Если $\mathfrak{G}=\mathfrak{g}_{1}+\cdots+\mathfrak{g}_{h}$ целиком, приводимая аддитивная группа, а $\mathfrak{H}$ любая (дозволенная) подгруппа, то
\[
\mathfrak{G}=\mathfrak{H}+\mathfrak{g}_{
u_{1}}+\cdots+\mathfrak{g}_{
u_{k}}
\]

при надлежащем выборе $\mathfrak{g}_{
u_{i}}$ из группы $\mathfrak{g}$.
Доказательство.
Построим
\[
\begin{aligned}
\mathfrak{H}_{1} & =\left(\mathfrak{H}, \mathfrak{g}_{1}\right), \\
\mathfrak{H}_{2} & =\left(\mathfrak{H}_{1}, \mathfrak{g}_{2}\right), \\
& \cdots \\
\mathfrak{H}_{h} & =\left(\mathfrak{H}_{h-1}, \mathfrak{g}_{h}\right)=\mathfrak{G} .
\end{aligned}
\]

Пересечение $\mathfrak{H}$ и $\mathfrak{g}_{1}$ является инвариантной подгруппой $\mathfrak{g}_{1}$, следовательно, оно является либо $\mathfrak{g}_{1}$, либо нулем, так как по предположению $\mathfrak{g}_{1}$ неприводимо. Если пересечение равно $\mathfrak{g}_{1}$, то $\mathfrak{g}_{1}$ содержится в $\mathfrak{H}$, откуда $\mathfrak{H}_{1}=\mathfrak{H}$. Если пересечение равно нулю, то ( $\mathfrak{H}, \mathfrak{g}_{1}$ ) прямая сумма, и поэтому $\mathfrak{H}_{1}=\mathfrak{H}+\mathfrak{g}_{1}$.

Таким же образом, как и с $\mathfrak{H}_{1}$, поступаем и со всеми остальными группами $\mathfrak{H}_{
u}$ и достигаем того, что все скобки ( $\mathfrak{H}_{
u-1}, \mathfrak{g}_{
u}$ ) либо превращаются в прямые суммы, либо приводятся к члену $\mathfrak{H}_{
u-1}$. Из совокупности всех этих уравнений получаем, что $\mathfrak{G}=\mathfrak{H}_{h}$ является прямой суммой $\mathfrak{H}$ и некоторых $\mathfrak{g}_{
u}$, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если
\[
\mathfrak{G}=\mathfrak{g}_{1}+\mathfrak{g}_{2}+\cdots+\mathfrak{g}_{h}
\]

одновременно
\[
\mathfrak{G}=\mathfrak{g}_{1}^{\prime}+\mathfrak{g}_{2}+\cdots+\mathfrak{g}_{h},
\]
mo
\[
\mathfrak{g}_{1} \cong \mathfrak{g}_{1}^{\prime} .
\]

Доказательство.
Из приведенного в $\S 9$ закона изоморфизма следует, что $\mathfrak{g}_{1}$ и $\mathfrak{g}_{1}^{\prime}$ оба изоморфны с дополнительной группой
\[
\mathfrak{G} / \mathfrak{g}_{2}+\cdots+\mathfrak{g}_{h} .
\]

Теорема 3. Если
\[
\mathfrak{G}=\mathfrak{g}_{1}+\mathfrak{g}_{2}+\cdots+\mathfrak{g}_{r}
\]
$u \mathfrak{G}=\mathfrak{h}_{1}+\mathfrak{h}_{2}+\cdots+\mathfrak{h}_{s}-$ два разложения целиком приводимой аддитивной группы на неприводимые, то $r=s u \mathfrak{g}_{
u}$, взятые в той или иной последовательности, изоморфны с $\mathfrak{h}_{\mu}$.
Доказательство.
Применяя первую теорему с $\mathfrak{H}=\mathfrak{h}_{2}+\cdots+\mathfrak{h}_{s}$, получаем
\[
\mathfrak{G}=\left(\mathfrak{h}_{2}+\cdots+\mathfrak{h}_{s}\right)+\left(\sum \mathfrak{g}_{
u}\right),
\]

где $\sum \mathfrak{g}_{
u}$ – сумма некоторых $\mathfrak{g}_{
u}$. Из второй теоремы следует, что $\sum \mathfrak{g}_{
u} \cong \mathfrak{h}_{1}$. Так как $\mathfrak{h}_{1}$ неприводимо, то сумма $\sum \mathfrak{g}_{
u}$ тоже должна быть неприводимой и поэтому должна состоять из одного члена, а следовательно, (при надлежащей нумерации $\mathfrak{g}_{
u}$ ) из члена $\mathfrak{g}_{1}$. Таким образом, мы имеем $\mathfrak{g}_{1} \cong \mathfrak{h}_{1}$ и
\[
\mathfrak{G}=\mathfrak{h}_{3}+\cdots+\mathfrak{h}_{s}+\mathfrak{g}_{1} .
\]

Применяя опять первую теорему с $\mathfrak{H}=\mathfrak{h}_{3}+\cdots+\mathfrak{h}_{s}+\mathfrak{g}_{1}$, получим
\[
\mathfrak{G}=\left(\mathfrak{h}_{3}+\cdots+\mathfrak{h}_{s}+\mathfrak{g}_{1}\right)+\sum^{\prime} \mathfrak{g}_{
u}
\]
(сумма $\sum^{\prime}$ не содержит $\mathfrak{g}_{1}$ ), откуда, сравнивая с предыдущим уравнением, получаем по второй теореме $\sum \mathfrak{g}_{
u} \cong \mathfrak{h}_{2}$. Следовательно, сумма опять состоит из одного члена, а именно из $\mathfrak{g}_{2}$. Мы имеем $\mathfrak{g}_{2} \cong \mathfrak{h}_{2}$ и
\[
\mathfrak{G}=\mathfrak{h}_{3}+\cdots+\mathfrak{h}_{s}+\mathfrak{g}_{1}+\mathfrak{g}_{2} .
\]

Продолжая, получим $\mathfrak{g}_{
u} \cong \mathfrak{h}_{
u}(
u=1,2, \ldots, s-1)$ и
\[
\mathfrak{G}=\mathfrak{h}_{s}+\mathfrak{g}_{1}+\cdots+\mathfrak{g}_{s-1} .
\]

Отсюда опять по второй теореме $\mathfrak{h}_{s} \cong \mathfrak{g}_{s}+\cdots+\mathfrak{g}_{r}$, а следовательно, так как последняя сумма может состоять только из одного члена, то $r=s$ и $\mathfrak{g}_{s} \cong \mathfrak{h}_{s}$.

В частности, из этой теоремы следует, что неприводимые составные части, на которые распадается представление, зависят только от самого этого представления, а не от выбранного разложения векторного пространства на неприводимые подпространства. Поэтому имеет, например, определенный смысл говорить, что в заданном представлении $\mathfrak{D}$ неприводимое представление $\mathfrak{D}_{1}$ содержится три раза, а другое представление $\mathfrak{D}_{2}$ один раз.
Из первой теоремы вытекает важное соотношение
\[
\mathfrak{G} / \mathfrak{H} \cong \mathfrak{g}_{
u_{1}}+\cdots+\mathfrak{g}_{
u_{k}} .
\]

Так как каждое гомоморфное изображение $\mathfrak{G}$ изоморфно с дополнительной группой $\mathfrak{G} / \mathfrak{H}$, мы имеем:
Теорема 4. Каждое голоморфное изображение целиком приводимой аддитивной группы изоморфно с суммой некоторых компонент $\mathfrak{g}_{
u}$ группы $\mathfrak{g}$.