Пространство представления $\mathfrak{D}_{j}$ обозначим через $\left(u_{j}, \ldots, u_{-j}\right)$, а пространство представления $\mathfrak{D}_{j^{\prime}}$ – через $\left(v_{j^{\prime}}, \ldots, v_{-j^{\prime}}\right)$. Базисными векторами представления $\mathfrak{D}_{j} \times \mathfrak{D}_{j^{\prime}}$ являются при этом все произведения $u_{m} v_{m^{\prime}}$. Произведение $u_{m} v_{m^{\prime}}$ при вращении $0,0, \gamma$ вокруг оси $z$ умножается на $e^{-i\left(m+m^{\prime}\right) \gamma}$ и поэтому оно относится к собственному значению $M=m+m^{\prime}$ оператора $L_{z}$. Возможные значения $M$ выписаны в следующей таблице
\[
\begin{array}{ll}
(m=j) & M=j+j^{\prime}, j+j^{\prime}-1, \ldots, j-j^{\prime} ; \\
(m=j-1) & M=j+j^{\prime}-1, j+j^{\prime}-2, \ldots, j-j^{\prime}-1, \\
(m=j-2) & M=j+j^{\prime}-2, \ldots, j-j^{\prime}-2, \\
\cdots & \cdots \\
(m=-j) & M=-j+j^{\prime}, \ldots,-j-j^{\prime} .
\end{array}
\]

Мы можем принять $j \geqslant j^{\prime}$. При этом мы видим, что наибольшее значение $\mathrm{M}=j+j^{\prime}$ появляется один раз, соседнее меньшее $M=j+j^{\prime}-1$ два раза и т. д. все время с приращением на единицу до значения $M=j-j^{\prime}$, соответственно появляющегося $\left(2 j^{\prime}+1\right)$ раз. Все меньшие значения $M$ до $M=-j+j^{\prime}$ появляются точно таким же образом, т. е. $\left(2 j^{\prime}+1\right)$ раз. На отрицательное значение $M$ в дальнейшем мы не будем обращать внимания.

По правилу $\S 17$ следует: представление $\mathfrak{D}_{j+j^{\prime}}$, отвечающее наибольшему собственному значению, содержится в рассматриваемом представлении $\mathfrak{D}_{j} \times \mathfrak{D}_{j^{\prime}}$ один раз, его пространство представлений заключает по одному разу все собственные значения $M=j+j^{\prime}, \ldots$, $-\left(j+j^{\prime}\right)$. После их вычеркивания остается наибольшее значение $M=j+j^{\prime}-1$, которое теперь входит один раз. Следовательно, представление $\mathfrak{D}_{j+j^{\prime}-1}$ тоже появляется один раз [собственные значения $\left.j+j^{\prime}-1, j+j^{\prime}-2, \ldots,-\left(j+j^{\prime}-1\right)\right]$. Продолжая, получим, в конце концов, представление $\mathfrak{D}_{j-j^{\prime}}$, охватывающее все оставшиеся элементы. Поэтому мы имеем
\[
\mathfrak{D}_{j} \times \mathfrak{D}_{j^{\prime}}=\mathfrak{D}_{j+j^{\prime}}+\mathfrak{D}_{j+j^{\prime}-1}+\cdots+\mathfrak{D}_{\left|j-j^{\prime}\right|} .
\]

Введение «абсолютных значений» $j-j^{\prime}$ показывает, что формула симметрична относительно $j$ и $j^{\prime}$ и поэтому имеет место также и для $j^{\prime}>j$. Например, имеем
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{D}_{0} \times \mathfrak{D}_{j}=\mathfrak{D}_{j}, \\
\mathfrak{D}_{1} \times \mathfrak{D}_{1}=\mathfrak{D}_{2}+\mathfrak{D}_{1}+\mathfrak{D}_{0}, \\
\mathfrak{D}_{1} \times \mathfrak{D}_{\frac{1}{2}}=\mathfrak{D}_{1 \frac{1}{2}}+\mathfrak{D}_{\frac{1}{2}} .
\end{array}
\]

Для того чтобы осуществить приведение представления $\mathfrak{D}_{j} \times \mathfrak{D}_{j^{\prime}}$ в явном виде, мы должны действительно указать в пространстве произведений $u_{m} v_{m^{\prime}}$ такие векторы $w_{M}$, которые преобразуются по $\mathfrak{D}_{J}$ $\left(J=j+j^{\prime}, j+j^{\prime}-1, \ldots\right)$. В этом случае мы пишем $U_{m}, V_{m^{\prime}}, W_{M}^{J}$ вместо $u_{m}, v_{m^{\prime}}, w_{M}$ и по (17.10) полагаем
\[
U_{m}=\frac{u_{1}^{j+m} u_{2}^{j-m}}{\sqrt{(j+m) !(j-m) !}} ; \quad V_{m^{\prime}}=\frac{v_{1}^{j^{\prime}+m^{\prime}} v_{2}^{j^{\prime}-m^{\prime}}}{\sqrt{\left(j^{\prime}+m^{\prime}\right) !\left(j^{\prime}-m^{\prime}\right) !}} .
\]

Теперь построим для $J=j+j^{\prime}-\lambda(\lambda=0,1,2, \ldots)$ выражение
\[
A=\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)^{\lambda}\left(u_{1} x_{1}+u_{2} x_{2}\right)^{2 j-\lambda}\left(v_{1} x_{1}+v_{2} x_{2}\right)^{2 j^{\prime}-\lambda}
\]

и докажем, что коэффициенты
\[
X_{M}^{J}=\frac{x_{1}^{J+M} x_{2}^{J-M}}{\sqrt{(J+M) !(J-M) !}}
\]

в $A$ для $M=J, J-1, \ldots,-J$ представляют собою искомые величины $W_{J}^{M}$.
Доказательство.
Если $x_{1}, x_{2}$ преобразуются контрагредиентно к $u_{1}, u_{2}$ и $v_{1}, v_{2}$, то выражение $A$ инвариантно и поэтому коэффициенты $W_{J}^{M}$ преобразуются контрагредиентно к $X_{M}^{J}$. Но точно так же при преобразовании $U_{M}^{J}$, как $u_{1}^{J+M} u_{2}^{J-M}: \sqrt{(J+M) !(J-M) !}$ выражение $\left(u_{1} x_{1}+u_{2} x_{2}\right)^{2 J}=$ $=(2 J) ! \sum U_{M}^{J} X_{M}^{J}$ остается инвариантным, следовательно, $U_{M}^{J}$ также преобразуется контрагредиентно к $X_{M}^{J}$. Отсюда следует, что $W_{M}^{J}$, как и $U_{M}^{J}$, преобразуются по $\mathfrak{D}_{J}$, что и требовалось доказать.
Вычисления $A$ проводятся таким образом:
\[
\begin{array}{c}
\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right)^{\lambda}=\sum_{
u=0}^{\lambda}(-1)^{
u}\left(\begin{array}{l}
\lambda \\

u
\end{array}\right)\left(u_{1} v_{2}\right)^{\lambda-
u}\left(u_{2} v_{1}\right)^{
u} \\
A=\sum_{m} \sum_{m^{\prime}} \sqrt{(j+m) !(j-m) !\left(j^{\prime}+m^{\prime}\right) !\left(j^{\prime}-m^{\prime}\right) !(J+M) !(J-M) !} \\
\sum_{
u=0}^{\lambda}(-1)^{
u}\left(\begin{array}{l}
\lambda \\

u
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
2 j-\lambda \\
j-m-
u
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
2 j^{\prime}-\lambda \\
j^{\prime}+m^{\prime}-
u
\end{array}\right) U_{m} V_{m^{\prime}} X_{m+m^{\prime}}^{J}= \\
=\lambda !(2 j-\lambda) !\left(2 j^{\prime}-\lambda\right) ! \sum_{m} \sum_{m^{\prime}} c_{m m^{\prime}}^{J} U_{m} V_{m^{\prime}} X_{m+m^{\prime}}^{J}, \\
c_{m m^{\prime}}^{J}=\sum_{
u}(-1)^{
u} \frac{\sqrt{(j+m) !(j-m) !\left(j^{\prime}+m^{\prime}\right) !\left(j^{\prime}-m^{\prime}\right) !(J+M) !(J-M) !}}{(j-m-
u) !(j+m-\lambda+
u) !\left(j^{\prime}+m^{\prime}-
u\right) !\left(j^{\prime}-m^{\prime}-\lambda+
u\right) !
u !(\lambda-
u) !} \\
{\left[M=m+m^{\prime}\right] \cdot .^{1}}
\end{array}
\]

Поэтому
\[
W_{M}^{J}=\rho_{J} \sum_{m+m^{\prime}=M} c_{m m^{\prime}}^{J} U_{m} V_{m^{\prime}}
\]

где $\rho_{J}$ – численный множитель, который, впрочем, может быть выбран произвольно, например, так, чтобы величины $W_{M}^{J}$ образовывали нормированную ортогональную систему в унитарном векторном пространстве $U_{M} V_{m^{\prime}}{ }^{2}$ Если мы теперь положим $b_{m m^{\prime}}^{J}=\rho_{J} c_{m m^{\prime}}^{J}$, то $b_{m m^{\prime}}^{J}$ с $m+m^{\prime}=M$ для каждого фиксированного значения $M$ образует унитарную матрицу $B_{M}$, причем $J$ играют роль номеров столбцов, а $m$ или $m^{\prime}$ – номеров строк. Транспонированная матрица $B_{M}^{-1}$ по формуле (7.5) одновременно является адъюнгированной матрицей $\widetilde{B}_{M}$, т. е.
1 Дробь справа обращается в нуль, если одно из чисел $(j+m-
u)$ и т. д. в знаменателе отрицательно. Кроме того, $0 !=1$.
${ }^{2}$ Так как два вектора $W_{M}$, относящиеся к различным значениям $J$, ортогональны друг к другу, то отсюда следует, что каждые два неэквивалентных неприводимых подпространства пространства унитарных представлений $\mathfrak{D}_{j} \times \mathfrak{D}_{j^{\prime}}$ строго ортогональны друг к другу, и перпендикулярная проекция одного пространства в другое образует операторный гомоморфизм, имеющий только нулевое изображение. Ортогональность двух $W_{M}$ с равным $J$, но различными М, получается таким же образом с помощью представлений подгруппы вращений вокруг оси $Z$.
уравнения (18.2) могут быть решены относительно $U_{m} V_{m^{\prime}}$ следующим образом:
\[
U_{m} V_{m^{\prime}}=\sum_{J} \rho_{J} c_{m m^{\prime}}^{J} W_{m+m^{\prime}}^{J} .
\]

Значение чисел $\rho_{J}$ нас не интересует. Уравнение (18.4) известно под названием ряда Клебша-Гордона. Числа $c_{m m^{\prime}}^{J}$ определяются целиком из (18.2). В частном случае $J=j+j^{\prime}(\lambda=0)$ уравнение (18.2) упрощается, сводясь к
\[
c_{m m^{\prime}}^{J}=\sqrt{\frac{(J+M) !(J-M) !}{(j+m) !(j-m) !\left(j^{\prime}+m^{\prime}\right) !\left(j^{\prime}-m^{\prime}\right) !}}
\]

и точно так же в частном случае
\[
\begin{array}{c}
J=j-j^{\prime}\left(\lambda=2 j^{\prime} ; j \geqslant j^{\prime}\right) \\
c_{m m^{\prime}}^{J}=(-1)^{j^{\prime}+m^{\prime}} \sqrt{\frac{(j+m) !(j-m) !}{\left(j^{\prime}+m^{\prime}\right) !\left(j^{\prime}-m^{\prime}\right) !(J+M) !(J-M) !}} .
\end{array}
\]

В нижеприведенной таблице собраны значения $c_{m m^{\prime}}^{J}$ для простейших случаев.