Теорема Бернсайда имеет место не только для представлений конечных групп, но и для любой неприводимой системы матриц, содержащей наряду с каждыми двумя матрицами также и их произведение. Кроме того, имеем следующее обобщение, данное Фробениусом и Шуром: полностью приводимая система матриц, содержащая вместе с каждыми двумя матрицами и их произведение и состоящая из неприводимых частей степени $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{s}$ (причем эквивалентные части считаются за одну), содержит $n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+\cdots+n_{s}^{2}$ линейно независимых матриц.

Кольцо группы $\mathfrak{R}_{g}$ является примером «гиперкомплексной системы чисел», т. е. векторного пространства с конечным числом измерений, которое образует кольцо таким образом, что в нем определено умножение, считаемое некоммутативным, но имеющее все обычные свойства умножения (включая ассоциативный закон). Здесь мы рассматриваем только такие гиперкомплексные системы чисел, в которых областью умножения является область комплексных чисел.

Ясно, что теоремы этого параграфа, которые относятся к представлениям кольца $\mathfrak{R}_{g}$, справедливы не только для колец групп, но и для любой системы гиперкомплексных чисел, являющейся полностью приводимой, т. е. представляется суммами неприводимых левых идеалов и содержит единитный элемент. Поэтому каждая такая система является прямой суммой полных матричных колец и содержит столько же
неприводимых представлений, сколько имеется в разложении матричных колец. Далее можно доказать, что каждое приводимое представление такого кольца целиком распадается на неприводимые. В частности, одно полное матричное кольцо имеет только одно единственное неприводимое представление, образуемое матрицами самого кольца.

Эта теорема может применяться к квантово-механическим вопросам. Например, следуя Дираку, часто ставят задачу определения системы четырех матриц $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \Gamma_{3}, \Gamma_{4}$, удовлетворяющих следующим уравнениям:
\[
\Gamma_{\lambda}^{2}=1, \quad \Gamma_{\lambda} \Gamma_{\mu}=-\Gamma_{\mu} \Gamma_{\lambda} \quad(\lambda
eq \mu) .
\]

Если к $\Gamma_{\lambda}$ присоединить произведения их по две, по три и т. д., то, согласно уравнениям (14.6), все они могут быть выражены через следующие 16 величин
\[
1, \Gamma_{\lambda}, \Gamma_{\lambda} \Gamma_{\mu}, \Gamma_{\lambda} \Gamma_{\mu} \Gamma_{
u}, \Gamma_{1} \Gamma_{2} \Gamma_{3} \Gamma_{4} \quad(\lambda, \mu,
u=1,2,3,4 ; \lambda<\mu<
u) .
\]

Если же матрицы неизвестны, а еще только ищутся, то мы сначала строим систему гиперкомплексных чисел с 16 базисными элементами
\[
1, \gamma_{\lambda}, \gamma_{\lambda \mu}, \gamma_{\lambda \mu
u}, \gamma_{1234}, \quad(\lambda, \mu,
u=1,2,3,4 ; \lambda<\mu<
u)
\]

и предполагаем, что эти базисные элементы должны перемножаться между собой точно так же, как и матрицы (14.7), т. е. в соответствии с уравнением (14.6). Этим условием система чисел однозначно определяется. Каждая система матриц (14.7) со свойствами (14.6) дает только одно представление гиперкомплексной системы, и обратно. Таким образом, мы свели поставленный вопрос к вопросу об определении гиперкомплексной системы чисел с помощью матриц.

Согласно Дираку ${ }^{1}$, мы знаем, что представление состоит из четырехрядных матриц, причем базисные элементы (14.8) представляются 16 линейно-независимыми матрицами. Поэтому искомая гиперкомплексная система изоморфна с полным матричным кольцом всех четырехрядных матриц. Согласно предыдущим теоремам, следует, что с точностью до эквивалентности существует только одно неприводимое представление (четвертой степени) и что каждое приводимое представление целиком распадается на неприводимые, которые все эквивалентны упомянутому представлению. Это значит, что дираковское представление с точностью до совершенно тривиальных измерений и эквивалентности является единственным.
${ }^{1}$ Dirac P. A. M., Proc. Roy. Soc. London A., Bd. 1928. 117. S. 610.