Во «втором методе», употреблявшемся в $\mathrm{\S }28$ и $\mathrm{\S }29$, остались нерешенными два вопроса: к какому представлению группы перестановок относятся собственные функции, получающиеся в том случае, если совершенно не учитывать спин, и на какие спиновые функции мы должны их помножить, чтобы получить действительные (антисимметричные) волновые функции?

Для того чтобы ответить на эти вопросы, мы должны возвратиться к «первому методу», т. е. разделить пространственные и спиновые функции, и для обеих в отдельности осуществить приведение представления групп вращения и перестановок. Из §25 мы знаем, что принимается во внимание только два представления $\mathrm{\Delta }$ и ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$, между которыми имеет место соотношение (28.2). Поэтому достаточно определить ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$, и мы сможем ограничиться чисто спиновыми функциями.

Все спиновые функции $f$ электронов выражаются линейно через $2^f$ произведения
$$u_{\lambda }{v}_{\mu }\dots t_u(\lambda \mu ,\dots =1,2).$$

Следовательно, они образуют $2^f$-мерное векторное пространство $\mathfrak{R}$, линейно преобразующееся в самого себя, во-первых, при перестановках электронов, и во-вторых, при вращении пространства или, что то же самое, при одновременном унигарном преобразовании пар переменных $u_{\lambda },v_{\mu },\dots ,t_u$. Следовательно, мы имеем в $\mathfrak{R}$ представление $\pi$ группы перестановок ${\mathfrak{S}}_f$ и представление $\delta$ унитарной группы ${\mathfrak{u}}_2$. Согласно $\mathrm{\S }13$, приведение этих обоих представлений происходит одновременно, так как операторы обеих групп коммутируют между собой.
${}^1$ Slater J. C., Phys. Rev, Bd 34, S. 1293 (1929).
См. также: Я. И. Френкель. Волновая механика. Т. II.
Больше того, можно утверждать, что
все матрицы $T$, коммутирующие с матрицами системы $\pi$, являются линейными комбинациями матриц системы $\delta$.
Доказательство.
Преобразование $T$ дается выражением
$$T{u}_{\lambda }{v}_{\mu }\dots t_u=\sum c_{{\lambda }^{\prime }\lambda ,{\mu }^{\prime }\mu ,\dots ,u^{\prime }u}{u}_{{\lambda }^{\prime }}{v}_{{\mu }^{\prime }}\dots t_{u^{\prime }}.$$

Если $T$ коммутирует с преобразованием, получающимся при перестановке букв $u,v,\dots ,w$, то коэффициенты $c_{{\lambda }^{\prime }\lambda ,{\mu }^{\prime }\mu ,\dots ,u^{\prime }u}$ должны переходить в самих себя при перестановках пар индексов. Будем писать один индекс $l$ вместо пары индексов $\lambda ,{\lambda }^{\prime }$, точно так же $m$ вместо $\mu ,{\mu }^{\prime }$ и т. д. Тогда $c_{l,m,\dots ,n}$ должны быть симметричны относительно всех индексов. Система $\delta$ состоит из всех преобразований, получающихся из
$$u_{\lambda }^{\prime }=\sum c_{{\lambda }^{\prime }\lambda }{u}_{{\lambda }^{\prime }};v_{\mu }^{\prime }=\sum c_{{\mu }^{\prime }\mu }{u}_{{\mu }^{\prime }};\dots$$
c
$$\left(\begin{array}{ll}{c}_{11}& c_{12}\\ c_{21}& c_{22}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rl}\alpha & \beta \\ -\overline{\beta }& \overline{\alpha }\end{array}\right)\text{ и }\alpha \overline{\alpha }+\beta \overline{\beta }=1.$$

Это дает
$$u_{\lambda }^{\prime }{u}_{\mu }^{\prime }\dots w_u^{\prime }=\sum c_{{\lambda }^{\prime }\lambda }{c}_{{\mu }^{\prime }\mu }\dots c_{u^{\prime }u}{u}_{{\lambda }^{\prime }}{v}_{{\mu }^{\prime }}\dots w_{u^{\prime }},$$
т. е. преобразование (30.2) с коэффициентами
$$c_{{\lambda }^{\prime }\lambda ,{\mu }^{\prime }\mu ,\dots ,u^{\prime }u}=c_{{\lambda }^{\prime }\lambda }{c}_{{\mu }^{\prime }\mu }\dots c_{u^{\prime }u},$$

или короче
$$c_{lm\dots n}=c_l{c}_m\dots c_n.$$

Надо доказать, что все симметричные $c_{lm...n}$ являются линейными комбинациями выражений $c_{lm\dots n}$ из (30.3) или что все линейные уравнения
$$\sum {\gamma }_{lm\dots n}{c}_{lm\dots n}=0,$$

имеющие место для частного случая $c_{lm\dots n}(30.3)$, имеют место и для всех симметричных $c_{lm\dots n}$.
Положим
$$\begin{array}{ll}{c}_{11}=\alpha =a_1+i{a}_2,& c_{12}=\beta =a_3+i{a}_4,\\ c_{21}=\overline{\alpha }=a_1-i{a}_2,& c_{22}=-\overline{\beta }=-a_3+i{a}_4.\end{array}\}$$

Если имеет место уравнение
$$\sum {\gamma }_{lm\dots n}{c}_l{c}_m\dots c_n=0,$$

то, подставляя в него (30.5), мы получим уравнение, справедливое для всех вещественных $a_1,a_2,a_3,a_4$ с $a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2=1$. Вследствие своей однородности это уравнение имеет по-прежнему место и тогда, когда все $a_k$ умножаются на один общий множитель $\lambda$. Следовательно, уравнение является тождеством относительно $a_1,a_2,a_3,a_4$, и поэтому все его коэффициенты исчезают. Наоборот, из этих коэффициентов можно вычислить коэффициенты (30.6) так, чтобы из (30.5) однозначно определить $a_k$. Следовательно, коэффициенты в (30.6) тоже исчезают. Таким образом, имеет место уравнение
$$\sum _{P}P{\gamma }_{lm\dots n}=0,$$

где $P$ пробегает все перестановки индексов. Но отсюда следует равенство (30.4) для любой $c_{lm...n}$, симметричной относительно индексов, что и требовалось доказать.

Система матриц, коммутирующих с $\pi$, которую мы обозначим через $\sigma$, тоже состоит из линейных комбинаций матриц $\delta$. Если подпространство векторного пространства инвариантно относительно $\sigma$, то оно инвариантно относительно $\delta$, и наоборот. Если затем оно неприводимо относительно $\sigma$, то оно неприводимо и относительно $\delta$. Если, наконец, два подпространства эквивалентны относительно $\sigma$, то они также эквивалентны относительно $\delta$, и наоборот.

Согласно $\S 13$, система $\delta$ находится очень легко. Если привести представление $\pi$ и расположить базисные векторы в прямоугольники
$$\begin{array}{lllllll}{V}_{11}& \cdots & V_{1n}& V_{11}^{\prime }& \cdots & V_{1n^{\prime }}^{\prime }& \\ ⋮& & ⋮& ;& ⋮& & ⋮\\ V_{k1}& \cdots & V_{kn}& & V_{k^{\prime }1}^{\prime }& \cdots & V_{k^{\prime }{n}^{\prime }}^{\prime }\end{array};;$$

все строки которых одинаково и неприводимо преобразуются группой $\pi$, тогда столбцы этого прямоугольника при преобразовании $\delta$ преобразуются совершенно произвольно, но одинаковым образом. Отсюда следует также, что столбцы этого прямоугольника определяют эквивалентные представлению $\delta$ неприводимые пространства представлений, причем столбцы различных прямоугольников претерпевают неэквивалентные преобразования. Каждому неприводимому представлению группы перестановок, содержащемуся в $\pi$, с помощью прямоугольника (30.7) приводится в соответствие определенное неприводимое представление группы ${\mathfrak{U}}_2$ или группы вращений $\mathfrak{b}$. Так как различные неприводимые представления можно различать по их спиновому числу $S$, то числа могут одновременно служить для того, чтобы различать неприводимые составные части $\pi$. Каждому $S$ (при заданном числе электронов $f$ ) соответствует совершенно определенное, содержащееся в $\pi$, неприводимое представление ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ перестановочной группы, и различным $S$ соответствуют различные представления. В дальнейшем мы будем обозначать это представление ${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ через ${\mathrm{\Delta }}_S^{\prime }$. Для $S$ принимаются во внимание только значения $S=\frac{f}{2}-g(g-$ целое число $⩽\frac{f}{2})$.

Для того чтобы выписать прямоугольники (30.7) более подробно, мы определим сначала для каждого $S=\frac{f}{2}-g$ такие величины в векторном пространстве $\mathfrak{R}$, которые преобразуются, согласно группе ${\mathfrak{U}}_2$, по представлению ${\mathfrak{D}}_S$. Мы можем поступить так же, как в § 18. Вводим контраградиентную пару переменных $x_1,x_2$ и образуем из $g$ «скобочных множителей» вида $u_1{v}_2-u_2{v}_1$ и $f-2g$ «линейных множителей» вида $u_1{x}_1+u_2{x}_2$ инвариантное выражение
$$B=(u_1{v}_2-u_2{v}_1)\dots (p_1{q}_2-p_2{q}_1)(r_1{x}_1+r_2{x}_2)\dots (t_1{x}_1+t_2{x}_2).$$

Тогда коэффициенты $W_M^S$ монома
$$X_M^S=\frac{x_1^{S+M}{x}_2^{S-M}}{\sqrt{(S+M)!(S-M)!}}$$

преобразуются в $\mathfrak{R}$ по представлению ${\mathfrak{D}}_S$. Другие столбцы мы находим перестановкой букв от $u$ до $t$. Из всех выражений, полученных перестановкой, мы сохраняем только систему линейно-независимых выражений. Каждая строка полученного таким образом прямоугольника при перестановке преобразуется согласно представлению ${\mathrm{\Delta }}_S^{\prime }$.
ПРимер. Для $f=3$ в $2^3$-мерном пространстве произведений $u_{\lambda }{v}_{\mu }{w}_u$ мы имеем следующие прямоугольники:
$$S=\frac{3}{2}:\begin{array}{c}\sqrt{3}{u}_1{v}_1{w}_1\\ u_1{v}_1{w}_2-u_1{v}_2{w}_1+u_2{v}_1{w}_1\\ u_1{v}_2{w}_2-u_2{v}_1{w}_2+u_2{v}_2{w}_1\\ \sqrt{3}{u}_2{v}_2{w}_2\end{array},$$

—————————————————————-
0007ru_fiz_kvant_book15_no_photo_page-0174.jpg.txt

§ 30. Чисто спиновые функции и их преобразования
173
$$S=\frac{1}{2}:\begin{array}{ll}(u_1{v}_2-u_2{v}_1)w_1& (u_1{w}_2-u_2{w}_1)v_1\\ (u_1{v}_2-u_2{v}_1)w_2& (u_1{w}_2-u_2{w}_1)v_1\end{array}.$$

Отметим, что спиновые функции $W_M^S$, являющиеся коэффициентами (30.8), характеризуются тем, что они антисимметричны относительно первых $g$ электронных пар и симметричны относительно остальных $f-2g$ электронов. В векторной схеме представляют себе, что спины в $g$ парах всегда направлены противоположно, а спины остальных $f-2g$ электронов направлены в одну сторону. Соответственно этому результирующий спин равен
$$S=\frac{f-2g}{2}=\frac{1}{2}f-g.$$

Из нашего построения представления ${\mathrm{\Delta }}_S^{\prime }$ следует, что все матричные элементы этого представления являются рациональными числами. Отсюда следует, что представление ${\mathrm{\Delta }}_S^{\prime }$ эквивалентно своему комплексно-сопряженному или контраградиентному представлению ${\mathrm{\Delta }}_S^{\prime }$ (см. §12). Вследствие этого соотношение (28.2) сводится к
$${\mathrm{\Delta }}_S={\mathrm{\Delta }}_S^{\prime }\times \mathfrak{A}.$$

На основе предыдущего материала вычисление характера представления ${\mathrm{\Delta }}_S^{\prime }{\mathfrak{S}}_f$ не представляет трудностей. Достаточно двояко определить след преобразования $AP$ в пространстве $\mathfrak{R}$, где $A$ особое унитарное преобразование вида
$$u_1=\zeta u_1;u_2={\zeta }^{-1}{u}_2$$

и $P$ перестановка: один раз, положив в основу «прямоугольный базис» (30.7) и второй раз, положив в основу базис $u_{\lambda }{v}_{\mu }\dots w_u$. Результат вычисления следующий. Когда перестановка $P$ букв $uv\dots$ распадается на циклические перестановки ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k$ букв и когда ${\chi }_S^{\prime }(P)$ представляет собой характер $P$ в представлении ${\mathrm{\Delta }}_S^{\prime }$, то имеют место формулы
$$\begin{array}{c}\sum {\chi }_S^{\prime }(P)({\zeta }^{2S}+{\zeta }^{2S-2}+\cdots +{\zeta }^{-2S})=\\ =({\zeta }^{{\alpha }_1}+{\zeta }^{-{\alpha }_1})({\zeta }^{{\alpha }_2}+{\zeta }^{-{\alpha }_2})\dots ({\zeta }^{{\alpha }_k}+{\zeta }^{-{\alpha }_k}),\end{array}$$

где суммирование производится по всем $S=\frac{1}{2}f-g$. Умножив обе части на ${\zeta }^f(1-{\zeta }^2)$ и положив ${\zeta }^2=z$, мы видим, что ${\chi }_S^{\prime }(P)$ является коэффициентом при $z^g$ в полиноме
$$(1+z^{{\alpha }_1})(1+z^{{\alpha }_2})\cdots (1+z^{{\alpha }_k})(1-z).$$
Для того чтобы получить отсюда характер представления ${\mathrm{\Delta }}_S$, достаточно помножить характеры нечетных перестановок на -1 .

Упомянем еще, что применявшийся в этом параграфе метод исследования преобразования произведения $u_{\lambda }{v}_{\mu }\dots t_u$ при перестановках и линейных преобразованиях ряда переменных $uv.$. применим (с некоторыми модификациями) и в том случае, когда речь идет о ряде из $n$ переменных (вместо двух) $(\lambda ,\mu ,\dots ,u=1,2,\dots ,n)$. Если мы выберем $n⩾f$, то в представление $\pi$ перестановочной группы ${\mathfrak{S}}_f$ входит по крайней мере один раз в качестве составной части каждое неприводимое представление ${\mathfrak{S}}_f$. Этим пользуются для представления характера симметричной группы. Дальнейшее развитие этих соображений читатель найдет в оригинальных работах Шура и Вейля ${}^1$.
${}^1$ Schur I., Dissertation Berlin, 1901; Weyl H., Math. Z., Bd. 23, 271 (1925). Schur I., Sitzungsber., Berlin 1927. S. 58. WeylH., Gruppentheorle und Quantenmechanik, 2. Aufl., Kap. V.