Задача многих тел в теории Дирака до сих пор принципиально не решена. Основным затруднением здесь является то, что для каждой частицы приходится вводить свое собственное время, не зависящее от времен всех остальных частиц. Очевидно, что решение этого вопроса нам даст только еще несозданная релятивистская квантовая механика. Тем не менее уже и сейчас имеются более или менее плодотворные попытки приближенного решения задачи многих тел.

Одной из таких попыток является квантовая электродинамика. В основу этой теории положена идея, что каждая частица взаимодействует только с окружающим ее электромагнитным полем, являющимся передатчиком взаимодействия от одной частицы к другой. При этом поле, конечно, квантовано, а это в свою очередь приводит к квантованию числа частиц. Тогда волновая функция системы будет зависеть не только от координат и времен всех частиц, но и от переменных, относящихся ко всему (практически бесконечному) числу квантов поля. Оператором, действующим на переменные, относящиеся к квантам, будут скалярный и векторный потенциалы. Поэтому оператором будет и напряжение электромагнитного поля.

В квантовой электродинамике световые кванты делятся на два типа – поперечные кванты, являющиеся обычными световыми квантами, и продольные световые кванты, передающие электростатическое взаимодействие.

На основании этих общих соображений Брейт дал приближенное релятивистское уравнение для двухэлектронной системы. Это уравнение имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\left\{E+e \varphi\left(r_{1}\right)+e \varphi\left(r_{2}\right)+\left(\Gamma_{4}^{1}+\Gamma_{4}^{2}\right) E_{0}+\right. \\
\left(\mathfrak{G}_{1}-i \hbar c \operatorname{grad}_{1}+e \mathfrak{A}\left(r_{1}\right)\right)+\left(\mathfrak{G}_{2}-i \hbar c \operatorname{grad}_{2}+e \mathfrak{A}\left(r_{2}\right)\right)+ \\
\left.+\frac{e^{2}}{r_{12}}-\frac{e^{2}}{r_{12}} \frac{\left[\left(\mathfrak{G}_{1} \mathfrak{G}_{2}\right)+\left(\mathfrak{G}_{1} \mathfrak{r}_{12}\right)\left(\mathfrak{G}_{2} \mathfrak{r}_{12}\right)\right]}{r_{12}^{2}}\right\} \psi=0 .
\end{array}
\]

Волновая функция $\psi$ обладает уже не одним, а двумя индексами и соответственно этому имеет не 4 , а 16 составляющих. Матричные операторы $\mathfrak{G}_{1}, \Gamma_{4}^{1}$ действуют на первый, а операторы $\mathfrak{G}_{2}, \Gamma_{4}^{2}$ на второй значок функции $\psi_{i k}$. В уравнении Брейта члены в первых двух строках соответствуют в уравнении Дирака для каждого электрона в отдельности. Член $\frac{e^{2}}{r_{12}}$ дает электростатическое взаимодействие электронов, тогда как член в скобках – релятивистская поправка. Брейт показал, что наилучшие результаты получаются, если сначала решать уравнение (5.1) без релятивистской поправки, а потом вводить ее как «возмущение».

Как указывалось выше ( $\S 23$ ), в случае положительных значений энергии одна пара собственных функций уравнения Дирака значительно меньше другой и поэтому ею можно пренебречь. В случае уравнения Брейта мы можем совершенно аналогично разделить компоненты собственной функции. Для положительных значений энергии 4 компоненты из 16 превосходят другие по величине. Поэтому из (5.1) можно исключить малые компоненты, тогда мы получаем уравнение двухэлектронной задачи в виде
\[
\begin{array}{c}
E \psi=\left\{-e V+\frac{1}{2 m}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)-\frac{1}{8 m^{3} c^{2}}\left(p_{1}^{4}+p_{2}^{4}\right)-\frac{e^{2}}{2 m^{2} c^{2}}\left(\frac{1}{r_{12}}\left(\mathfrak{p}_{1} \mathfrak{p}_{2}\right)\right)+\right. \\
\left.+\frac{1}{r_{12}^{3}} \sum_{i, k=1}^{3}\left(x_{i 1}-x_{i 2}\right)\left(x_{k 1}-x_{k 2}\right) p_{i 1} p_{k 2}\right)+\frac{\mu}{m c}\left[\left(\left[\mathfrak{G}_{1} \mathfrak{p}_{1}\right]+\frac{2 e}{r_{12}^{3}}\left[\mathfrak{r}_{12} \mathfrak{p}_{2}\right], \vec{\sigma}_{1}\right)+\right. \\
+\left(\left[\mathfrak{G}_{2} \mathfrak{p}_{2}\right]+\frac{2 e}{r_{12}^{3}}\left[\mathfrak{r}_{21} \mathfrak{p}_{1}\right], \vec{\sigma}_{2}\right]-\frac{i \mu}{2 m c}\left(\left(\mathfrak{G}_{1} \mathfrak{p}_{1}\right)+\left(\mathfrak{G}_{2} \mathfrak{p}_{2}\right)\right)+ \\
+ \\
+\frac{4 \mu^{2}\left(\vec{\sigma}_{1} \vec{\sigma}_{2}\right) r_{12}^{2}-3\left(\vec{\sigma}_{1} \mathfrak{r}_{12}\right)\left(\vec{\sigma}_{2} \mathfrak{r}_{12}\right)}{r_{12}^{5}}+2 \mu\left(\left(\mathfrak{H}_{1} \vec{\sigma}_{1}\right)+\left(\mathfrak{H}_{2} \vec{\sigma}_{2}\right)\right)+ \\
\left.+\frac{e}{m c}\left(\left(\mathfrak{A}_{1} \mathfrak{p}_{1}\right)+\left(\mathfrak{A}_{2} \mathfrak{p}_{2}\right)\right)+\frac{e}{2 m c^{2}}\left(\dot{\bar{A}}_{1}^{2}+A_{2}^{2}\right)\right\} \psi
\end{array}
\]

где
\[
V=\frac{Z e}{r_{1}}+\frac{Z e}{r_{2}}-\frac{e}{r_{12}}-\varphi\left(r_{1}\right)-\varphi\left(r_{2}\right) .
\]

Первые два члена дают обычное нерелятивистское выражение для энергии. Третий член описывает изменение массы электронов со скоростью. Четвертый член – поправка на запаздывающее взаимодействие электронов. Пятый и шестой члены дают взаимодействие между спином и орбитальным моментом электронов. Седьмой член описывает спин. Восьмой – взаимодействие спинов. Последние же три члена дают взаимодействие с внешним магнитным полем.

Применим уравнение Брейта к вычислению тонкой структуры спектра атома гелия.
Для этого мы воспользуемся уравнением (5.2) при условии отсутствия внешнего поля $\varphi=\mathfrak{H}=0$. В релятивистской функции возмущения расщепление дают только члены
\[
\begin{aligned}
\frac{\mu}{m c}\left[\left(\left[\mathfrak{G}_{1} \mathfrak{p}_{1}\right]+\right.\right. & \left.\frac{2 e}{r_{12}^{3}}\left[\mathfrak{r}_{12} \mathfrak{p}_{2}\right], \vec{\sigma}_{1}\right)++\left(\left[\mathfrak{G}_{2} \mathfrak{p}_{2}\right]+\frac{2 e}{r_{12}^{3}}\left[\mathfrak{r}_{21} \mathfrak{p}_{1}\right], \vec{\sigma}\right)+ \\
& +4 \mu^{2} \frac{\left(\vec{\sigma}_{1} \vec{\sigma}_{2}\right)-3\left(\vec{\sigma}_{1} \mathfrak{r}_{12}\right)\left(\vec{\sigma}_{2} \mathfrak{r}_{12}\right)}{r_{12}^{5}}
\end{aligned}
\]

остальные же члены дают только небольшое смещение термов, которое мы рассматривать не будем.

Возмущение (5.4) расщепляет термы ортогелия (см. §26) на три уровня с $j=l+1, l, l-1$. В качестве собственных функций возьмем произведение собственных функций обоих электронов
\[
\psi=u_{1}(1) u_{n l m}(2) .
\]

Для взаимодействия между спином и орбитальным моментом, записывая пятый и шестой члены уравнения (5.2) в атомных единицах Хартри, мы получаем
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} \alpha^{2}\left(\frac{Z}{r_{1}^{3}}\left[\mathfrak{r}_{1} \mathfrak{p}_{1}\right]-\frac{1}{r_{12}^{3}}\left[\mathfrak{r}_{1}-\mathfrak{r}_{2}, \mathfrak{p}_{1}\right]+\frac{2}{r_{12}^{3}}\left[\mathfrak{r}_{1}-\mathfrak{r}_{2}, \mathfrak{p}_{2}\right] \vec{\sigma}_{1}\right)+ \\
+\frac{1}{2} \alpha^{2}\left(\frac{Z}{r_{2}^{3}}\left[\mathfrak{r}_{2} \mathfrak{p}_{2}\right]-\frac{1}{r_{12}^{3}}\left[\mathfrak{r}_{2}-\mathfrak{r}_{1}, \mathfrak{p}_{2}\right]+\frac{2}{r_{12}^{3}}\left[\mathfrak{r}_{2}-\mathfrak{r}_{1}, \mathfrak{p}_{1}\right] \vec{\sigma}_{2}\right) .
\end{array}
\]

Подставляя волновую функцию (5.5) вследствие того, что среднее значение величины $\left[\mathfrak{r}_{1} \mathfrak{p}_{1}\right]$ равно нулю, а $\left[\mathfrak{r}_{1} \mathfrak{p}_{2}\right]$ и $\left[\mathfrak{r}_{2} \mathfrak{p}_{1}\right]$ взаимно уничтожаются, мы получим
\[
\frac{1}{2} \alpha^{2}(Z-3) \overline{r_{2}^{-3}}\left\{\begin{aligned}
l \text { при } j & =l+1 \\
-l \text { при } j & =l \\
-l+1 \text { при } j & =l-1,
\end{aligned}\right.
\]

где
\[
\overline{r_{2}^{-3}}=\int \frac{1}{r^{3}} U_{n l}^{2}(r) r^{2} d r=\frac{2(Z-1)^{2}}{n^{3}(2 l+1)(l+1) l} .
\]

Таким образом, взаимодействие спин – орбита расщепляет линии ортогелия на триплет. Будет ли триплет нормальным или обратным, зависит от величины $(Z-3)$. Для гелия $Z-3=-1$ и поэтому триплет будет обратным, т. е. наинизшим уровнем будет уровень с $j=l+1$.
Вычисление энергии взаимодействия спинов [восьмой член формулы (5.2)] дает

Взаимодействие спинов тоже приводит к триплетному расщеплению, но у которого наиболее низким является терм с $j=l$, далее следуют термы с $j=l+1$ и $j=l-1$. Такой триплет можно назвать «полуобратным».

Вычисления Брейта дают хорошее количественное совпадение с опытом.