak{r}, \ldots, \mathfrak{r}_{k}$ преобразуются с помощью $\mathfrak{G}$ эквивалентным образом, то мы вводим в них соответствующие базисные векторы такого рода, чтобы преобразования этих пространств представлялись одинаковыми матрицами. Пусть $T$ – линейное преобразование, гомоморфно отображающее $\mathfrak{R}$ в самого себя. Чтобы полностью знать преобразование $\mathrm{T}$, нужно знать только его действие на векторы $\mathfrak{r}_{1}, \mathfrak{r}_{2}, \ldots, \mathfrak{r}_{r}$. Т отображает $\mathfrak{r}_{1}$ в изоморфное с $\mathfrak{r}_{1}$ пространство $T \mathfrak{r}_{1}$. Векторы $w=T v$ пространства $T \mathfrak{r}_{1}$ можно разложить на компоненты по (13.1)
\[
T v=w=w_{1}+w_{2}+w_{3}+\cdots+w_{r} .
\]

Соответствие $w \rightarrow w_{1}$ или $w \rightarrow w_{2}$ является тоже операторным гомоморфизмом, поэтому $v \rightarrow w \rightarrow w_{1}$ или $v \rightarrow w \rightarrow w_{2}$ и т. д. является также операторным гомоморфизмом. По лемме Шура в разложение (13.2) могут входить только такие компоненты, которые относятся к подпространствам $\mathfrak{r}_{1}, \ldots, \mathfrak{r}_{k}$, эквивалентным $\mathfrak{r}_{1}$. Все остальные компоненты должны равняться нулю. Далее, по лемме Шура (вторая часть) соотношения $v \rightarrow w_{1}$ и т. д. должны представляться кратными единичной матрице. Мы обозначим эти кратные, поскольку речь идет об отображении $\mathfrak{r}_{1}$ в $\mathfrak{r}_{\lambda}$, через $\tau_{\lambda 1} E$. Все, что имеет место для $\mathfrak{r}_{1}$, естественно,
имеет место и для всех остальных $\mathfrak{r}_{\mu}$ : мы имеем отображения $\tau_{\lambda \mu} E$ пространства $\mathfrak{r}_{\mu}$ в эквивалентном ему $\mathfrak{r}_{\lambda}$.

Построим теперь матрицу $T$, отнесенную к базису, составленному из базисов $\mathfrak{r}_{1}, \ldots, \mathfrak{r}_{k}, \mathfrak{r}_{k+1}, \ldots, \mathfrak{r}_{r}$. Мы получаем при этом

Полученный результат можно формулировать следующим образом. Напишем последовательно базисные векторы эквивалентных пространств от $\mathfrak{r}_{1}$ до $\mathfrak{r}_{k}$
\[
\begin{array}{cc}
v_{11}, v_{12}, \ldots, v_{1 n} & \left(\text { базис } \mathfrak{r}_{1}\right), \\
v_{21}, v_{22}, \ldots, v_{2 n} & \left(\text { базис } \mathfrak{r}_{2}\right), \\
& \ldots \\
v_{k 1}, v_{k 2}, \ldots, v_{k n} & \left(\text { базис } \mathfrak{r}_{k}\right),
\end{array}
\]

при операциях $\mathfrak{G}$ строки этого прямоугольника линейно преобразуются в самих себя, причем все строки одинаковым образом, тогда как коммутирующие с ними операторы $T$ преобразуют столбиы прямоугольников в самих себя, причем тоже одинаковым образом, в остальном совершенно произвольным. Для пространств от $\mathfrak{r}_{k+1}$ до $\mathfrak{r}_{r}$ получаются аналогичные прямоугольники базисных векторов.

Таким образом находятся все матрицы, коммутирующие с полностью приводимой системой. Эти матрицы образуют кольцо $\mathfrak{I}$, т. е. систему величин, содержащую для каждой пары также и их сумму, разность и произведение. Кольцо $\mathfrak{I}$ является «прямой суммой» колец $\mathfrak{I}_{1}, \ldots, \mathfrak{I}_{q}$, составленных из матриц одной из «касс» в (13.3) (с нулями в других касcax), т. е. каждая матрица кольца $\mathfrak{I}$ может быть однозначно представлена суммой матриц колец $\mathfrak{I}_{1}, \ldots, \mathfrak{I}_{q}$, тогда как произведение двух матриц различных колец $\mathfrak{I}_{
u}, \mathfrak{I}_{\mu}$ всегда равно нулю. Поэтому пишут
\[
\mathfrak{I}=\mathfrak{I}_{1}+\cdots+\mathfrak{I}_{q} .
\]
Матрицы кольца $\mathfrak{I}_{1}$ складываются и умножаются точно так же, как $k$ рядные матрицы
\[
\left|\begin{array}{cccc}
\tau_{11} & \tau_{12} & \cdots & \tau_{1 k} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\tau_{k 1} & \tau_{k 2} & \cdots & \tau_{k k}
\end{array}\right|
\]

с совершенно произвольными числами $\tau_{\lambda \mu}$ в качестве элементов. Кольцо всех этих матриц мы называем полным матричным кольцом степени $k$. Следовательно, кольцо $\mathfrak{I}$ является прямой суммой полных матричных колец.

Базисные величины полного матричного кольца мы получим, если положим, что все $\tau_{\lambda \mu}$ (13.4) равны нулю, кроме одного $\tau_{\lambda \mu}=1$. Полученные таким образом матрицы (13.4) мы обозначим через $C_{\lambda \mu}$. При этом каждая матрица может быть однозначно представлена суммой $\sum C_{\lambda \mu} \tau_{\lambda \mu}$. Правила вычисления сводятся к равенствам
\[
\begin{aligned}
C_{\varkappa \lambda} C_{\lambda \mu} & =C_{\varkappa \mu}, \\
C_{\varkappa \lambda} C_{\lambda^{\prime} \mu} & =0 \quad\left(\lambda
eq \lambda^{\prime}\right) .
\end{aligned}
\]

Полученная теорема позволяет ответить на следующий вопрос. Предположим, что на векторное пространство $\mathfrak{R}$ действуют две коммутирующие между собой группы или вообще две коммутирующие целиком приводимые системы линейных преобразований $\mathfrak{G}, \mathfrak{H}$. Можно ли разложить системы на неприводимые части так, чтобы в приведенной форме коммутируемость была непосредственно видна?

Сначала разложим систему $\mathfrak{G}$, что приведет к рассмотренным выше прямоугольным системам базисных векторов
\[
\begin{array}{llll}
v_{11} & v_{12} & \cdots & v_{1 n} \\
& & \cdots & \\
v_{k 1} & v_{k 2} & \cdots & v_{k n} .
\end{array}
\]

Согласно вышеизложенным результатам, коммутирующая система $\mathfrak{H}$ должна линейно преобразовывать столбцы каждого прямоугольника в самих себя и притом одинаковым образом. Следовательно, каждый столбец определяет подпространство в $\mathfrak{R}$, инвариантное относительно $\mathfrak{H}$, которое должно быть полностью приводимо. Поэтому можно заменить базисные векторы какого-либо столбца их линейными комбинациями так, чтобы после этого столбец распадался на отдельные участки, неприводимо преобразующиеся под действием $\mathfrak{H}$. Это видоизменение базисных векторов мы проводим для всех столбцов прямоугольника
одинаковым образом. Потом таким же образом преобразуем неприводимо строки прямоугольника системы $\mathfrak{G}$ так, что весь прямоугольник разделится горизонтальными линиями на частичные прямоугольники, столбцы которых неприводимо преобразуются системой $\mathfrak{H}$.

Таким образом, если даны две целиком приводимые и коммутирующие системы $\mathfrak{G}, \mathfrak{H}$ линейных преобразований векторного пространства $\mathfrak{R}$, то можно расположить базисные векторы в прямоугольники

так, чтобы в каждом прямоугольнике все строки неприводимо преобразовывались одинаковым образом системой $\mathfrak{G}$ и точно так же все столбцы неприводимо преобразовывались одинаковым образом системой $\mathfrak{H}$.