Как указывалось в $\S 4$, энергетические уровни атома водорода вырождены. $2 l+1$-кратное вырождение относительно магнитных квантовых чисел $m$ связано с тем, что собственные функции атома водорода преобразуются по представлениям группы вращении. Но, кроме того, существует «случайное» вырождение относительно квантовых чисел $l$, которое до последнего времени не было исследовано.
Недавно Фок ${ }^{1}$ чрезвычайно изящно показал, что это вырождение связано с четырехмерной группой вращения.
Как известно, уравнение Шредингера в пространстве импульсов имеет форму
\[
\frac{1}{2 m} p^{2} \psi(\mathfrak{p})-\frac{Z e^{2}}{2 \pi^{2} \hbar} \int \frac{\psi(\mathfrak{p})\left(d p^{\prime}\right)}{\left|\mathfrak{p}-\mathfrak{p}^{\prime}\right|^{2}}=E \psi(\mathfrak{p}),
\]
где
\[
\left(d p^{\prime}\right)=d p_{x}^{\prime} d p_{y}^{\prime} d p_{z}^{\prime} .
\]
Это уравнение можно преобразовать, вводя прямоугольные координаты на поверхности четырехмерного шара в пространстве Евклида
\[
\left.\begin{array}{rl}
\xi & =\frac{2 p_{0} p_{x}}{p_{0}^{2}+p^{2}}=\sin \alpha \sin \vartheta \cos \varphi \\
\eta & =\frac{2 p_{0} p_{y}}{p_{0}^{2}+p^{2}}=\sin \alpha \sin \vartheta \sin \varphi \\
\zeta & =\frac{2 p_{0} p_{z}}{p_{0}^{2}+p^{2}}=\sin \alpha \cos \alpha \\
\chi & =\frac{p_{0}^{2}-p_{z}^{2}}{p_{0}^{2}+p_{z}^{2}} .
\end{array}\right\}
\]
${ }^{1}$ V. Fock, Zur Theorie des Wasserstoffatoms, Z. f. Phys., 98, 145 (1935).
Тогда уравнение (1.1) принимает вид
\[
\psi(\alpha, \vartheta, \varphi)=\frac{\lambda}{2 \pi^{2}} \int \frac{\psi\left(\alpha^{\prime}, \vartheta^{\prime}, \varphi^{\prime}\right) d \Omega^{\prime}}{4 \sin ^{2} \frac{\omega}{2}},
\]
где
\[
\begin{array}{c}
\psi(\alpha, \vartheta, \varphi)=\frac{\pi}{\sqrt{8}} p_{0}^{-5 / 2}\left(p_{0}^{2}+p^{2}\right) \psi \mathfrak{p} \\
p_{0}=\sqrt{-2 m E} \\
\lambda=Z m e^{2} \mid \hbar p_{0} \\
\sin \frac{\omega}{2}=\left(\xi-\xi^{\prime}\right)^{2}+\left(\eta-\eta^{\prime}\right)^{2}+\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right)^{2}+\left(\chi-\chi^{\prime}\right)^{2},
\end{array}
\]
причем функция (1.5) удовлетворяет условию
\[
\frac{1}{2 \pi^{2}} \int|\psi(\alpha, \vartheta, \varphi)|^{2} d \Omega=\int|\psi(\mathfrak{p})|^{2}(d \mathfrak{p})=1
\]
Введем новые переменные
\[
x_{1}=r \xi ; x_{2}=r \eta ; x_{3}=r \zeta ; x_{4}=r \chi
\]
и рассмотрим четырехмерное уравнение Лапласа
\[
\sum_{i=1}^{4} \frac{\partial^{2} u}{\partial x_{i}^{2}}=0
\]
По теореме Грина для любой функции $u$, гармонической внутри шара, имеем
\[
u\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\frac{1}{2 \pi^{2}} \int\left(\frac{\partial u}{\partial r^{\prime}}+u\right)_{r^{\prime}=1} G d \Omega^{\prime},
\]
где $G$ – «функция Грина третьего рода»
\[
G=\frac{1}{2\left(r^{2}-2 r r^{\prime} \cos \omega+r^{\prime} r\right)}+\frac{1}{2\left(1-2 r r^{\prime} \cos \omega+r^{2}{r^{\prime}}^{2}\right)} .
\]
Для гармонической функции
\[
U=r^{n-1} \psi_{n}(\alpha, v, \varphi)
\]
из (1.12) и (1.13) получаем при
\[
r^{n-1} \psi_{n}(\alpha, v, \varphi)=\frac{n}{2 \pi^{2}} \int \frac{\psi_{n}^{2}\left(\alpha^{\prime}, v^{\prime}, \varphi^{\prime}\right) d \Omega}{1-2 r \cos \omega+r^{2}},
\]
при $r=1$ уравнение (1.15) совпадает с (1.4) – уравнением Шредингера в пространстве импульсов при условии, что
\[
\lambda=n,
\]
т. е. $\lambda$ играет роль главного квантового числа. Таким образом, уравнение Шредингера в пространстве импульсов является интегральным уравнением для четырехмерных шаровых функций. Поэтому уравнение Шредингера для атома водорода должно преобразовываться по четырехмерной группе вращений.
Четырехмерные шаровые функции имеют вид
\[
\psi_{n l m}(\alpha, v, \varphi)=\Pi_{l}(n, \alpha) Y_{l}^{(m)}(v, \varphi),
\]
где $Y_{l}^{(m)}(v, \varphi)$ – обычная трехмерная шаровая функция, а $\Pi_{l}(n, \alpha)$ удовлетворяет уравнению
\[
\Pi(n, \alpha)=\frac{\sin ^{l} \alpha}{\sqrt{n^{2}\left(n^{2}-1\right) \ldots\left(n^{2}-l^{2}\right)}} \frac{d^{l+1}(\cos n \alpha)}{d(\cos \alpha)^{l+1}} .
\]
По четырехмерной группе вращении преобразуются собственные функции не только дискретного, но и непрерывного спектра.
В случае дискретного спектра мы можем рассматривать уравнение (1.4) как уравнение для функций на поверхности гипершара в четырехмерном пространстве Евклида. В этом случае пространство импульсов удовлетворяет геометрии Евклида с положительной постоянной кривизной.
Для непрерывного спектра уравнение (1.4) является уравнением для функций на поверхности двуполого гиперболоида в псевдоевклидовом пространстве. В этом случае уравнение Шредингера распадается на два уравнения: для значений импульсов $0<\rho<\sqrt{2 m \varepsilon}$ и $\sqrt{2 m \varepsilon}<\rho<\infty$. Для непрерывного спектра в пространстве импульсов имеет место геометрия Лобатевского с постоянной отрицательной кривизной.
