Компонентам момента импульса $f$-электронной системы по $\S 2$ соответствуют операторы
\[
\left.\begin{array}{rl}
\hbar L_{x} & =\frac{\hbar}{i} \sum\left(y \frac{\partial}{\partial z}-z \frac{\partial}{\partial y}\right), \\
\hbar L_{y} & =\frac{\hbar}{i} \sum\left(z \frac{\partial}{\partial x}-x \frac{\partial}{\partial z}\right), \\
\hbar L_{z} & =\frac{\hbar}{i} \sum\left(x \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial x}\right),
\end{array}\right\}
\]

где суммирование производится по всем электронам. Оператор для квадрата углового момента определяется выражением
\[
\hbar^{2} \mathfrak{L}^{2}=\hbar^{2}\left(L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}\right) .
\]

Операторы $L_{x}, L_{y}, L_{z}$ непосредственно связаны с пространственным вращением.

При вращении вокруг оси $z$ всех точек $(x, y, z)$ конфигурационного пространства электрона на «бесконечно малый» угол $\delta \alpha$ координаты $x, y, z$ изменяются на
\[
\delta x=-y \delta \alpha ; \quad \delta y=x \delta \alpha ; \quad \delta z=0
\]
(с точностью до величин, малых по сравнению с $\delta \alpha$ ). При вращении $D$ пространства функция $\psi(q)=\psi(x, y, z)$ переходит в функцию $D \psi=\psi^{\prime}$, определяемую выражением ${ }^{1}$
\[
\psi^{\prime}(D q)=\psi(q) \quad \text { или } \quad \psi^{\prime}(q)=\psi\left(D^{-1} q\right),
\]

где $D^{-1}$ – обратное или инверсное вращение. Таким образом,
\[
\begin{array}{c}
\psi^{\prime}(x, y, z)=\psi(x-\delta x, y-\delta y, z-\delta z) \\
\delta \psi=\psi^{\prime}-\psi=-\frac{\partial \psi}{\partial x} \delta x-\frac{\partial \psi}{\partial y} \delta y-\frac{\partial \psi}{\partial z} \delta z=\left(y \frac{\partial \psi}{\partial x}-x \frac{\partial \psi}{\partial y}\right) \delta \alpha .
\end{array}
\]

Операция $-\left(x \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial x}\right)$, которая вследствие приращения функции $\psi$ при вращении $\delta \alpha$ определена с точностью до величин высшего порядка,
${ }^{1}$ Это значит, что графическое изображение функции (система ее поверхностей уровней в пространстве) подчиняется вращению $D$.
называется бесконечно-малым вращением вокруг оси $Z$. Для функции от многих переменных $\psi\left(q_{1}, \ldots, q_{f}\right)$ приращение при одновременном вращении всех точек $q_{1}, \ldots, q_{f}$ на тот же самый угол определяется оператором
\[
I_{z}=-\sum_{1}^{f}\left(x \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial x}\right)=-i L_{z} .
\]

Как можно легко показать, операторы $I_{x}, I_{y}, I_{z}$ удовлетворяют соотношениям коммутативности
\[
\left.\begin{array}{rl}
I_{x} I_{y}-I_{y} I_{x} & =I_{z}, \\
I_{y} I_{z}-I_{z} I_{y} & =I_{x} \\
I_{z} I_{x}-I_{x} I_{z} & =I_{y} .
\end{array}\right\}
\]

В случае поля с шаровой симметрией собственные функции определенного уровня энергии при любом вращении, а следовательно, и при бесконечно малом вращении $I_{x}, I_{y}$ или $I_{z}$, переходят опять в собственные функции того же уровня энергии; таким образом, линейная совокупность этих собственных функций всегда претерпевает линейное преобразование. Для одного электрона собственная функция является произведением функций $f(r)$ на шаровую функцию $l$-той степени $Y_{l}$. При операциях $I_{x}, I_{y}, I_{z}$ она претерпевает определенное линейное преобразование. Множитель $f(r)$ остается инвариантным и поэтому несущественен. Например,
\[
I_{z} Y_{l}^{(m)}=-i m Y_{l}^{(m)},
\]
(потому что $Y_{l}^{(m)}$ зависит от угла $\varphi$ только через множитель $e^{i m \varphi}$ ) и, следовательно,
\[
L_{z} Y_{l}^{(m)}=m Y_{l}^{(m)} .
\]

Таким образом, функция $Y_{l}^{(m)}$ принадлежит к собственному значению $m$ оператора $L_{z}$ или: в состоянии $f(r) Y_{l}^{(m)} L_{z}$ имеет определенное значение $m$.
Вычислим теперь оператор $\mathfrak{L}^{2}$. В случае одного электрона
\[
\begin{aligned}
-\mathfrak{L}^{2} & =\left(y \frac{\partial}{\partial z}-z \frac{\partial}{\partial y}\right)^{2}+\left(z \frac{\partial}{\partial x}-x \frac{\partial}{\partial z}\right)^{2}+\left(x \frac{\partial}{\partial y}-y \frac{\partial}{\partial x}\right)^{2}= \\
& =\left(y^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}+z^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}-2 y z \frac{\partial^{2}}{\partial y \partial z}-y \frac{\partial}{\partial y}-z \frac{\partial}{\partial z}\right)+\cdots= \\
& =r^{2} \Delta-\left(x \frac{\partial}{\partial x}+y \frac{\partial}{\partial y}+z \frac{\partial}{\partial z}\right)^{2}-\left(x \frac{\partial}{\partial x}+y \frac{\partial}{\partial y}+z \frac{\partial}{\partial z}\right) .
\end{aligned}
\]

Переходя к полярным координатам, с помощью (4.2) и выражения $x \frac{\partial}{\partial x}+y \frac{\partial}{\partial y}+z \frac{\partial}{\partial z}=r \frac{\partial}{\partial r}$, получаем
\[
-\mathfrak{L}^{2}=\Lambda .
\]

Отсюда следует по (4.4) и (4.6)
\[
\mathfrak{L}^{2} Y_{l}=l(l+1) Y_{l}
\]

и аналогично, так как оператор $\Lambda$ действует только на $\vartheta$ и $\varphi$, но не на $r$,
\[
\mathfrak{L}^{2} f(r) Y_{l}=l(l+1) f(r) Y_{l},
\]
т. е. в состоянии $f(r) Y_{l}$ оператор $\mathfrak{L}^{2}$ имеет определенное значение $l(l+1)$.

Следовательно, момент импульса $\hbar \mathfrak{L}$ является вектором, квадрат которого в состоянии $f(r) Y_{l}^{(m)}$ ( $m=l, l-1, \ldots,-l$ ) имеет значение $\hbar^{2} l(l+1)$, а составляющая по оси $z-$ значение $\hbar m$. Для ясности можно представить себе вектор длины $\hbar l$, направление которого выбрано так, что его составляющая по оси $Z$ принимает все возможные значения $\hbar l, \hbar(l-1), \ldots,-\hbar l$.

Если составляющая по оси $z$ имеет определенное значение, то составляющие по другим направлениям не могут иметь определенных значений: операторы $L_{x}$ и $L_{z}$ не коммутируют между собой и поэтому не обладают общей системой собственных функций. Шаровые функции $Y_{l}^{(m)}$, которые мы произвольно приняли за базис для всех шаровых функций, являются поэтому собственными функциями $L_{z}$ в линейной совокупности всех шаровых функций.