Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
Компонентам момента импульса -электронной системы по соответствуют операторы
где суммирование производится по всем электронам. Оператор для квадрата углового момента определяется выражением
Операторы непосредственно связаны с пространственным вращением.
При вращении вокруг оси всех точек конфигурационного пространства электрона на «бесконечно малый» угол координаты изменяются на
(с точностью до величин, малых по сравнению с ). При вращении пространства функция переходит в функцию , определяемую выражением
где — обратное или инверсное вращение. Таким образом,
Операция , которая вследствие приращения функции при вращении определена с точностью до величин высшего порядка,
Это значит, что графическое изображение функции (система ее поверхностей уровней в пространстве) подчиняется вращению .
называется бесконечно-малым вращением вокруг оси . Для функции от многих переменных приращение при одновременном вращении всех точек на тот же самый угол определяется оператором
Как можно легко показать, операторы удовлетворяют соотношениям коммутативности
В случае поля с шаровой симметрией собственные функции определенного уровня энергии при любом вращении, а следовательно, и при бесконечно малом вращении или , переходят опять в собственные функции того же уровня энергии; таким образом, линейная совокупность этих собственных функций всегда претерпевает линейное преобразование. Для одного электрона собственная функция является произведением функций на шаровую функцию -той степени . При операциях она претерпевает определенное линейное преобразование. Множитель остается инвариантным и поэтому несущественен. Например,
(потому что зависит от угла только через множитель ) и, следовательно,
Таким образом, функция принадлежит к собственному значению оператора или: в состоянии имеет определенное значение .
Вычислим теперь оператор . В случае одного электрона
Переходя к полярным координатам, с помощью (4.2) и выражения , получаем
Отсюда следует по (4.4) и (4.6)
и аналогично, так как оператор действует только на и , но не на ,
т. е. в состоянии оператор имеет определенное значение .
Следовательно, момент импульса является вектором, квадрат которого в состоянии ( ) имеет значение , а составляющая по оси значение . Для ясности можно представить себе вектор длины , направление которого выбрано так, что его составляющая по оси принимает все возможные значения .
Если составляющая по оси имеет определенное значение, то составляющие по другим направлениям не могут иметь определенных значений: операторы и не коммутируют между собой и поэтому не обладают общей системой собственных функций. Шаровые функции , которые мы произвольно приняли за базис для всех шаровых функций, являются поэтому собственными функциями в линейной совокупности всех шаровых функций.