Во «втором методе», употреблявшемся в $\S 28$ и $\S 29$, остались нерешенными два вопроса: к какому представлению группы перестановок относятся собственные функции, получающиеся в том случае, если совершенно не учитывать спин, и на какие спиновые функции мы должны их помножить, чтобы получить действительные (антисимметричные) волновые функции?

Для того чтобы ответить на эти вопросы, мы должны возвратиться к «первому методу», т. е. разделить пространственные и спиновые функции, и для обеих в отдельности осуществить приведение представления групп вращения и перестановок. Из §25 мы знаем, что принимается во внимание только два представления $\Delta$ и $\Delta^{\prime}$, между которыми имеет место соотношение (28.2). Поэтому достаточно определить $\Delta^{\prime}$, и мы сможем ограничиться чисто спиновыми функциями.

Все спиновые функции $f$ электронов выражаются линейно через $2^{f}$ произведения
\[
u_{\lambda} v_{\mu} \ldots t_{
u} \quad(\lambda \mu, \ldots=1,2) .
\]

Следовательно, они образуют $2^{f}$-мерное векторное пространство $\mathfrak{R}$, линейно преобразующееся в самого себя, во-первых, при перестановках электронов, и во-вторых, при вращении пространства или, что то же самое, при одновременном унигарном преобразовании пар переменных $u_{\lambda}, v_{\mu}, \ldots, t_{
u}$. Следовательно, мы имеем в $\mathfrak{R}$ представление $\pi$ группы перестановок $\mathfrak{S}_{f}$ и представление $\delta$ унитарной группы $\mathfrak{u}_{2}$. Согласно $\S 13$, приведение этих обоих представлений происходит одновременно, так как операторы обеих групп коммутируют между собой.
${ }^{1}$ Slater J. C., Phys. Rev, Bd 34, S. 1293 (1929).
См. также: Я. И. Френкель. Волновая механика. Т. II.
Больше того, можно утверждать, что
все матрицы $T$, коммутирующие с матрицами системы $\pi$, являются линейными комбинациями матриц системы $\delta$.
Доказательство.
Преобразование $T$ дается выражением
\[
T u_{\lambda} v_{\mu} \ldots t_{
u}=\sum c_{\lambda^{\prime} \lambda, \mu^{\prime} \mu, \ldots,
u^{\prime}
u} u_{\lambda^{\prime}} v_{\mu^{\prime}} \ldots t_{
u^{\prime}} .
\]

Если $T$ коммутирует с преобразованием, получающимся при перестановке букв $u, v, \ldots, w$, то коэффициенты $c_{\lambda^{\prime} \lambda, \mu^{\prime} \mu, \ldots,
u^{\prime}
u}$ должны переходить в самих себя при перестановках пар индексов. Будем писать один индекс $l$ вместо пары индексов $\lambda, \lambda^{\prime}$, точно так же $m$ вместо $\mu, \mu^{\prime}$ и т. д. Тогда $c_{l, m, \ldots, n}$ должны быть симметричны относительно всех индексов. Система $\delta$ состоит из всех преобразований, получающихся из
\[
u_{\lambda}^{\prime}=\sum c_{\lambda^{\prime} \lambda} u_{\lambda^{\prime}} ; v_{\mu}^{\prime}=\sum c_{\mu^{\prime} \mu} u_{\mu^{\prime}} ; \ldots
\]
c
\[
\left(\begin{array}{ll}
c_{11} & c_{12} \\
c_{21} & c_{22}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rl}
\alpha & \beta \\
-\bar{\beta} & \bar{\alpha}
\end{array}\right) \text { и } \alpha \bar{\alpha}+\beta \bar{\beta}=1 .
\]

Это дает
\[
u_{\lambda}^{\prime} u_{\mu}^{\prime} \ldots w_{
u}^{\prime}=\sum c_{\lambda^{\prime} \lambda} c_{\mu^{\prime} \mu} \ldots c_{
u^{\prime}
u} u_{\lambda^{\prime}} v_{\mu^{\prime}} \ldots w_{
u^{\prime}},
\]
т. е. преобразование (30.2) с коэффициентами
\[
c_{\lambda^{\prime} \lambda, \mu^{\prime} \mu, \ldots,
u^{\prime}
u}=c_{\lambda^{\prime} \lambda} c_{\mu^{\prime} \mu} \ldots c_{
u^{\prime}
u},
\]

или короче
\[
c_{l m \ldots n}=c_{l} c_{m} \ldots c_{n} .
\]

Надо доказать, что все симметричные $c_{l m . . . n}$ являются линейными комбинациями выражений $c_{l m \ldots n}$ из (30.3) или что все линейные уравнения
\[
\sum \gamma_{l m \ldots n} c_{l m \ldots n}=0,
\]

имеющие место для частного случая $c_{l m \ldots n}(30.3)$, имеют место и для всех симметричных $c_{l m \ldots n}$.
Положим
\[
\left.\begin{array}{ll}
c_{11}=\alpha=a_{1}+i a_{2}, & c_{12}=\beta=a_{3}+i a_{4}, \\
c_{21}=\bar{\alpha}=a_{1}-i a_{2}, & c_{22}=-\bar{\beta}=-a_{3}+i a_{4} .
\end{array}\right\}
\]

Если имеет место уравнение
\[
\sum \gamma_{l m \ldots n} c_{l} c_{m} \ldots c_{n}=0,
\]

то, подставляя в него (30.5), мы получим уравнение, справедливое для всех вещественных $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ с $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}=1$. Вследствие своей однородности это уравнение имеет по-прежнему место и тогда, когда все $a_{k}$ умножаются на один общий множитель $\lambda$. Следовательно, уравнение является тождеством относительно $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$, и поэтому все его коэффициенты исчезают. Наоборот, из этих коэффициентов можно вычислить коэффициенты (30.6) так, чтобы из (30.5) однозначно определить $a_{k}$. Следовательно, коэффициенты в (30.6) тоже исчезают. Таким образом, имеет место уравнение
\[
\sum_{P} P \gamma_{l m \ldots n}=0,
\]

где $P$ пробегает все перестановки индексов. Но отсюда следует равенство (30.4) для любой $c_{l m . . . n}$, симметричной относительно индексов, что и требовалось доказать.

Система матриц, коммутирующих с $\pi$, которую мы обозначим через $\sigma$, тоже состоит из линейных комбинаций матриц $\delta$. Если подпространство векторного пространства инвариантно относительно $\sigma$, то оно инвариантно относительно $\delta$, и наоборот. Если затем оно неприводимо относительно $\sigma$, то оно неприводимо и относительно $\delta$. Если, наконец, два подпространства эквивалентны относительно $\sigma$, то они также эквивалентны относительно $\delta$, и наоборот.

Согласно $§ 13$, система $\delta$ находится очень легко. Если привести представление $\pi$ и расположить базисные векторы в прямоугольники
\[
\begin{array}{lllllll}
V_{11} & \cdots & V_{1 n} & V_{11}^{\prime} & \cdots & V_{1 n^{\prime}}^{\prime} & \\
\vdots & & \vdots & ; & \vdots & & \vdots \\
V_{k 1} & \cdots & V_{k n} & & V_{k^{\prime} 1}^{\prime} & \cdots & V_{k^{\prime} n^{\prime}}^{\prime}
\end{array} ; ;
\]

все строки которых одинаково и неприводимо преобразуются группой $\pi$, тогда столбцы этого прямоугольника при преобразовании $\delta$ преобразуются совершенно произвольно, но одинаковым образом. Отсюда следует также, что столбцы этого прямоугольника определяют эквивалентные представлению $\delta$ неприводимые пространства представлений, причем столбцы различных прямоугольников претерпевают неэквивалентные преобразования. Каждому неприводимому представлению группы перестановок, содержащемуся в $\pi$, с помощью прямоугольника (30.7) приводится в соответствие определенное неприводимое представление группы $\mathfrak{U}_{2}$ или группы вращений $\mathfrak{b}$. Так как различные неприводимые представления можно различать по их спиновому числу $S$, то числа могут одновременно служить для того, чтобы различать неприводимые составные части $\pi$. Каждому $S$ (при заданном числе электронов $f$ ) соответствует совершенно определенное, содержащееся в $\pi$, неприводимое представление $\Delta^{\prime}$ перестановочной группы, и различным $S$ соответствуют различные представления. В дальнейшем мы будем обозначать это представление $\Delta^{\prime}$ через $\Delta_{S}^{\prime}$. Для $S$ принимаются во внимание только значения $S=\frac{f}{2}-g\left(g-\right.$ целое число $\left.\leqslant \frac{f}{2}\right)$.

Для того чтобы выписать прямоугольники (30.7) более подробно, мы определим сначала для каждого $S=\frac{f}{2}-g$ такие величины в векторном пространстве $\mathfrak{R}$, которые преобразуются, согласно группе $\mathfrak{U}_{2}$, по представлению $\mathfrak{D}_{S}$. Мы можем поступить так же, как в § 18. Вводим контраградиентную пару переменных $x_{1}, x_{2}$ и образуем из $g$ «скобочных множителей» вида $u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}$ и $f-2 g$ «линейных множителей» вида $u_{1} x_{1}+u_{2} x_{2}$ инвариантное выражение
\[
B=\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right) \ldots\left(p_{1} q_{2}-p_{2} q_{1}\right)\left(r_{1} x_{1}+r_{2} x_{2}\right) \ldots\left(t_{1} x_{1}+t_{2} x_{2}\right) .
\]

Тогда коэффициенты $W_{M}^{S}$ монома
\[
X_{M}^{S}=\frac{x_{1}^{S+M} x_{2}^{S-M}}{\sqrt{(S+M) !(S-M) !}}
\]

преобразуются в $\mathfrak{R}$ по представлению $\mathfrak{D}_{S}$. Другие столбцы мы находим перестановкой букв от $u$ до $t$. Из всех выражений, полученных перестановкой, мы сохраняем только систему линейно-независимых выражений. Каждая строка полученного таким образом прямоугольника при перестановке преобразуется согласно представлению $\Delta_{S}^{\prime}$.
ПРимер. Для $f=3$ в $2^{3}$-мерном пространстве произведений $u_{\lambda} v_{\mu} w_{
u}$ мы имеем следующие прямоугольники:
\[
S=\frac{3}{2}: \begin{array}{c}
\sqrt{3} u_{1} v_{1} w_{1} \\
u_{1} v_{1} w_{2}-u_{1} v_{2} w_{1}+u_{2} v_{1} w_{1} \\
u_{1} v_{2} w_{2}-u_{2} v_{1} w_{2}+u_{2} v_{2} w_{1} \\
\sqrt{3} u_{2} v_{2} w_{2}
\end{array},
\]

—————————————————————-
0007ru_fiz_kvant_book15_no_photo_page-0174.jpg.txt

§ 30. Чисто спиновые функции и их преобразования
173
\[
S=\frac{1}{2}: \begin{array}{ll}
\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right) w_{1} & \left(u_{1} w_{2}-u_{2} w_{1}\right) v_{1} \\
\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right) w_{2} & \left(u_{1} w_{2}-u_{2} w_{1}\right) v_{1}
\end{array} .
\]

Отметим, что спиновые функции $W_{M}^{S}$, являющиеся коэффициентами (30.8), характеризуются тем, что они антисимметричны относительно первых $g$ электронных пар и симметричны относительно остальных $f-2 g$ электронов. В векторной схеме представляют себе, что спины в $g$ парах всегда направлены противоположно, а спины остальных $f-2 g$ электронов направлены в одну сторону. Соответственно этому результирующий спин равен
\[
S=\frac{f-2 g}{2}=\frac{1}{2} f-g .
\]

Из нашего построения представления $\Delta_{S}^{\prime}$ следует, что все матричные элементы этого представления являются рациональными числами. Отсюда следует, что представление $\Delta_{S}^{\prime}$ эквивалентно своему комплексно-сопряженному или контраградиентному представлению $\Delta_{S}^{\prime}$ (см. §12). Вследствие этого соотношение (28.2) сводится к
\[
\Delta_{S}=\Delta_{S}^{\prime} \times \mathfrak{A} .
\]

На основе предыдущего материала вычисление характера представления $\Delta_{S}^{\prime} \mathfrak{S}_{f}$ не представляет трудностей. Достаточно двояко определить след преобразования $A P$ в пространстве $\mathfrak{R}$, где $A$ особое унитарное преобразование вида
\[
u_{1}=\zeta u_{1} ; \quad u_{2}=\zeta^{-1} u_{2}
\]

и $P$ перестановка: один раз, положив в основу «прямоугольный базис» (30.7) и второй раз, положив в основу базис $u_{\lambda} v_{\mu} \ldots w_{
u}$. Результат вычисления следующий. Когда перестановка $P$ букв $u v \ldots$ распадается на циклические перестановки $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{k}$ букв и когда $\chi_{S}^{\prime}(P)$ представляет собой характер $P$ в представлении $\Delta_{S}^{\prime}$, то имеют место формулы
\[
\begin{array}{c}
\sum \chi_{S}^{\prime}(P)\left(\zeta^{2 S}+\zeta^{2 S-2}+\cdots+\zeta^{-2 S}\right)= \\
=\left(\zeta^{\alpha_{1}}+\zeta^{-\alpha_{1}}\right)\left(\zeta^{\alpha_{2}}+\zeta^{-\alpha_{2}}\right) \ldots\left(\zeta^{\alpha_{k}}+\zeta^{-\alpha_{k}}\right),
\end{array}
\]

где суммирование производится по всем $S=\frac{1}{2} f-g$. Умножив обе части на $\zeta^{f}\left(1-\zeta^{2}\right)$ и положив $\zeta^{2}=z$, мы видим, что $\chi_{S}^{\prime}(P)$ является коэффициентом при $z^{g}$ в полиноме
\[
\left(1+z^{\alpha_{1}}\right)\left(1+z^{\alpha_{2}}\right) \cdots\left(1+z^{\alpha_{k}}\right)(1-z) .
\]
Для того чтобы получить отсюда характер представления $\Delta_{S}$, достаточно помножить характеры нечетных перестановок на -1 .

Упомянем еще, что применявшийся в этом параграфе метод исследования преобразования произведения $u_{\lambda} v_{\mu} \ldots t_{
u}$ при перестановках и линейных преобразованиях ряда переменных $u v .$. применим (с некоторыми модификациями) и в том случае, когда речь идет о ряде из $n$ переменных (вместо двух) $(\lambda, \mu, \ldots,
u=1,2, \ldots, n)$. Если мы выберем $n \geqslant f$, то в представление $\pi$ перестановочной группы $\mathfrak{S}_{f}$ входит по крайней мере один раз в качестве составной части каждое неприводимое представление $\mathfrak{S}_{f}$. Этим пользуются для представления характера симметричной группы. Дальнейшее развитие этих соображений читатель найдет в оригинальных работах Шура и Вейля ${ }^{1}$.
${ }^{1}$ Schur I., Dissertation Berlin, 1901; Weyl H., Math. Z., Bd. 23, 271 (1925). Schur I., Sitzungsber., Berlin 1927. S. 58. WeylH., Gruppentheorle und Quantenmechanik, 2. Aufl., Kap. V.