Возмущающий член волнового уравнения, линейный относительно напряженности магнитного поля, для однородного поля $\mathfrak{H}_{z}$, параллельного оси $z$, по § 22 имеет вид
\[
\varkappa \mathfrak{H} \cdot(\mathfrak{L}+2 \mathfrak{S})=\varkappa \mathfrak{H} \cdot(\mathfrak{M}+\mathfrak{S})=\varkappa \mathfrak{H}_{z}\left(M_{z}+S_{z}\right) .
\]

Предположим сначала, что возмущение мало по сравнению с мультиплетным расщеплением (слабое магнитное поле) Тогда по теории возмущений для совокупности $\mathfrak{R}_{2 J+1}$ собственных функций, относящихся к какой-либо линии (терму) мультиплета, надо образовать выражение $\left(M_{z}+S_{z}\right) \psi_{J}^{(M)}$, разложить его по $\psi_{J^{\prime}}^{\left(M^{\prime}\right)}$ и отыскать в разложении члены $\psi_{J}^{\left(M^{\prime}\right)}$, относящиеся к той же совокупности $\mathfrak{R}_{2 J+1}$. Ввиду того, что $M_{z} \psi_{J}^{(M)}=M \psi_{J}^{(M)}$, нам остается лишь вычислить $S_{z} \psi_{J}^{(M)}$. Если мы присоединим сюда еще $S_{x} \psi_{J}^{(M)}$ и $S_{y} \psi_{J}^{(M)}$, то получим $3(2 J+1)$ функций, преобразующихся по $\mathfrak{D}_{1} \times \mathfrak{D}_{J}$, которые мы должны разложить по $\psi_{J^{\prime}}^{\left(M^{\prime}\right)}$. Согласно $\S 19$, при таком разложении все коэффициенты, относящиеся к пространству $\mathfrak{R}_{2 J+1}$, однозначно определяются с помощью теории групп с точностью до общего множителя. Обозначая $S_{x}^{\prime}, S_{y}^{\prime}, S_{z}^{\prime}$ операторы, получающиеся из $S_{x}, S_{y}, S_{z}$, если в разложении отбросить все члены, не относящиеся к пространству $\mathfrak{R}_{2 J+1}$, и обозначая операторы через $M_{x}^{\prime}, M_{y}^{\prime}, M_{z}^{\prime}$, построенные аналогичным образом, $S_{x}^{\prime}, S_{y}^{\prime}, S_{z}^{\prime}$ должны совпадать с $M_{x}^{\prime}, M_{y}^{\prime}, M_{z}^{\prime}$ с точностью до множителя $\beta$.
\[
S_{x}^{\prime}=\beta M_{x}^{\prime}, \quad S_{y}^{\prime}=\beta M_{y}^{\prime}, \quad S_{z}^{\prime}=\beta M_{z}^{\prime} .
\]

Отсюда следует
\[
\left(M_{z}^{\prime}+S_{z}^{\prime}\right) \psi_{J}^{(M)}=(1+\beta) M_{z}^{\prime} \psi_{J}^{(M)}=(1+\beta) M \psi_{J}^{(M)},
\]

где $\psi_{J}^{(M)}$ являются в первом приближении собственными функциями возмущенной задачи и $(1+\beta) M \varkappa \mathfrak{H}_{z}$ магнитное расщепление.

Для определения множителя расщепления $g=1+\beta$ мы воспользуемся следующим искусственным приемом. Образуем скалярное произведение
\[
\left(\mathfrak{S}^{\prime} \mathfrak{M}^{\prime}\right)=\left(\mathfrak{M}^{\prime} \mathfrak{S}^{\prime}\right)=\beta \mathfrak{M}^{\prime 2}=\beta J(J+1) .
\]

Кроме того, мы имеем
\[
\mathfrak{L}^{2}=(\mathfrak{M}-\mathfrak{S})^{2}=\mathfrak{M}^{2}-\mathfrak{M} \mathfrak{S}-\mathfrak{S M}+\mathfrak{S}^{2} .
\]
Ограничиваясь в последнем уравнении слева и справа той частью оператора, которая относится к пространству $\mathfrak{R}_{2 J+1}$, и замечая, что все линии мультиплета приближенно относятся к собственному значению $L(L+1)$ оператора $\mathfrak{L}^{2}$ и к собственному значению $S(S+1)$ оператора $\mathfrak{S}^{2}$, получаем (при малом мультиплетном расщеплении)
\[
L(L+1)=J(J+1)-2 \beta J(J+1)+S(S+1),
\]

отсюда вычисляем $\beta$ и
\[
g=1+\beta=1+\frac{J(J+1)+S(S+1)-L(L-1)}{2 J(J+1)} .
\]

Эта формула находится в согласии с опытом [см. эмпирические уравнения Ланде (21.1) для $S=\frac{1}{2}$ ]. Совместно с правилами отбора $M \rightarrow M+1, M, M-1$ и правилами интенсивности она определяет типичное расщепление Зеемана, возникающее при каждом из квантовых скачков $L \rightarrow L^{\prime}, S \rightarrow S^{\prime}, J \rightarrow J^{\prime}$. На рис. 5 представлены два примера этого расщепления. Линии, поляризованные параллельно магнитному полю, направлены на рисунке вверх, остальные – вниз. Для сравнения обоих случаев нормальный эффект Зеемана изображен в равном масштабе.

Если магнитное расщепление величины того же порядка, что и мультиплетное расщепление (сильное магнитное поле), то оба возмущения надо рассматривать одновременно. На линейную совокупность $(2 L+1)(2 S+1)$ собственных функций
\[
\psi_{L}^{(m)} w_{S}^{\left(m^{\prime}\right)}
\]

действует магнитное возмущение $W$
\[
W \psi_{L}^{(m)} w_{S}^{\left(m^{\prime}\right)}=\varkappa \mathfrak{H}_{z}\left(L_{z}+2 S_{z}\right) \psi_{L}^{(m)} w_{S}^{\left(m^{\prime}\right)}=\varkappa \mathfrak{H}_{z}\left(m+2 m^{\prime}\right) \psi_{L}^{(m)} \psi_{S}^{\left(m^{\prime}\right)}
\]

и центрально-симметричное спиновое возмущение $V$, собственными функциями которого являются линейные комбинации
\[
\psi_{J}^{(M)}=\sum_{m} c_{m m^{\prime}}^{J} \psi_{L}^{(m)} w_{S}^{\left(m^{\prime}\right)} \quad\left(m+m^{\prime}=M\right)
\]
(см. (18.3)) и собственные значения которого можно более или менее эмпирически определить из положения мультиплетных термов
\[
V \psi_{J}^{(M)}=\varepsilon_{J} \psi_{J}^{(M)} .
\]

Поэтому нам известна матрица для $V$, отнесенная к базису $\psi_{J}^{(M)}$. Для того чтобы вычислить общее возмущение $V+W$, надо сначала отнести $V$ к старому базису $\psi_{L}^{(m)} w_{S}^{\left(m^{\prime}\right)}$. Обозначим через $Q$ матрицу $c_{m m^{\prime}}^{J}=c_{m m^{\prime}}^{J M}$, (с $J$ и $M$ как индексами столбцов, $m$ и $m^{\prime}$ как индексами строк) и диагональную матрицу $\varepsilon_{J}$ через $R$, тогда матрица для $V$, отнесенная к старому базису, имеет вид
\[
Q R Q^{-1} .
\]

Рис. 5. Типы расщепления при эффекте Зеемана.

Поэтому, если $W$ – диагональная матрица для $\varkappa \mathfrak{H}_{z}\left(m+2 m^{\prime}\right)$, то вековое уравнение напишется в виде
\[
\left|W+Q R Q^{-1}-\zeta E\right|=0,
\]

или, если умножить на детерминант $|Q|$,
\[
|W Q+Q R-\zeta Q|=0 .
\]

Решение этого уравнения облегчается тем, что все рассматриваемые матрицы распадаются на составные части, соответствующие отдельным значениям $M=m+m^{\prime}$. Каждому $M$ соответствуют определенные возможные значения $J$ как индекса столбца и столько же пар значений $m, m^{\prime}$ как индексов строк. Частичный детерминант, относящийся к определенному значению, имеет по (25.9) вид
\[
\left|\varkappa \mathfrak{H}_{z}\left(m+2 m^{\prime}\right) c_{m m^{\prime}}^{J}+c_{m m^{\prime}}^{J}(\varepsilon-\zeta)\right|=0 .
\]

Числа $c_{m m^{\prime}}^{J}$ берутся из (18.2). В случае дублетов все уравнения (25.10) линейны или квадратичны и поэтому легко решаются ${ }^{1}$.

Разложив точно так же уравнение (25.8) на частичные уравнения, относящиеся к различным значениям $M$, и заметив, что сумма корней
${ }^{1}$ Heisenberg, W., и P.Jordan, Anwendung der Quantenmechanik auf das Problem der anomalen Zeemaneffekte, Z. f. Physlk. Bd. 37 (1926), S. 263.
Darwin K., Proc. Roy. Soc. (A) Bd. 118 (1928), S. 264.
равна следу матрицы $W+Q R Q^{-1}$, легко находим следующее правило суммы. Сумма расщеплений ( $\zeta-\varepsilon_{J}$ ) для каждого значения является линейной функцией от напряженности поля $\mathfrak{H}_{z}$ вида
\[
\varkappa \mathfrak{H}_{z} \sum_{m+m^{\prime}=M}\left(m+2 m^{\prime}\right)
\]

Коэффициенты при $\varkappa \mathfrak{H}_{z}$ должны, понятно, совпадать с ранее найденным для слабого поля значением $M \sum g(J)$.

В случае очень сильного поля, когда магнитное расщепление велико по сравнению с мультиплетным расщеплением $\varepsilon_{z}$, можно в первом приближении совершенно пренебречь $\varepsilon_{J}$ и пользоваться в качестве собственных функций $\psi_{L}^{(m)} \psi_{S}^{\left(m^{\prime}\right)}$ и в качестве собственных значений $m+2 m^{\prime}$. Для этого случая имеют место правила отбора
\[
\begin{array}{l}
m \rightarrow m+1, m, m-1, \\
m^{\prime} \rightarrow m^{\prime},
\end{array}
\]

причем мы получаем нормальный эффект Зеемана. При очень сильных полях аномальный эффект Зеемана превращается в нормальный (эффект Пашена-Бака). Спиновое возмущение, понятно, вызывает дополнительное расщепление термов.