Соображения, изложенные в конце $\S 14$, были развиты Заутером ${ }^{1}$. Матричные операторы уравнения Дирака удовлетворяют соотношению
\[
\Gamma_{i} \Gamma_{k}+\Gamma_{k} \Gamma_{i}=2 \delta_{i k},
\]

в остальном же совершенно произвольны. Но соотношениям (2.1) удовлетворяют не только четырехрядные матрицы, но и другие операторы (например, кватернионы, восьмирядные матрицы и т. д.). Поэтому Заутер исследовал вопрос, нельзя ли решить уравнение Дирака независимо от выбора вида этих операторов.

Как указывалось выше (см. §14), операторы Дирака образуют систему гиперкомплексных чисел с 16 базисными элементами (14.7). Собственные функции уравнения Дирака можно представить в виде линейных комбинаций этих 16 величин. Тогда решение уравнения Дирака сводится к определению коэффициентов этой линейной комбинации.

Из 16 базисных величин (14.7) можно построить ряд гиперкомплексных чисел вида
\[
\begin{aligned}
c= & f_{0}+f_{1} \Gamma_{1}+f_{2} \Gamma_{2}+\ldots+f_{12} \Gamma_{12}+\ldots+ \\
& +f_{123} \Gamma_{1} \Gamma_{2} \Gamma_{3}+\ldots+f_{1234} \Gamma_{1} \Gamma_{2} \Gamma_{3} \Gamma_{4} .
\end{aligned}
\]

Некоторые из этих чисел обладают обратными, так что имеет место соотношение
\[
c c^{-1}=1
\]

Числа, не имеющие обратных, называются «нулевыми делителями». Число $c$ содержит 16 независимых параметров. При умножении на нормальный делитель число независимых параметров уменьшается. Это свойство нормальных делителей называют «способностью приводить числа $c »$. Число, дающее отношение числа оставшихся параметров к исходному их числу, называется «степенью приведения». Для 16 компонентных чисел (2.2) возможны нормальные делители со степенями приведения $s=1 / 2,1 / 4,1 / 8,1 / 16$.

При пользовании волновыми функциями вида (2.2) задача решения уравнения Дирака сводится к задаче о решении 16 линейнонезависимых уравнений для определения коэффициентов $f_{i}$. Пользуясь свойством приводимости, мы можем уменьшить число коэффициентов в уравнении и тем самым значительно упростить задачу. Наиболее естественно пользоваться четырехкомпонентной функцией, так как эти 4
${ }^{1}$ Sauter, Z. f. Phys. 63, 803, 64, 296 (1930).
компоненты можно интерпретировать как связанные с двумя возможными значениями спина и знака тагранжевой функции. Поэтому числа (2.2) надо умножить на нормальный делитель со степенью приведения $s=1 / 4$.
Заутер записывает волновую функцию в виде
\[
\psi=\left(f_{1}+f_{2} \Gamma_{1}+f_{3} \Gamma_{3}+f_{4} \Gamma_{1} \Gamma_{3}\right) \gamma
\]

где $\gamma$ – нулевой делитель с $s=1 / 4$ вида
\[
\gamma=\left(1+i \Gamma_{1} \Gamma_{2}\right)\left(1+\Gamma_{4}\right) .
\]

Кроме того, $\gamma$ является постоянным оператором, т. е., если воспользоваться матрицами Дирака, то
\[
\gamma=\left(\begin{array}{llll}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 4 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) .
\]

Аналогично получаем для (2.4)
\[
\psi=\left(\begin{array}{cccc}
0 & -i f_{4} & 0 & 0 \\
0 & f_{1} & 0 & 0 \\
0 & -i f_{2} & 0 & 0 \\
0 & -i f_{3} & 0 & 0
\end{array}\right),
\]

причем между $f_{i}$ и компонентами обычной дираковской функции могут быть установлены простые соотношения.

Очень интересны свойства адъюнгированных функций. Функция, адъюнгированная по отношению к (2.4), имеет вид
\[
\widetilde{\psi}=\left(1-i \Gamma_{1} \Gamma_{2}\right)\left(1+\Gamma_{4}\right)\left(f_{1}+f_{2} \Gamma_{1}+f_{3} \Gamma_{3}+f_{4} \Gamma_{1} \Gamma_{3}\right) .
\]

Легко показать, что $\psi$ и $\widetilde{\psi}$ взаимно ортогональны. Действительно
\[
\int \bar{\psi} \Gamma_{4} \psi d \tau=0
\]

С другой стороны, из легко доказываемых соотношений
\[
\begin{aligned}
\int \bar{\psi} \Gamma_{4} \psi d \tau & =\int \overline{\widetilde{\psi}} \Gamma_{4} \widetilde{\psi} d \tau, \\
\int \bar{\psi} i \Gamma \psi d \tau & =-\int \overline{\widetilde{\psi} i \Gamma} \widetilde{\psi} d \tau \\
\int \bar{\psi} i \Gamma \Gamma_{1} \Gamma_{23} \psi \Gamma d \tau & =-\int \overline{\widetilde{\psi} i} \Gamma_{1} \Gamma_{2} \Gamma_{3} \widetilde{\psi} d \tau,
\end{aligned}
\]
где $\Gamma$ вектор с компонентами $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \Gamma_{3}$ следует, что функции (2.4) и (2.8) описывают два ортогональных состояния, обладающих одинаковой плотностью зарядов и противоположно направленными векторами четырехмерного тока и магнитного момента. Поэтому можно считать, что адъюнгированные функции описывают различные ориентации спина.

Метод Заутера во многих случаях оказывается более общим и более удобным, чем обычный метод решения уравнения Дирака. Рассмотрим, например, поворот координатной системы. Пусть в системе $x, y, z$ уравнение Дирака имеет вид
\[
\left\{\sum_{k=1}^{4} \Gamma_{k}\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x_{k}}-\frac{e}{c} \Phi_{k}\right)-\frac{i E_{0}}{c}\right\} \psi=0 .
\]

Введем новые координаты
\[
x^{\prime}=\sum_{k} c_{i k} x_{k}
\]

с дополнительным условием
\[
\sum c_{i k} c_{i e}=\delta_{k e},
\]

тогда (2.13) переходит
\[
\left\{\sum_{k=1}^{4} \Gamma_{k}^{\prime}\left(\frac{\partial}{\partial x_{k}^{\prime}}-\frac{e}{c} \Phi_{k}^{\prime}\right)-i \frac{E_{0}}{c}\right\} \psi=0,
\]

где
\[
\Gamma_{k}^{\prime}=\sum_{k} c_{k i} \Gamma_{i},
\]

но так как $\Gamma_{k}^{\prime}$ удовлетворяет соотношениям (2.1), то уравнениям (2.13) и (2.16) удовлетворяет функция $\psi$ одной и той же формы.

С точки зрения теории Заутера $\Gamma_{k}^{\prime}$ и $\Gamma_{k}$ эквивалентны и поэтому мы имеем только одно уравнение Дирака, инвариантное относительно пространственного вращения. Если же, как обычно, $\Gamma_{k}$ и $\psi$ заданы в виде матриц, то при повороте координат меняется либо форма $\Gamma$, либо форма $\psi$ и поэтому матричный метод значительно менее универсален.

Другим примером простоты метода Заутера является переход от уравнения Дирака к уравнению Паули.

—————————————————————-
0007ru_fiz_kvant_book15_no_photo_page-0208.jpg.txt

Дополнения
207
Запишем уравнение Дирака в виде
\[
\left\{-i c\left(\mathfrak{p}-\frac{e}{c} \mathfrak{A}, \mathfrak{G}\right)+(E-V) \Gamma_{4}-E_{0}\right\}=0
\]

и положим
\[
\psi=\left(1+\Gamma_{4}\right) \psi_{1}+\left(1-\Gamma_{4}\right) \psi_{2},
\]

где $\psi_{1}, \psi_{2}$ не содержат $\Gamma_{4}$. Тогда, подставляя в (1.18), получим
\[
\begin{array}{c}
\left(1+\Gamma_{4}\right)\left[-i c\left(\mathfrak{p}-\frac{e}{c} \mathfrak{A}, \mathfrak{G}\right) \psi_{2}+\left(E-V-E_{0}\right) \psi_{1}\right]+ \\
+\left(1-\Gamma_{4}\right)\left[-i c\left(\mathfrak{p}-\frac{e}{c} \mathfrak{A}, \mathfrak{G}\right) \psi_{1}-\left(E-V+E_{0}\right) \psi_{2}\right]=0
\end{array}
\]

Умножая на нулевые делители
\[
\frac{1}{2}\left(1+\Gamma_{4}\right) ; \frac{1}{2}\left(1-\Gamma_{4}\right),
\]

получаем два уравнения
\[
\begin{aligned}
-i c\left(\mathfrak{p}-\frac{e}{c} \mathfrak{A}, \mathfrak{G}\right) \psi_{2}+\left(E-V-E_{0}\right) \psi_{1} & =0 \\
\left.-i c\left(\mathfrak{p}-\frac{e}{c} \mathfrak{A}, \mathfrak{G}\right)\right) \psi_{1}-\left(E-V+E_{0}\right) \psi_{2} & =0 .
\end{aligned}
\]

Как легко видеть, в нерелятивистском случае $E-E_{0}=w \ll E_{0}$ и $\psi_{1} \gg \psi_{2}$. Тогда, исключая $\psi_{2}$ из уравнения $(2.22),(2.23)$, получаем
\[
-c^{2}\left(\mathfrak{p}-\frac{e}{c} \mathfrak{A}, \mathfrak{G}\right)^{2} \psi+(w-v)\left(2 E_{0}-V-v\right) \psi=0 .
\]

После небольших преобразований, полагая для сокращения
\[
-i \mathfrak{G} \Gamma_{1} \Gamma_{2} \Gamma_{3}=\mathfrak{s},
\]

получаем
\[
-c^{2}\left(\mathfrak{p}-\frac{e}{c} \mathfrak{A}\right)^{2} \psi+\frac{e c \hbar}{2 \pi}(\mathfrak{H} \mathfrak{s}) \psi=v \psi .
\]

Легко убедиться, что операторы (2.25) удовлетворяют перестановочным соотношениям
\[
\sigma_{i}^{2}=1 \quad \sigma_{y} \sigma_{z}+\sigma_{z} \sigma_{y}=i \sigma_{x},
\]
имеющим место для матриц Паули. Поэтому уравнение (2.26) является ничем иным, как уравнением Паули. Из доказательства следует, что инвариантность относительно преобразования Лоренца, доказанная для уравнения Дирака в § 23 , не имеет места для уравнения $(2.26)$, но инвариантность относительно пространства вращения сохраняется.
Действительно, введенный в (2.25) оператор
\[
\mathfrak{s}=-i\left(\Gamma_{2} \Gamma_{3}, \Gamma_{3} \Gamma_{1}, \Gamma_{1} \Gamma_{2}\right)
\]

преобразуется при вращении как аксиальный вектор, т. е. так же, как и член уравнения, содержащий $H$. Поэтому вышедоказанная инвариантность уравнения Дирака относительно пространственного вращения имеет место и для уравнения Паули.

С помощью метода Заутера можно легко решить и задачу о движении электрона в центральном силовом поле. Мы даем здесь решение, несколько отличающееся от предложенного Заутером ${ }^{1}$.

Уравіснис Дирака в силовом полс с центральной симмстрисй имсст вид
\[
\left[-\sum_{k=1}^{4} \Gamma_{k} \frac{\partial}{\partial x_{k}}+\frac{E-V(r)}{\Pi e} \Gamma_{4}-\frac{E_{0}}{\hbar c}\right] \psi=0 .
\]

Найдем операторы, коммутирующие с функцией Гамильтона нашей задачи и между собою. Введем систему полярных координат. Тогда искомые операторы имеют вид
\[
\begin{array}{c}
M_{z}=\frac{\partial}{\partial \varphi}+\frac{1}{2} \Gamma_{1} \Gamma_{2}, \\
P=\left[1-([\mathfrak{r}
abla] \mathfrak{G}) \Gamma_{1} \Gamma_{2} \Gamma_{3}\right] \Gamma_{4} .
\end{array}
\]

Физический смысл второго оператора определяется его связью с оператором $M$
\[
M=[\mathfrak{r}
abla]+\frac{1}{2} \mathfrak{G} \Gamma_{1} \Gamma_{2} \Gamma_{3},
\]

представляющим собою сумму орбитального и спинового моментов. А именно:
\[
P^{2}=-M^{2}+\frac{1}{4} .
\]
${ }^{1}$ Sauter, Z.f.Phys., 97, 777 (1935).
Вместо оператора $M_{z}$ будем, как это обычно делается, рассматривать оператор $M_{z}^{2}$.

Будем искать решение, удовлетворяющее одновременно уравнению $(2.29)$ и уравнениям
\[
\begin{array}{c}
M_{z}^{2} \psi=-M^{2} \psi, \\
P \psi=\left(j+\frac{1}{2}\right) \psi
\end{array}
\]

Минус в (2.34) вводится потому, что оператор $M_{z}$ содержит $i$, в то время как оператор $P$ действителен.
Уравнение (2.34) с помощью (2.30) можно записать в виде
\[
\left(\frac{\partial}{\partial \varphi}+\frac{1}{2} \Gamma_{1} \Gamma_{2}\right)^{2} \psi=-M^{2} \psi,
\]

откуда
\[
\left[\frac{\partial}{\partial \varphi}+\left(M+\frac{1}{2}\right) \Gamma_{1} \Gamma_{2}\right]\left[\frac{\partial}{\partial \varphi}-\left(M-\frac{1}{2}\right) \Gamma_{1} \Gamma_{2}\right] \psi=0 .
\]

Решение этого уравнения имеет вид
\[
\psi=e^{\Gamma_{1} \Gamma_{2}} c_{1}^{(M-1 / 2) \varphi}+e^{-\Pi \Gamma_{2}} c_{2}^{(M+1 / 2) \varphi},
\]

где $c_{1}, c_{2}$ – постоянные интегрирования. Так как $\Gamma_{1} \Gamma_{2} \Gamma_{3} \Gamma_{4}=1$, то $\Gamma_{1} \Gamma_{2}$ играет роль мнимой единицы (см. далее).
Из уравнения (2.35) с помощью (2.31) получаем
\[
\left[1-([\mathfrak{r}
abla] \mathfrak{G}) \Gamma_{1} \Gamma_{2} \Gamma_{3}\right] \Gamma_{4} \psi=\left(j+\frac{1}{2}\right) \psi .
\]

Пользуясь свойствами приводимости, мы можем получить два независимых решения
\[
\begin{array}{l}
\psi_{1}=\varphi_{1}\left(1+\Gamma_{4}\right) \\
\psi_{2}=\varphi_{2}\left(1-\Gamma_{4}\right) .
\end{array}
\]

Это обстоятельство обусловливает вырождение решений уравнения Дирака.
Уравнение (2.36) можно записать в виде
\[
\pm\left[1-([\mathfrak{r}
abla] \mathfrak{G}) \Gamma_{1} \Gamma_{2} \Gamma_{3}\right] \varphi_{1,2}=\left(j+\frac{1}{2}\right) \varphi_{1,2} .
\]
Из уравнения (2.31), после небольшого преобразования, получаем
\[
\left\{[\mathfrak{r}
abla]^{2} \pm\left(j+\frac{1}{2}\right)\left[ \pm\left(j+\frac{1}{2}\right)+1\right]\right\} \varphi_{1,2}=0 .
\]

Это уравнение уже не содержит операторов Дирака и может быть приведено к виду
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sin \vartheta} \frac{\partial}{\partial \vartheta}\left(\sin \vartheta \frac{\partial \varphi_{1,2}}{\partial \vartheta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \vartheta} \frac{\partial^{2} \varphi_{1,2}}{\partial \varphi} \pm \\
\pm\left(j+\frac{1}{2}\right)\left[ \pm\left(j+\frac{1}{2}\right)+1\right] \varphi_{1,2}=0,
\end{array}
\]
т. е. к обычному уравнению для шаровых функций.

Но функции $\varphi_{1,2}$ должны одновременно быть и собственными функциями уравнения (2.37) и, следовательно, должны иметь формy $(2.38)$.
Поэтому $c_{1}$ и $c_{2}$ в уравнении (2.38) мы запишем в виде
\[
c_{1}=P_{ \pm\left(j+\frac{1}{2}\right)}^{M-\frac{1}{2}}(\cos \vartheta) c_{1}^{\prime} ; c_{2}=P_{ \pm\left(j+\frac{1}{2}\right)}^{M+\frac{1}{2}}(\cos \vartheta) c_{2}^{\prime} .
\]

Подставляя (2.42), получаем
\[
\begin{array}{c}
\left\{([\mathfrak{r}
abla] \mathfrak{G}) \Gamma_{1} \Gamma_{2} \Gamma_{3}+\left[ \pm\left(j+\frac{1}{2}\right)+1\right]\right\} \times \\
\times\left\{P_{+\left(j \pm \frac{1}{2}\right)}^{M-\frac{1}{2}}(\cos \vartheta) e^{\Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M-\frac{1}{2}\right) \varphi} c_{1}^{\prime}+P_{ \pm\left(j+\frac{1}{2}\right)}^{M-\frac{1}{2}}(\cos \vartheta) e^{-\Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M+\frac{1}{2}\right) \varphi} c_{2}^{\prime}\right\} .
\end{array}
\]

Выполняя дифференцирование после ряда преобразований, находим
\[
c_{1}^{\prime}=\left[\mp\left(j+\frac{1}{2}\right)-M+\frac{1}{2}\right] g_{1} ; \quad c_{2}^{\prime}=\Gamma_{1} \Gamma_{3} g_{2} .
\]

Таким образом, волновые функции (2.40) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\psi_{1}=\left[P_{-\left(j+\frac{1}{2}\right)}^{M-\frac{1}{2}}(\cos \vartheta) e_{(-j-M)}^{\Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M-\frac{1}{2}\right) \varphi}+\right. \\
\left.+\Gamma_{1} \Gamma_{2} P_{-\left(j+\frac{1}{2}\right)}^{M+\frac{1}{2}}(\cos \vartheta) e^{-\Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M+\frac{1}{2}\right) \varphi}\right] g_{1}\left(1+\Gamma_{4}\right), \\
\psi_{2}=\left[P_{\left(j+\frac{1}{2}\right)}^{M-\frac{1}{2}}(\cos \vartheta) e_{(j-m+1)}^{\Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M-\frac{1}{2}\right) \varphi}+\right. \\
\left.+\Gamma_{1} \Gamma_{3} P_{\left(j+\frac{1}{2}\right)}^{M+\frac{1}{2}}(\cos \vartheta) e^{-\Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M+\frac{1}{2}\right) \varphi}\right] g_{2}\left(1+\Gamma_{4}\right) .
\end{array}
\]

Для определения $g_{1}, g_{2}$ воспользуемся непосредственно уравнением $(2.29)$.
Подставляя (2.48) и (2.49) в уравнение (2.29), получаем
\[
\begin{array}{c}
\left\{-(\mathfrak{g}
abla)+\frac{E-V}{\hbar c} \Gamma_{4}-\frac{E_{0}}{\hbar c}\right\} \psi_{12}=-(\mathfrak{g}
abla) \psi_{12}+ \\
+\left(\frac{E-V}{\hbar c} \Gamma_{4}-\frac{E_{0}}{\hbar c}\right) \psi_{12} .
\end{array}
\]

Выполняя дифференцирование по угловым координатам, находим
\[
-(\mathfrak{g}
abla) \psi_{12}=f_{12}\left(\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1 \mp\left(j+\frac{1}{2}\right)}{\eta}\right) \Gamma_{3} g_{1,2},
\]

где $f_{1,2}$ обозначает зависящую от углов часть выражений $(2.48),(2.49)$. Подстановка в (2.50) дает
\[
\begin{array}{c}
-(\mathfrak{g}
abla) \psi_{1,2}+\left(\frac{E-V}{\hbar c} \Gamma_{4}-\frac{E_{0}}{h c}\right) \psi_{12}= \\
=f_{1,2}\left(\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1 \pm\left(j+\frac{1}{2}\right)}{r}\right) \Gamma_{3} g_{1,2}+\left( \pm \frac{E-V}{\hbar c}-\frac{E_{0}}{\hbar c}\right) f_{1,2} g_{1,2} .
\end{array}
\]

Из уравнения (2.52) получаем уравнение для $g_{1,2}$
\[
\left(\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1 \pm\left(j+\frac{1}{2}\right)}{r}\right) \Gamma_{3} g_{1,2}+\left( \pm \frac{E-V}{\hbar c}-\frac{E_{0}}{\hbar c}\right) g_{1,2}=0 .
\]
Положив
\[
f=-g, \quad g=\Gamma_{3} g_{2},
\]

получим уравнения
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1-\left(j+\frac{1}{2}\right)}{r}\right) f+\frac{1}{\hbar c}\left(E-V-E_{0}\right) g=0, \\
\left(\frac{\partial}{\partial r}+\frac{1+\left(j+\frac{1}{2}\right)}{r}\right) g+\frac{1}{\hbar c}\left(-E+V+E_{0}\right) f=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения тождественны с обычными уравнениями для радиальной части функции Дирака (см. §24).

Пользуясь (2.48) и (2.49), получаем решение уравнения Дирака в форме
\[
\begin{aligned}
\psi_{1}= & {\left[P_{-\left(j+\frac{1}{2}\right)}^{M-\frac{1}{2}}(\cos \vartheta) e_{(j+M)}^{\Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M-\frac{1}{2}\right) \varphi}-\right.} \\
& \left.-\Gamma_{1} \Gamma_{3} P_{-\left(j+\frac{1}{2}\right)}^{M+\frac{1}{2}}(\cos \vartheta) e^{-\Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M+\frac{1}{2}\right) \varphi}\right] f\left(1+\Gamma_{4}\right) \gamma \\
\psi_{2}= & {\left[P_{\left(j+\frac{1}{2}\right)}^{M-\frac{1}{2}}(\cos \vartheta) e_{\left(j-M+\frac{1}{2}\right)}^{\Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M-\frac{1}{2}\right) \varphi}+\right.} \\
& \left.+\Gamma_{1} \Gamma_{3} P_{\left(j+\frac{1}{2}\right)}^{M+\frac{1}{2}} e^{-\Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M+\frac{1}{2}\right) \varphi}\right] \Gamma_{3} g\left(1+\Gamma_{4}\right) \gamma
\end{aligned}
\]

где $\gamma$ произвольный постоянный множитель.
Из линейной комбинации (2.56) и (2.57) можно построить два вышеописанные взаимно-ортогональные конъюгированные решения, связанные со спиновым вырождением.

Появление «мнимой единицы» $\Gamma_{1} \Gamma_{2}$ в экспоненциальных выражениях связано с тем, что $\varphi$ обозначает вращение $1-2 . \Gamma_{3}$ показывает, что за ось полярной системы координат берется ось $z$.

Существование «мнимой единицы» матричного оператора в экспоненциале на первый взгляд очень странно, но, разлагая экспоненциальное выражение в ряд и группируя члены, мы легко получаем
\[
e^{\Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M+\frac{1}{2}\right) \varphi}=\cos \left(M+\frac{1}{2}\right) \varphi+\Gamma_{1} \Gamma_{2} \sin \left(M+\frac{1}{2}\right) \varphi .
\]
Это выражение можно получить и с помощью формулы Лагранжа Сильвестера ${ }^{1}$.

Теория Заутера может быть обобщена, если вместо базисных чисел (14.7) воспользоваться системой с $n$ базисными элементами, удовлетворяющими соотношению (2.1). Тогда вместо (2.2) мы будем иметь числа более общего вида
\[
c_{n}=f_{0}+\sum_{i} f_{i} \Gamma_{i}+\sum_{i
eq k} f_{i k} \Gamma_{i} \Gamma_{k}+\ldots+f_{12 \ldots n} \Gamma_{1} \Gamma_{2} \ldots \Gamma_{n},
\]

где $f_{0}, f_{i} \ldots$ обычные комплексные числа. Число основных элементов (произведений $\Gamma_{i}$ ) равно $2^{n}$, так как оно равно сумме всех комбинаций из $n$ элементов по $
u$, где $
u$ меняется от 0 до $n$
\[
\sum_{
u=0}^{n} c_{n}^{
u}=2^{n}
\]

Числа $C_{n}$ образуют группу, так как они удовлетворяют условиям (8.1)-(8.4). От обычных комплексных чисел $C_{n}$ отличаются некоммутативностью умножения и существованием нулевых делителей с различной степенью приведения. Можно легко доказать, что $C_{n}$ изоморфны с кольцом $n$-рядных матриц.

Из § 14 следует, что основным свойством матричного кольца является его ранг $R$. Поэтому числа $C_{n}$ можно характеризовать с помощью изоморфных с ними матриц. Тогда все числа $C_{n}$ разбиваются на $\left(2^{n}+1\right)$ классов с рангами $0,1, \ldots, 2 n$. Но такое представление не однозначно, так как одно и то же число в различных $C_{n}$ имеет различный ранг. Поэтому различные числа из группы $C_{n}$ значительно удобнее характеризовать с помощью степени приведения $s$. Можно легко показать, что
\[
S=\frac{R}{s^{n}} .
\]

и не зависит от того, к какой группе принадлежит рассматриваемое число. Числа с $s=1$ всегда имеют обратные. Числа $s<1$ являются нулевыми делителями. При таком определении мы тоже получаем ( $\left.2^{n}+1\right)$ классов, а именно нулевое число $(s=0)$, числа с обратными ( $s=1$ ) и нулевые делители ( $s=\frac{1}{2^{n}}, \frac{2}{2^{n}}, \frac{2^{n-1}}{2^{n}}$ ).
${ }^{1}$ См.: Лаппо-Данилевский. Теория функций от матриц и системы линейных дифференциальных уравнений, $\S 4$, ОНТИ, Ленинград, 1934.
$C_{0}$ является полем комплексных чисел и содержит только два класса ( $s=0, s=1$ ); $C_{2}$ является полем кватернионов и содержит три класса $\left(s=0, \frac{1}{2}, 1\right) . C_{4}$ поле чисел Дирака с числом классов пять $(s=0,1 / 4,1 / 2,3 / 4,1)$.

Пользуясь методами $\S 9$, можно показать, что числа $C_{2 n}$ неприводимы, тогда как числа $C_{2 n+1}$ приводимы и распадаются на две взаимноортогональные части вида $C_{2 n}$.

Обобщение метода Заутера удобно для случая многих частиц. Например, в уравнении Брейта для двух электронов (см. дополнение 4) мы имеем 8 матричных операторов, из которых 4 действуют на координаты первого, а 4 на координаты второго электрона. Так как эти операторы удовлетворяют соотношению (2.1), то поле чисел уравнения Брейта будет $C_{8}$ и изоморфно с кольцом 16 -рядных матриц. Числа группы $C_{8}$ распадаются на 17 классов. В общем случае $C_{8}$ содержит 64 независимых параметра. Умножая на нулевой делитель со степенью приведения $1 / 4$, мы получим класс 16 параметровых чисел, среди которых находятся собственные функции уравнения Брейта.