Согласно вышеизложенному, собственная группа Лоренца как линейная группа с двумя переменными может быть представлена двузначно. Но эти представления не могут быть дополнены без увеличения числа переменных до представления полной группы Лоренца, которая получается из основной группы прибавлением отражения $s$
\[
x^{\prime}=-x, \quad y^{\prime}=-y, \quad z^{\prime}=-z, \quad t^{\prime}=t .
\]
${ }^{1}$ Т. е. при которых «правая» система координат $x y z$ не переходит в «левую» $x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$. (Прим. ред.).
Так как отражение $s$ коммутирует со всеми чисто пространственными вращениями, то и представляющая матрица $S$ должна была бы коммутировать со всей унитарной группой $\mathfrak{U}_{2}$; так как, однако, $\mathfrak{U}_{2}$ является неприводимой системой преобразований, $S$ должна быть кратна единичной матрице. Поэтому $S$ должна коммутировать со всей группой $\mathfrak{c}_{2}$. Но отражение $s$ переводит преобразование Лоренца (20.6) в другое, с противоположной скоростью движения системы отсчета; следовательно, матрица $S$ не должна коммутировать с матрицами, относящимися к (20.6). Мы приходим, таким образом, к противоречию.

Можно, однако, получить представление полной группы Лоренца при помощи четырех переменных, если к переменным $\stackrel{1}{u}, \stackrel{2}{u}$ добавить еще пунктированные переменные $\stackrel{i}{u}, \dot{\sim}$, рассматривая их, как новые переменные, а не как комплексно-сопряженные с $\stackrel{1}{u}, \stackrel{2}{u}$. Как было указано выше, при чисто пространственном вращении $\stackrel{\dot{i}}{u}, \dot{\sim}$ преобразуются как $\stackrel{2}{u}$ и $-\stackrel{1}{u}$. Положим $\stackrel{\dot{i}}{u}=\underset{\dot{2}}{v}, \stackrel{\dot{z}}{u}=-\underset{\dot{i}}{v}$; тогда новые базисные векторы $\underset{\dot{1}}{v}$ и $\underset{\dot{2}}{v}$ при пространственном вращении преобразуются точно так же, как и $\stackrel{1}{u}$ и $\stackrel{2}{u}$. Преобразования $s$, коммутирующего со всеми вращениями, мы попробуем представить в следующем виде:
\[
s \hat{u}=i \underset{\dot{\lambda}}{i v}, \quad \underset{\dot{\lambda}}{v}=i \hat{u} \quad(\lambda=1,2) .
\]

Билинейная форма (20.4) или

при преобразовании $s(20.7)$ переходит в
\[
c_{2 \dot{2}}^{\stackrel{1}{u}} \underset{\dot{2}}{v}+c_{1 \dot{2}} \underset{\dot{1}}{\stackrel{1}{v}}-c_{2 \mathrm{i}} \underset{\dot{2}}{\stackrel{2}{v}}-c_{1 \mathrm{i}} \underset{\dot{2}}{\stackrel{1}{v}}
\]

Поэтому
\[
c_{1 \dot{1}}^{\prime}=c_{2 \dot{2}} ; \quad c_{2 \dot{2}}^{\prime}=c_{1 \dot{1}} ; \quad c_{2 \dot{1}}^{\prime}=-c_{1 \dot{2}} ; \quad c_{1 \dot{2}}^{\prime}=-c_{2 \dot{1}},
\]

а это и есть, согласно (20.5), требуемое отражение
\[
x^{\prime}=-x, \quad y^{\prime}=-y, \quad z^{\prime}=-z, \quad t^{\prime}=+t .
\]

Каждое несобственное преобразование Лоренца может быть представлено в виде произведения собственного преобразования Лоренца $a$
и отражения $s$. Если теперь с каждым таким произведением as мы свяжем произведение соответствующих матриц, то получим (двузначное) представление полной группы Лоренца для четырех переменных. Представление (20.7) отражения $s$ имеет еще тот недостаток, что его квадрат равен не $E$, а $-E$, что связано с двузначностью представления. Этот недостаток устраняется без потери свойств представлений, если умножить представляющие матрицы всех несобственных преобразований Лоренца на $-i$, т. е., например, вместо (20.7) принять
\[
s \stackrel{\lambda}{u}=\underset{\dot{\lambda}}{v}, \quad s \underset{\dot{\lambda}}{u}=\stackrel{\lambda}{u},
\]

что мы и будем делать в дальнейшем.
Вектор пунктирного пространства $a_{1} \stackrel{\dot{1}}{u}+a_{\dot{2}} \dot{\dot{u}}$, выраженный через новые базисные векторы $\underset{\dot{i}}{v}=-\stackrel{\dot{q}}{u}, \underset{\dot{2}}{v}=+\stackrel{\dot{i}}{u}$, обладает компонентами $a^{\dot{1}}=-a_{\dot{2}}, a^{\dot{2}}=a_{\dot{1}}$. Обозначение соответствует условию (20.3). Компоненты $a_{1}, a_{2}, a^{\dot{1}}, a^{\dot{2}}$ произвольного вектора $a_{1} \stackrel{1}{u}+a_{2}{ }_{2}^{2}+a^{\dot{1}} \underset{\dot{1}}{v}+a^{\dot{2}} \underset{\dot{2}}{v}$ часто обозначают $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$, но это обозначение не так ясно показывает характер их преобразования.

Полезно отметить, что компоненты $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ преобразуются совершенно иначе (более того, неэквивалентно), чем компоненты мирового тензора $(x, y, z, t)$. Помимо двузначности преобразования $a_{
u}$, при заданном преобразовании Лоренца, существенное различие заключается в том, что лоренцовы преобразования мирового тензора образуют неприводимую систему, тогда как соответствующие преобразования величин $a_{
u}$ распадаются на две подсистемы, соответствующие инвариантным подпространствам $(u, \stackrel{1}{u})$ и $\underset{\dot{1}}{v}, \underset{\dot{2}}{v})$.