Главная > METOД TEOPИИ ГРУПП B KBAHTOBOЙ MEXAHИKИ (Б.Л. Ван-дер-Варден)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Компонентам момента импульса f-электронной системы по §2 соответствуют операторы
Lx=i(yzzy),Ly=i(zxxz),Lz=i(xyyx),}

где суммирование производится по всем электронам. Оператор для квадрата углового момента определяется выражением
2L2=2(Lx2+Ly2+Lz2).

Операторы Lx,Ly,Lz непосредственно связаны с пространственным вращением.

При вращении вокруг оси z всех точек (x,y,z) конфигурационного пространства электрона на «бесконечно малый» угол δα координаты x,y,z изменяются на
δx=yδα;δy=xδα;δz=0
(с точностью до величин, малых по сравнению с δα ). При вращении D пространства функция ψ(q)=ψ(x,y,z) переходит в функцию Dψ=ψ, определяемую выражением 1
ψ(Dq)=ψ(q) или ψ(q)=ψ(D1q),

где D1 — обратное или инверсное вращение. Таким образом,
ψ(x,y,z)=ψ(xδx,yδy,zδz)δψ=ψψ=ψxδxψyδyψzδz=(yψxxψy)δα.

Операция (xyyx), которая вследствие приращения функции ψ при вращении δα определена с точностью до величин высшего порядка,
1 Это значит, что графическое изображение функции (система ее поверхностей уровней в пространстве) подчиняется вращению D.
называется бесконечно-малым вращением вокруг оси Z. Для функции от многих переменных ψ(q1,,qf) приращение при одновременном вращении всех точек q1,,qf на тот же самый угол определяется оператором
Iz=1f(xyyx)=iLz.

Как можно легко показать, операторы Ix,Iy,Iz удовлетворяют соотношениям коммутативности
IxIyIyIx=Iz,IyIzIzIy=IxIzIxIxIz=Iy.}

В случае поля с шаровой симметрией собственные функции определенного уровня энергии при любом вращении, а следовательно, и при бесконечно малом вращении Ix,Iy или Iz, переходят опять в собственные функции того же уровня энергии; таким образом, линейная совокупность этих собственных функций всегда претерпевает линейное преобразование. Для одного электрона собственная функция является произведением функций f(r) на шаровую функцию l-той степени Yl. При операциях Ix,Iy,Iz она претерпевает определенное линейное преобразование. Множитель f(r) остается инвариантным и поэтому несущественен. Например,
IzYl(m)=imYl(m),
(потому что Yl(m) зависит от угла φ только через множитель eimφ ) и, следовательно,
LzYl(m)=mYl(m).

Таким образом, функция Yl(m) принадлежит к собственному значению m оператора Lz или: в состоянии f(r)Yl(m)Lz имеет определенное значение m.
Вычислим теперь оператор L2. В случае одного электрона
L2=(yzzy)2+(zxxz)2+(xyyx)2==(y22z2+z22y22yz2yzyyzz)+==r2Δ(xx+yy+zz)2(xx+yy+zz).

Переходя к полярным координатам, с помощью (4.2) и выражения xx+yy+zz=rr, получаем
L2=Λ.

Отсюда следует по (4.4) и (4.6)
L2Yl=l(l+1)Yl

и аналогично, так как оператор Λ действует только на ϑ и φ, но не на r,
L2f(r)Yl=l(l+1)f(r)Yl,
т. е. в состоянии f(r)Yl оператор L2 имеет определенное значение l(l+1).

Следовательно, момент импульса L является вектором, квадрат которого в состоянии f(r)Yl(m) ( m=l,l1,,l ) имеет значение 2l(l+1), а составляющая по оси z значение m. Для ясности можно представить себе вектор длины l, направление которого выбрано так, что его составляющая по оси Z принимает все возможные значения l,(l1),,l.

Если составляющая по оси z имеет определенное значение, то составляющие по другим направлениям не могут иметь определенных значений: операторы Lx и Lz не коммутируют между собой и поэтому не обладают общей системой собственных функций. Шаровые функции Yl(m), которые мы произвольно приняли за базис для всех шаровых функций, являются поэтому собственными функциями Lz в линейной совокупности всех шаровых функций.

1
Оглавление
email@scask.ru