Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Волновая механика сводит все вопросы о поведении электрона, атома или системы электронов и атомных ядер к изучению дифференциального уравнения Шредингера, которое в нерелятивистской форме имеет вид Волновая функция $\Psi$ представляет собой комплексную функцию от времени и троек прямоугольных координат $q_{0}, q_{1}, \ldots, q_{f}$ (или, подробнее, $\left.x_{0}, y_{0}, z_{0} ; \ldots ; x_{f}, y_{f}, z_{f}\right) f+1$ материальных точек системы (электронов и ядер), а $\mathrm{H}$ — оператор энергии, получающийся из классического выражения для энергии (функции Гамильтона) при замене компонент импульса $p_{x}, p_{y}, p_{z}$ через $\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial z}$ где $\mu_{\lambda}$ — обозначает массу электрона или ядра, $2 \pi \hbar$ — квант действия Планка, где $\bar{\Psi}$ — функция, комплексно сопряженная с $\Psi$. § 1. Дифференцильное уравнение Шредингера где $\psi$ — независящая от времени функция, которая, очевидно, должна удовлетворять дифференциальному уравнению Уравнение (1.3) имеет форму линейной задачи собственных значений, в которую входят два неизвестных: собственная функция $\psi$ и собственное значение $E$. Собственные значения $\mathrm{E}$ оператора энергии представляют собой возможные уровни энергий системы. Согласно спектроскопическим обозначениям, их можно назвать «термами», так как из них можно вычислить по формуле частоту $^{1} Физический смысл имеют только такие собственные функции, которые в пространстве $q$ остаются конечными на бесконечности. Если принять, что потенциальная энергия $U$ на бесконечности равна нулю, то существует два типа собственных функций. Первый с $E>0$, который в области $U=0$ можно представить наложением плоских волн; эти волны простираются в бесконечность и их собственные значения образуют непрерывный спектр, охватывающий всю положительную ось $E$. Второй тип — собственные функции с $E<0$, заметно отличающиеся от нуля только в «потенциальной яме», точнее в области $U<E$, тогда как в области от $U>E$ и до бесконечности они убывают очень быстро (экспоненциально); их собственные значения образуют спектр с дискретными уровнями, которые можно расположить по возрастающим собственным значениям $E_{1}, E_{2}, \ldots$ Лучше всего уяснить себе это на простейшем примере с одной степенью свободы или с шаровой симметрией, где вычисления могут быть доведены до конца. В области $E>0$ собственные значения лежат очень близко друг к другу ${ }^{1}$ и в пределе при $R \rightarrow \infty$ дают непрерывный спектр, тогда как в области $E<0$ они значительно более удалены друг от друга и при $R \rightarrow \infty$ переходят в собственные значения дискретного спектра. Вышеописанное ограничение конфигурационного пространства имеет то преимущество, что собственные функции являются квадратично интегрируемыми и в большинстве случаев образуют замкнутую ортогональную систему (см. §2). Мы будем в дальнейшем всегда пользоваться этим ограничением, когда это удобно для вычисления.
|
1 |
Оглавление
|