В этом параграфе под «функциями» мы будем понимать непрерывные комплексные функции координат $q$ системы материальных точек.
Мы будем называть скалярным произведением $(\varphi, \psi)$ двух функций $\varphi$ и $\psi$ интеграл
\[
(\varphi, \psi)=\int \bar{\varphi} \psi d V
\]
взятый по всему пространству $q$. Очевидно, что $(\varphi, \psi)$ комплексно сопряжено с $(\psi, \varphi)$ и что для постоянного $\alpha$
\[
\begin{array}{l}
(\varphi, \alpha \psi)=\alpha(\varphi, \psi), \\
(\alpha \varphi, \psi)=\bar{\alpha}(\varphi, \psi),
\end{array}
\]
далее
\[
\begin{array}{l}
\left(\varphi, \psi_{1}+\psi_{2}\right)=\left(\varphi, \psi_{1}\right)+\left(\varphi, \psi_{2}\right), \\
\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}, \psi\right)=\left(\varphi_{1}, \psi\right)+\left(\varphi_{2}, \psi\right) .
\end{array}
\]
Частным случаем скалярного произведения является квадратичный интеграл или норма
\[
N \psi=(\psi, \psi)=\int \bar{\psi} \psi d V=\int|\psi|^{2} d V .
\]
${ }^{1}$ См.: Курант-Гильберт. Методы математической физики, т. I, глава VI, 1933.
Согласно неравенству Шварца имеем
\[
|(\varphi, \psi)|^{2} \leqslant N \varphi N \psi .
\]
Функция $\psi$ называется нормированной, если ее норма равна 1 . Две функции называются ортогональными, если их скалярное произведение $(\varphi, \psi)=0$.
Введенный в предыдущем параграфе оператор энергии $H$ обладает следующими свойствами:
Он линеен, т. е.
\[
\begin{aligned}
H(\varphi+\psi) & =H(\varphi)+H(\psi), \\
H(\alpha \varphi) & =\alpha H(\varphi),
\end{aligned}
\]
и симметричен или самосопряжен, т. е. для всех функций $\varphi, \psi$, исчезающих на границе области (или достаточно быстро на бесконечности), имеет место равенство
\[
(\varphi, H \psi)=(H \varphi, \psi),
\]
легко доказываемое интегрированием по частям.
В квантовой механике не только энергии, но и всем другим измеряемым величинам сопоставляют линейные операторы; например, для компонент импульса $p_{x}=m \dot{x}$ и т. д. применяются операторы $\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}$ и т. д.; для компонент момента импульса $y p_{z}-z p_{y}$ операторы
\[
\hbar L_{x}=\frac{\hbar}{i}\left(y \frac{\partial}{\partial z}-z \frac{\partial}{\partial y}\right)
\]
и т. д. Вышеуказанные операторы тоже являются самосопряженными. Когда волновая функция $\psi$ является собственной функцией оператора $\Omega$, т. е. когда $\psi$ удовлетворяет граничным условиям и
\[
\Omega \psi=\lambda \psi,
\]
то говорят, что физическая величина $\Omega$ в состоянии $\psi$ имеет точное значение $\lambda$. Для каждого состояния $\psi$ (следовательно, и для такого состояния, которое не является собственной функцией $\Omega$ ) можно определить $\widehat{\Omega}$ – среднее значение физической величины $\Omega$ как
\[
\widehat{\Omega}=(\psi, \Omega \psi)=\int \bar{\psi} \Omega \psi d V
\]
причем $\psi$ считается нормированной. Вследствие самосопряженности оператора $\Omega$ все средние значения и, в частности, все собственные значения вещественны.
Две собственные функции самосопряженного оператора $\Omega$, относящиеся к различным собственным значениям, всегда взаимно ортогональны.
Доказательство.
Из $\Omega \psi_{1}=\lambda_{1} \psi_{1}, \Omega \psi_{2}=\lambda_{2} \psi_{2}$ и $\left(\Omega \psi_{1}, \psi_{2}\right)=\left(\psi_{1}, \Omega \psi_{2}\right)$ следует
\[
\begin{aligned}
\left(\lambda_{1} \psi_{1}, \psi_{2}\right) & =\left(\psi_{1}, \lambda_{2} \psi_{2}\right) \\
\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right)\left(\psi_{1}, \psi_{2}\right) & =0 \\
\left(\psi_{1}, \psi_{2}\right) & =0 .
\end{aligned}
\]
Особенно важны операторы, коммутирующие с оператором энергии. Для них имеет место следующий закон сохранения, содержащий, как частные случаи, законы сохранения энергии, импульса и момента импульса.
Если оператор $\Omega$ коммутирует с оператором энергии $H$, то как собственные, так и средние значения $\Omega$ остаются постоянными во времени, когда состояние $\Psi$ изменяется по (1.1).
Доказательство.
a) Постоянство собственных значений. В момент $t=0$ имеем $\Omega \Psi=\lambda \Psi$. Составляя производную по времени от функции $F=(\Omega-\lambda) \Psi$, имеем
\[
\frac{\hbar}{i} \frac{\partial F}{\partial t}=\frac{\hbar}{i}(\Omega-\lambda) \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-(\Omega-\lambda) H \Psi=-H(\Omega-\lambda) \Psi=-H F .
\]
Это дифференциальное уравнение и начальное значение $F=0$ при $t=0$ целиком определяет функцию $F$. Следовательно, $F=0$ для всех $t$, т. е. функция $\Psi$ остается все время собственной функцией $\Omega$ для собственного значения $\lambda$.
b) Постоянство средних значений
\[
\begin{aligned}
\frac{\hbar}{i} \frac{d}{d t} \widehat{\Omega} & =\frac{\hbar}{i} \frac{d}{d t}(\Psi, \Omega \Psi)=\frac{\hbar}{i}\left(\frac{\partial \Psi}{\partial t}, \Omega \Psi\right)+\frac{\hbar}{i}\left(\Psi, \Omega \frac{\partial \Psi}{\partial t}\right)= \\
& =\left(-\frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi}{\partial t}, \Omega \Psi\right)+\left(\Psi, \Omega \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \Psi}{\partial t}\right)= \\
& =(H \Psi, \Omega \Psi)-(\Psi, \Omega H \Psi)= \\
& =(\Psi, H \Omega \Psi)-(\Psi, H \Omega \Psi)=0 .
\end{aligned}
\]
Другим важным свойством коммутирующих с $H$ операторов $\Omega$ является то, что они всегда преобразуют функцию $\psi$ определенного энергетического уровня $E$ опять в ту же самую функцию; как легко видеть, из $H \psi=E \psi$ следует $H \Omega \psi=E \Omega \psi$.
Для квантово-механической задачи собственных значений энергии
\[
H \psi=E \psi
\]
имеют место следующие законы (с ограничением для конечной части объема), строгое доказательство которых, насколько мне известно, дано еще не во всех случаях.
I. Собственные значения образуют непрерывно возрастающую бесконечную последовательность
\[
E_{1}, E_{2}, E_{3}, \ldots \text {. }
\]
II. Каждому собственному значению соответствует только конечное число линейно независимых собственных функций, из линейных комбинаций которых с комплексными коэффициентами образуются все другие функции. Если их число $k>1$, то говорят о $k$-кратном вырождении. Эти $k$ собственных функций всегда можно выбрать так, чтобы они были взаимно-ортогональны. Если это сделать для всех значений энергии и расположить полученные функции по возрастающим собственным значениям, то мы получим систему из бесконечно большого числа взаимноортогональных функций $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}, \ldots$.
III. При непрерывном изменении входящих в оператор $H$ параметров (например, массы или силы внешнего поля и т. п.) собственные значения непрерывно и дифференцируемо зависят от этих параметров.
IV. Собственные функции $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$ образуют замкнутую систему функций. Это значит, что каждая непрерывная функция $\psi$ может быть с любой точностью апроксимирована «в среднем» соответственно выбранной суммой $\sum_{1}^{n} c_{
u} \varphi_{
u}$, т. е., что для любого $\varepsilon$ можно выбрать $c_{
u}$ и $n$ так, чтобы «средняя квадратичная ошибка»
\[
N\left(\psi-\sum_{1}^{n} c_{
u} \varphi_{
u}\right)
\]
была меньше, чем $\varepsilon$.
Мы считаем замкнутую ортогональную систему $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}, \ldots$ нормированной:
\[
N\left(\varphi_{
u}\right)=\left(\varphi_{
u}, \varphi_{
u}\right)=1 .
\]
Для того чтобы при апроксимировании функции $\psi$ суммой $\sum_{1}^{n} c_{
u} \varphi_{
u}$ при заданном $n$ «средняя квадратичная ошибка» (2.3) была наименьшей, надо в качестве «коэффициентов разложения» выбрать
\[
c_{
u}=\left(\varphi_{
u}, \psi\right) .
\]
Тогда
\[
N\left(\psi-\sum_{1}^{n} c_{
u} \varphi_{
u}\right)=N(\psi)-\sum_{1}^{n} \bar{c}_{
u} c_{
u} .
\]
Отсюда сразу получается «неравенство Бесселя»:
\[
\sum_{1}^{n} \bar{c}_{
u} c_{
u} \leqslant N(\psi)
\]
и как критерий замкнутости системы функций «условие замкнутости»
\[
N(\psi)=\sum_{1}^{\infty} \bar{c}_{
u} c_{
u}
\]
которое должно иметь место для всех непрерывных функций Коэффициенты разложения $c_{
u}(2.4)$ полностью определяют функцию $\psi$; действительно, если $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ имеют одинаковые коэффициенты разложения, то коэффициенты разложения их разности равны нулю, откуда по (2.5) следует
\[
N\left(\psi_{1}-\psi_{2}\right)=0, \text { т. е. } \psi_{1}=\psi_{2} .
\]
В частности, непрерывная функция $\psi$ тождественно равна нулю, если все коэффициенты ее разложения равны нулю, т. е. если она ортогональна ко всем $\varphi_{
u}$.
\[
\text { Ряд } \sum_{1}^{\infty} c_{
u} \varphi_{
u} \text { называется разложением } \psi \text { по замкнутой ортогональ- }
\]
ной системе $\varphi_{
u}$. Он не обязательно должен сходиться, но это имеет место в большинстве случаев, если только функция $\psi$ дифференцируема достаточно число раз. Так как функция $\psi$ однозначно определяется рядом, то можно символически писать (даже и в случае расходимости)
\[
\psi \sim \sum_{1}^{\infty} c_{
u} \varphi_{
u} .
\]
Для образования скалярных произведений и норм можно с любой точностью заменить функцию $\psi$ на $\sum c_{
u} \varphi_{
u}$, так как для любой функции $\varphi$ согласно неравенству Шварца имеем:
\[
\begin{array}{c}
|(\varphi, \psi)|-\left(\varphi, \sum_{1}^{n} c_{
u} \varphi_{
u}\right)|=|\left(\varphi, \psi-\sum c_{
u} \varphi_{
u}\right) \mid \leqslant \\
\leqslant \sqrt{N(\varphi) \cdot N\left(\psi-\sum c_{
u} \varphi_{
u}\right)} \leqslant \sqrt{\varepsilon \cdot N(\varphi)},
\end{array}
\]
отсюда следует
\[
(\varphi, \psi)=\sum_{1}^{\infty} c_{
u}\left(\varphi, \varphi_{
u}\right)=\sum \overline{\left(\varphi_{
u}, \varphi\right)} c_{
u}=\sum \bar{b}_{
u} c_{
u},
\]
где $b_{
u}$ – коэффициенты разложения функции $\varphi$.
С каждым линейным оператором $\Omega$ можно с помощью ортогональной системы $\varphi_{
u}$ связать бесконечную матриц, с помощью которой $\Omega \varphi_{
u}$ разлагается по $\varphi_{\mu}$,
\[
\Omega \varphi_{
u} \sim \sum \omega_{\mu
u} \varphi_{\mu} .
\]
Матричные элементы $\omega_{\mu
u}$ имеют вид
\[
\omega_{\mu
u}=\left(\varphi_{\mu}, \Omega \varphi_{
u}\right) .
\]
Если $\Omega$ самосопряженный оператор, то матрица ( $\omega_{\mu
u}$ ) «эрмитова»
\[
\bar{\omega}_{\mu
u}=\omega_{
u \mu} .
\]
Мы хотим теперь вычислить коэффициенты разложения $\Omega \psi$, если они заданы для
\[
\psi \sim \sum c_{
u} \varphi_{
u}
\]
Положим
\[
\Omega \psi \sim \sum d_{
u} \varphi_{
u}
\]
тогда по вышеприведенному правилу (2.7) при самосопряженности $\Omega$ имеем
\[
d_{\mu}=\left(\varphi_{\mu}, \Omega \psi\right)=\left(\Omega \varphi_{\mu}, \dot{\psi}\right)=\sum \bar{\omega}_{
u \mu} c_{
u}=\sum \omega_{\mu
u} c_{
u} .
\]
Это значит, что коэффициенты разложения $\Omega \psi$ будут теми же, которые можно получить, применив к левой и правой части ряда (2.8) почленно оператор $\Omega$ и разложив правую часть функциям $\varphi$.
Если оператор $\Omega$ коммутирует с оператором энергии $H$, собственными функциями которого являются $\varphi_{\lambda}$, то все матричные элементы $\omega_{\mu
u}$, индексы $\mu,
u$ которых относятся к собственным функциям $\varphi_{\mu}, \varphi_{
u}$ с различными собственными значениями $E_{\mu}
eq E_{
u}$, равны нулю. Функции $\varphi_{\mu}$, относящиеся к одному и тому же значению энергии $E$, преобразуются оператором $\Omega$ линейно друг в друга и могут быть определены (как это будет подробно показано в §7) таким образом, чтобы одновременно являться собственными функциями оператора $\Omega$. Следовательно, коммутирующие операторы $\Omega$ и $H$ обладают общей замкнутой системой собственных функций.
Замкнутость системы собственных функций играет большую роль в практическом решении задач собственных значений. Например, в $\S 5$ мы увидим, что «теория возмущений» в основном базируется на замкнутости. Другим применением замкнутости является метод разделения переменных, во многих случаях сильно упрощающий решение задачи собственных значений.
Этот метод основывается на следующем. Предположим, что переменные $q_{1} \ldots, q_{s}$, входящие в функцию $\psi$, могут быть разделены на две группы $\left(q_{1}, \ldots, q_{\eta}\right)$ и $\left(q_{\eta+1}, \ldots, q_{s}\right)$ таким образом, чтобы оператор $H$ слагался из двух частей $H=H_{1}+H_{2}$, из которых первая часть зависит только от $q_{1}, \ldots, q_{\eta}$, а вторая от $q_{\eta+1}, \ldots, q_{s}$. Тогда собственные функции $H$ могут быть представлены в виде произведения $\varphi\left(q_{1}, \ldots, q_{\eta}\right) \cdot \psi\left(q_{\eta+1}, \ldots, q_{s}\right)$, где $\varphi$ – собственная функция $H_{1}$, а $\psi$ – собственная функция $H_{2}$. То обстоятельство, что таким образом получаются собственные функции $H$, явствует из равенств:
\[
\begin{aligned}
H \varphi \psi & =\left(H_{1}+H_{2}\right) \varphi \psi=\left(H_{1} \varphi\right) \psi+\varphi\left(H_{2} \psi\right)= \\
& =E_{1} \varphi \psi+E_{2} \varphi \psi=\left(E_{1}+E_{2}\right) \varphi \psi .
\end{aligned}
\]
Собственное значение $E$ равно $E_{1}+E_{2}$. Возникает вопрос, можно ли таким образом получить все собственные функции задачи. Мы отвечаем на этот вопрос положительно в том случае, если известно, что хотя бы $\varphi$ (или $\psi$ ) образуют замкнутую ортогональную систему. В самом деле, если $\chi$ произвольная собственная функция оператора $H$, то $\chi$ можно разложить как функцию $q_{1}, \ldots, q_{\eta}$ по собственным функциям $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots$
\[
\chi \sim \sum_{1}^{\infty} \varphi_{
u}\left(q_{1}, \ldots, q_{\eta}\right) c_{
u}\left(q_{\eta+1}, \ldots, q_{n}\right) .
\]
Согласно вышеприведенному правилу, можно вычислить $H_{1} \chi$ и $H_{2} \chi$ путем следующих формальных операций:
\[
H \chi=H_{1} \chi+H_{2} \chi \sim \sum_{1}^{\infty} E_{
u} \varphi_{
u} c_{
u}+\sum_{1}^{\infty} \varphi_{
u} H_{2} c_{
u} .
\]
С другой стороны, поскольку $\chi$ собственная функция $H$, должно быть:
\[
H \chi=E \chi \sim \sum E \varphi_{
u} c_{
u} .
\]
В обоих разложениях $H \chi$ коэффициенты должны совпадать
\[
E_{
u} c_{
u}+H_{2} c_{
u}=E c_{
u},
\]
T. e.
\[
H_{2} c_{
u}=\left(E-E_{
u}\right) c_{
u} .
\]
Поэтому $c_{
u}$ являются собственными функциями $H_{2}$ для собственного значения $E_{
u}^{\prime}=E-E_{
u}$. При возрастании $
u$ безгранично возрастает $E_{
u}$, следовательно, $E_{
u}^{\prime}$ делается в конце концов меньше наименьшего собственного значения $H_{2}$. При этом $c_{
u}$ должно обращаться в нуль. Поэтому в сумме (2.9) имеется только конечное число членов, каждый из которых является собственной функцией $H$, а именно произведением $\varphi_{
u} \psi_{\mu}$. Следовательно, эти произведения действительно являются базисом для всех характеристических функций оператора $H$.
Между прочим, этот метод применим всегда в тех случаях, когда рассматриваемая система слагается из двух частей, энергия взаимодействия которых равна нулю или очень мала. Собственные функции являются в этом случае произведениями, а собственные значения суммами соответствующих величин для отдельных частей
