Пусть $\mathfrak{G}$ – конечная группа с $h$ элементами. Выберем положительно определенную эрмитову форму в пространстве какого-либо произвольного представления, применим к ней все преобразования группы и сложим результаты. При этом получается положительно определенная форма, инвариантная относительно рассматриваемой группы. Следовательно, матрицы представления являются унитарными и поэтому представление либо вовсе неприводимо, либо приводимо целиком.

Особое представление получается, если в качестве базисных векторов воспользоваться элементами группы и, следовательно, в качестве векторов все линейные комбинации
\[
c=\sum_{s} \gamma_{s} s
\]

с комплексными коэффициентами $\gamma_{s}$. Эти «групповые числа» (14.1) образуют кольцо $\mathfrak{R}_{g}$, т. е. их можно не только складывать друг с другом и умножать на обыкновенные числа, но и умножать друг на друга, т. е. можно положить
\[
\sum_{s} \gamma_{s} s \cdot \sum_{t} \delta_{t} t=\sum_{s} \sum_{t} \gamma_{s} \delta_{t} s t .
\]
${ }^{1}$ Содержание этого и следующего параграфов не является безусловно необходимым для рассматриваемых в этой книге приложений к квантовой механике, но эти параграфы обязательны для того, кто хочет углубиться в теорию представлений. Эта теория дана Г.Фробениусом, применившим здесь метод доказательства Е. Нетера. Другое простое доказательство см.: I. Schur. Sitzungsber. Berlin. 1905. S. 406.
Кольцо $\mathfrak{R}_{g}$ называется кольцом группы, алгеброй группы или областью группы. Единичный элемент $е$ группы является одновременно единичным элементом кольца. Если помножить элементы кольца на базисный вектор $s$, то во всех случаях получается линейное преобразование кольца в самого себя, т. е. представление группы $\mathfrak{G}$. Это представление называется регулярным представлением группы $\mathfrak{G}$; оно имеет порядок $h$.

Инвариантным подпространством регулярного представления является такое подпространство, которое вместе с каждым данным групповым числом $a$ содержит и все $s a$, где $s$ – произвольный элемент группы. При этом подпространство содержит и все $\sum_{s} \gamma_{s} s \cdot a$, т. е. все $c a$, где $c$ – групповые числа. Такое подпространство называется левым идеалом. На основании вышеизложенного кольцо группы целиком приводимо, а следовательно, оно является прямой суммой неприводимых левых идеалов.
Мы можем доказать теперь следующие теоремы.

Теорема 1. Каждое неприводимое представление группы $\mathfrak{G}$ содержится в регулярном представлении (следовательно, оно эквивалентно представлению, выраженному с помощью неприводимых левых идеалов).
Доказательство.
Заметим, во-первых, что мы можем каждое представление группы $\mathfrak{G}$ заменить «представлением» кольца $\mathfrak{R}_{g}$, приведя в соответствие элементам кольца $\sum_{s} \gamma_{s} s$ матрицы $\sum_{s} \lambda_{s} S$, где $S$ – матрица, соответствующая элементу группы $s$. Произведению двух элементов кольца соответствует произведение матриц и сумме – сумма матриц. Если теперь $v$ обозначает произвольный вектор пространства представлений $\mathfrak{r}$, то $c \rightarrow c v$ дает линейное изображение кольца группы в пространстве представлений. Это изображение является операторным гомоморфизмом (по отношению к $\mathfrak{G}$ как области операторов). Поэтому из (14.1) следует
\[
s \cdot c \rightarrow s c \cdot v=s \cdot c v .
\]

Согласно четвертой теореме $\S 11$, пространство $\mathfrak{r}$ оказывается, таким образом, изоморфным с суммой неприводимых подпространств регулярного представления, следовательно, если $\mathfrak{r}$ само неприводимо, то изоморфно с одним подобным подпространством, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Кольцо $\mathfrak{R}_{g}$ ябляется прямой суммой полных матричных колец.

Доказательство.
Мы попытаемся определить операторные гомоморфизмы кольца $\mathfrak{R}_{g}$ (или преобразования, коммутирующие с регулярным представлением). Обозначим одно из них через $T$ и предположим, что $T$ переводит единичный элемент группы $\mathfrak{G}$ в элемент $t$. Вследствие коммутирования $T$ со всеми элементами $s$ группы должно иметь место соотношение
\[
T \sum_{s} c_{s} s e=\sum_{s} c_{s} s T e=\sum_{s} c_{s} s t .
\]

Следовательно, операция $T$ заключается в том, что все элементы кольца умножаются справа на $t$. Каждому $T$ отвечает определенное $t$, и обратно. Произведению двух гомоморфизмов $T U$ соответствует обратное произведение $u t$, так как (для произвольного $c$ в $\mathfrak{R}_{g}$ ) мы имеем
\[
T U \cdot c=T \cdot c u=c u t,
\]

а сумме $T+U$ соответствует сумма $t+u$.
Следовательно, кольцо $\mathfrak{R}_{g}$ «обратно изоморфно» кольцу $\mathfrak{I}$ операторного гомоморфизма, т. е. изоморфно с перестановкой множителей в произведениях. По $\S 13$, если $\mathfrak{I}$ – прямая сумма полных матричных колец, то, чтобы получить обратно изоморфное к ней кольцо, достаточно заменить все матрицы транспонированными. При этом опять получаем прямую сумму полных матричных колец.
Каковы левые идеалы кольца
\[
\mathfrak{R}_{g}=\mathfrak{I}_{1}+\mathfrak{I}_{2}+\cdots+\mathfrak{I}_{q},
\]

где $\mathfrak{I}_{1}, \ldots, \mathfrak{I}_{q}$ – матричные кольца?
Введем в $\mathfrak{I}_{1}$ в качестве базисных величин $n$ матрицы $C_{\lambda \mu}$ (cp. $\S 13$ ). Элементы ( $C_{11}, C_{21}, \ldots, C_{n 1}$ ) определяют левый идеал в $\mathfrak{I}_{1}$, а поэтому также и в $\mathfrak{R}_{g}$, то же самое относится к элементам $\left(C_{12}, C_{22}, \ldots, C_{n 2}\right.$ ) и т. д. Это дает $n$ левых идеалов в $\mathfrak{I}_{1}$. Если мы вычислим также представление $\mathfrak{R}_{g}$, к которому приводят эти идеалы, то оказывается, что все величины $\mathfrak{I}_{2}, \ldots, \mathfrak{I}_{q}$ представляются нулями, а величины $t=\sum \sum \alpha_{\lambda \mu} C_{\lambda \mu}$ из $\mathfrak{I}_{1}$ во всех $n$ вышеупомянутых представлениях представляются одной и той же матрицей ( $\alpha_{\lambda \mu}$ ), т. е. для каждого $t_{2}$ в $\mathfrak{I}_{2}$
\[
t_{2} C_{
u \varkappa}=0
\]

или для каждого $t_{1}=\sum_{\lambda} \sum_{\mu} \alpha_{\lambda \mu} C_{\lambda \mu}$ в $\mathfrak{I}_{1}$,
\[
t_{1} C_{
u \varkappa}=\sum_{\lambda} \sum_{\mu} \alpha_{\lambda \mu} C_{\lambda \mu} C_{
u \varkappa}=\sum_{\lambda} \alpha_{\lambda
u} C_{\lambda
u} C_{
u \varkappa}=\sum_{\lambda} C_{\lambda \varkappa} \alpha_{\lambda
u} .
\]
Отсюда следует, что вышеупомянутые левые идеалы эквивалентны и соответствуют одному и тому же неприводимому представлению. То же самое имеет место для левых идеалов $\mathfrak{I}_{2}$. Но они не эквивалентны предыдущим левым идеалам, так как в связанном с ними представлении элементы $\mathfrak{I}_{1}$ представлены нулями, что не имело места в ранее рассмотренном представлении. Следовательно, мы получаем ровно столько неэквивлентных представлений, сколько матричных колеи, содержится в (14.3).

Если $n_{
u}$ – порядок матриц в $\mathfrak{I}_{
u}$, то представление $\Delta_{
u}$, образуемое этими матрицами, равным образом имеет порядок $n_{
u}$, причем представление $\Delta_{
u}$ входит $n_{
u}$ раз в регулярное представление, так как $\mathfrak{I}_{
u}$ распадается на $n_{
u}$ эквивалентных левых идеалов. Следовательно, каждое неприводимое представление входит в регулярное представление столько раз, сколько единиц содержит его порлдок. Число измерении $\mathfrak{I}_{
u}$, т. е. число линейно независимых базисных векторов $C_{\lambda^{\prime} \mu}$ равно $n_{
u}^{2}$, следовательно, число измерений $\mathfrak{R}_{g}$ равно $h$
\[
h=\sum_{
u=1}^{q} n_{
u}^{2} .
\]

Из этого равенства вытекает
Теорема Бернсайда. Каждое неприводимо представление степени $n_{
u}$ содержат $n_{
u}^{2}$ нелинейно независимых матриц.

Действительно, среди линейных комбинаций матриц представления $\Delta_{
u}$ встречаются матрицы, представляющие все элементы кольца $\Re$ и, в частности, кольца $\mathfrak{I}_{
u}$, т. е. всевозможные матрицы ( $\mathrm{a}_{\lambda \mu}$ ) с произвольными $a_{\lambda \mu}$.

Мы можем, наконец, выяснить, сколько существует неприводимых представлений рассматриваемой группы. С этой целью определим «центр» кольца $\mathfrak{R}_{g}$, т. е. совокупность таких величин $\sum \gamma_{s} s$, которые коммутируют со всеми остальными групповыми числами. Для этого достаточно, чтобы они коммутировали со всеми элементами группы, т. е. чтобы
\[
\sum \gamma_{s} t s t^{-1}=\sum \gamma_{s} s .
\]

Для этого необходимо и достаточно, чтобы в сумме $\sum \gamma_{s} s$ каждое $s$ было связано с таким же коэффициентом, как и каждый «сопряженный с $s$ элемент группы» $t s t^{-1}$. Обозначим через $k$ сумму всех различных сопряженных с $s$ элементов группы $t s t^{-1}$, включая и сам элемент $s$. Таким образом, каждый элемент центра должен иметь форму
\[
z=\sum \gamma_{k} k .
\]
Центром $\mathfrak{R}_{g}$ является, следовательно, векторное пространство, число измерений которого $q^{\prime}$ равно числу различных классов сопряженных элементов группы.

С другой стороны, центр можно определить также из представления $\mathfrak{R}_{g}$ в виде суммы (14.3). Ве.ичины $t=t_{1}+\cdots+t_{q}$ в $\mathfrak{R}_{g}$ коммутируют со всеми величинами $\mathfrak{R}_{g}$, когда $t_{1}$ коммутирует со всеми матрицами $\mathfrak{I}_{1}$, т. е. является кратным $\lambda_{1} e_{1}$ единичной матрицы $e_{1}$ в $\mathfrak{I}_{1}$ и когда также $t_{2}=\lambda_{2} e_{2}, \ldots, t_{q}=\lambda_{q} e_{q}$. Поэтому центр $\mathfrak{R}_{g}$ определяется совокупностью линейно-независимых величин $\left(e_{1}, \ldots, e_{q}\right)$, так что число его измерений равно $q$. Таким образом, имеем
\[
q^{\prime}=q,
\]

или число неприводимых представлений равно числу классов сопряженных элементов группы.