Часто бывает целесообразно связать с векторным пространством $\mathfrak{R}$ представление об аддитивной группе с операторами. При этом операторами являются элементы группы $a$; произведение $a v, a$ на вектор $v$, обозначает, что к вектору $v$ применено линейное преобразование $A$, соответствующее $a$. Этот способ записи напрашивается сам собой при квантово-механических задачах. Результат применения вращения $D$ или перестановки $P$ к собственной функции $\psi$ естественно обозначать через $D \psi$ или $P \psi$. При этом способе записи мы избегаем введения соответствующей матрицы $A$, что очень удобно, так как при одновременном рассмотрении различных пространств представлений, подпространств и т. д. пришлось бы вводить новые буквы $A, A^{\prime}$ и т. д. для их преобразований. Наконец, мы имеем то преимущество, что все понятия и законы теории групп можно непосредственно применять к пространству представлений, так как оно рассматривается как аддитивная группа с операторами. Так, например, представление операторного изоморфизма, примененное к двум пространствам представлений $\mathfrak{R}, \mathfrak{R}^{\prime}$ одной и той же группы $\mathfrak{g}$, сразу дает нам понятие об эквивалентности двух представлений.

Два представления $\mathfrak{g}$ в $\mathfrak{R}$ и $\mathfrak{R}^{\prime}$ называются эквивалентными, когда в $\mathfrak{R}$ и $\mathfrak{R}^{\prime}$ базисные векторы можно выбрать таким образом, что каждый элемент группы в обоих пространствах представляется одной и той же матрицей. Это обозначает, что представление посредством матрицы $A$ эквивалентно представлению $P^{-1} A P$, где $P$ какая-нибудь постоянная матрица.

Понятие допустимой подгруппы (т. е. инвариантной относительно оператора $\theta$ ) приводит к понятию инвариантного подпространства, т. е. такого линейного подпространства, которое при преобразованиях рассматриваемого представления переходит в само себя. Если существует такое инвариантное подпространство $\mathfrak{r}$, не состоящее из нулевых векторов и не являющееся всем пространством $\mathfrak{R}$, то представление и соответствующее ему векторное пространство называется приводимым (по отношению к группе $\mathfrak{g})^{1}$.

Какой вид имеют матрицы приводимого представления? Мы выберем систему базисных векторов инвариантного подпространства $u_{1}, \ldots, u_{h}$ и дополним ее до базиса $\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right.$ ) полного пространства $\mathfrak{R}$ Мы имеем при этом
\[
\left.\begin{array}{ll}
a u_{\mu}=\sum_{1}^{h} u_{\lambda} p_{\lambda \mu} & (\mu=1, \ldots, h), \\
a u_{
u}=\sum_{1}^{h} u_{\lambda} q_{\lambda
u}+\sum_{h+1}^{n} u_{\lambda} s_{\lambda
u} & (
u=h+1, \ldots, n) .
\end{array}\right\}
\]

Поэтому матрица $A$ имеет вид
\[
A=\left(\begin{array}{cc}
P & Q \\
0 & S
\end{array}\right)
\]

где $P, Q$ и $S$ также являются матрицами и 0 обозначает нулевую матрицу. Матрица $P$ относится к представлению $\mathfrak{g}$ в подпространстве $\mathfrak{r}$.
Что означают матрицы $S$ ?
Дополнительное пространство $\mathfrak{R} / \mathfrak{r}$ также допускает операторы $a$ из $\mathfrak{g}$. Если перейти в уравнении (9.1) от векторов $u$ к соответствующим им сопряженным системам $\bar{u}$ (см. вторую часть закона гомоморфизма), то $\bar{u}_{1}, \ldots, \bar{u}_{h}$ обращаются в нуль, так как все $u_{1}, \ldots, u_{h}$ принадлежат к подпространству $\mathfrak{r}$, т. е. к нулевой сопряженной системе, тогда как $\bar{u}_{h+1}, \ldots, \bar{u}_{n}$ образуют линейно-независимый базис дополнительного пространства $\mathfrak{R} / \mathfrak{r}$. Таким образом, имеем
\[
a \bar{u}_{
u}=\sum_{h+1}^{n} \bar{u}_{\lambda} s_{\lambda
u} \quad(
u=h+1, \ldots, n) .
\]
1 Для понятия приводимости не обязательно, чтобы операторы ( $a$ или $\theta$ ) образовали группу; может быть задана произвольная система операторов, линейные преобразования которой переводят пространство $\mathfrak{R}$ в само себя.
Следовательно, матрицы $S$ образуют представление, которое связано с дополнительным пространством $\mathfrak{R} / \mathfrak{r}$.

В выборе дополнительных базисных векторов $u_{h+1}, \ldots, u_{n}$ имеется, понятно, некоторый произвол.

Если специальным выбором этих базисных векторов можно достичь того, чтобы все матричные элементы $q$ равнялись нулю, то $\left(u_{h+1}, \ldots, u_{n}\right)$ также определяют инвариантное подпространство $\mathfrak{s}$. Тогда говорят, что пространство $\mathfrak{R}$ распадается на инвариантные подпространства $\mathfrak{r}$ и $\mathfrak{s}$
\[
\mathfrak{R}=\mathfrak{r}+\mathfrak{s} .
\]

Точно так же о связанном с $\mathfrak{R}$ представлении $\mathfrak{D}$ говорят, что оно распадается на связанные с $\mathfrak{r}$ и $\mathfrak{s}$ представления $\mathfrak{D}_{1}$ и $\mathfrak{D}_{2}$ и пишут
\[
\mathfrak{D}=\mathfrak{D}_{1}+\mathfrak{D}_{2} .
\]

В этом случае матрица $S$ относится к представлению пространства $\mathfrak{s}$. Отсюда сразу получаем закон изоморфизма. Из (9.2) следует, что $\mathfrak{s} \cong \mathfrak{R} / \mathfrak{r}$ (и также, что $\mathfrak{r} \cong \mathfrak{R} / \mathfrak{s})^{1}$.

В дальнейшем мы будем главным образом иметь дело с представлениями групп при помощи унитарных преобразований. При этом для каждого инвариантного подпространства существует полностью перпендикулярное к нему подпространство $\mathfrak{s}$; таким образом, в этом случае из приводимости вытекает распад.

Если $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{b}$ — подгруппы аддитивной абелевой группы, то символом $(\mathfrak{a}, \mathfrak{b})$ обозначают объединенную группу, которая состоит из всех сумм $a+b(a$ из $\mathfrak{a}, b$ из $\mathfrak{b})$. Если каждый элемент $\mathfrak{s}=(\mathfrak{a}, \mathfrak{b})$ может быть однозначно представлен суммой $a+b$, то $\mathfrak{s}$ называют прямой суммой $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{b}$ и пишут $\mathfrak{s}=\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$, как в уравнении (9.2). Критерием прямоты суммы является то, что общим э.тементом подгруппы $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{b}$ является лишь нуль ${ }^{2}$.

Соответственным образом определяется прямая сумма более чем двух подгрупп. Их обозначение
\[
\mathfrak{s}=\mathfrak{a}_{1}+\cdots+\mathfrak{a}_{h}
\]
${ }^{1}$ Этот закон является частным случаем общего закона изоморфизма в теории групп
\[
\mathfrak{B} / \mathfrak{A} \cong \mathfrak{B} \mathfrak{D},
\]

в котором $\mathfrak{B}$ — объединенная группа, $\mathfrak{D}$ — общий наибольший делитель подгрупп $\mathfrak{A}, \mathfrak{B}$. Этот закон имеет место, поскольку $\mathfrak{A}$ является нормальным делителем $\mathfrak{B}$. См.: Б. Л. Ван-дер-Варден. Современная алгебра. Т. I, §40.
${ }^{2}$ В случае неабелевых групп надо еще добавить требование, чтобы $\mathfrak{a}$ и $\mathfrak{b}$ были нормальными делителями $\mathfrak{s}$.
показывает, что каждый элемент $\mathfrak{s}$ может быть однозначно представлен суммой $a_{1}+\cdots+a_{h}$. Критерием для этого служит то, что каждое $\mathfrak{a}_{
u}$ имеет только нулевой общий элемент с суммой предыдущих $\mathfrak{a}_{\lambda}$.

Аддитивная группа $\mathfrak{G}$ с операторами (в частности, векторное пространство при каком-либо представлении) называется неприводимой или минимальной, если она не содержит никаких инвариантных подгрупп (кроме самой себя и нуля). Она называется полностью приводимой, если является прямой суммой неприводимых (дозволенных) подгрупп
\[
\mathfrak{G}=\mathfrak{g}_{1}+\cdots+\mathfrak{g}_{h} .
\]

Точно так же представление называется полностью приводимым, если таковым является принадлежащее ему векторное пространство; тогда представление имеет «приводимую форму»
\[
\mathfrak{D}=\mathfrak{D}_{1}+\cdots+\mathfrak{D}_{h} \cdot{ }^{1}
\]

В $\mathfrak{D}_{
u}$ могут входить, конечно, эквивалентные пары.
Пример полностью приводимого представления.
Возьмем три базисных вектора $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ и подвергнем их всем перестановкам симметричной группы $\mathfrak{S}_{3}$
(1 2) $e_{1}=e_{2}$
(1 23 ) $e_{1}=e_{2}$
(12) $e_{2}=e_{1}$
(1 23 ) $e_{2}=e_{3}$
(12) $e_{3}=e_{3}$
(1 23 ) $e_{3}=e_{1}$

Тогда мы получим представление перестановочной группы с помощью линейных (унитарных) преобразований. Представление приводимо, так как вектор $s=e_{1}+e_{2}+e_{3}$ инвариантен при всех перестановках; последнее относится также к подпространству или «лучу» $\mathfrak{r}_{1}$, состоящему из всего многообразия $s \alpha$. Перпендикулярное к этому лучу подпространство, которое образовано разностями $e_{1}-e_{2}, e_{2}-e_{3}$, тоже инвариантно и, как легко видеть, не содержит более никаких инвариантных подпространств. Поэтому трехмерное векторное пространство $\mathfrak{G}$ полностью приводимо
\[
\mathfrak{G}=\mathfrak{r}_{1}+\mathfrak{r}_{2},
\]
${ }^{1}$ Матрица представления имеет при этом следующий вид:
\[
A=\left(\begin{array}{cccc}
A_{1} & & & 0 \\
& A_{2} & & \\
& & \ddots & \\
0 & & & A_{h}
\end{array}\right),
\]

где матрица $A_{\gamma}$ относится к неприводимому представлению $\mathfrak{D}_{
u}$.
и представление распадается на два неприводимых представления 1-ой и 2-ой степени. Матрицы этих представлений могут быть легко определены. Представление 1-ой степени является «тождественным представлением», при котором каждой перестановке соответствует единичная матрица. Представление 2 -ой степени обладает матрицами
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{lll}
1 & 2
\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{rr}
-1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right) \text {; } \\
(13) \sim\left(\begin{array}{rr}
0 & -1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) \text {; } \\
\left(\begin{array}{ll}
2 & 3
\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
1 & -1
\end{array}\right) \text {; } \\
\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{cc}
0 & -1 \\
1 & -1
\end{array}\right) \text {; } \\
\left(\begin{array}{lll}
1 & 3 & 2
\end{array}\right) \sim\left(\begin{array}{cc}
-1 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) \text {; } \\
1 \sim\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) . \\
\end{array}
\]

Унитарные представления (представления с помощью унитарных преобразований) и вообще системы унитарных преобразований всегда полностью приводимы (или неприводимы), потому что, если векторное пространство $\mathfrak{R}$ приводимо и $\mathfrak{r}$ инвариантное подпространство, то $\mathfrak{R}$ распадается на $\mathfrak{r}$ и на строго перпендикулярное к нему инвариантное подпространство $\mathfrak{r}^{\prime}$. Если одно из этих двух пространств опять приводимо, то оно распадается таким же образом и т. д.

Встречающиеся в квантовой механике представления унитарны, потому что при любых вращениях или перестановках распространенный по всему фазовому пространству интеграл
\[
N \psi=\int \bar{\psi} \psi d V
\]

остается инвариантным.
Смысл приводимости представлений для квантовой механики заключается в следующем. Когда уровни энергии системы, например многоэлектронной системы, приближенно известны при пренебрежении некоторыми членами в выражении для энергии, которые далее вводятся как возмущающие члены $\varepsilon W$ (при постепенном возрастании $\varepsilon$ от нуля), то во многих случаях бывает известно, что возмущающие члены инвариантны относительно той же группы $\mathfrak{g}$, как и невозмущенный оператор $H_{0}$.

Как невозмущенные, так и возмущенные функции при операциях группы $\mathfrak{g}$ претерпевают ряд линейных преобразований, которые приводимы или неприводимы. В пределе $\varepsilon \rightarrow 0$ преобразования возмущенных функций должны переходить в преобразования невозмущенных функций. Ясно, однако, что приводимая группа преобразований не может переходить в неприводимую при $\varepsilon \rightarrow 0$, матрицы $\left(\begin{array}{cc}P & Q \\ 0 & S\end{array}\right)$ или $\left(\begin{array}{cc}P & 0 \\ 0 & S\end{array}\right)$ дают при $\varepsilon=0$ матрицы того же типа. Точно так же при граничном переходе не меняются степени представления; в лучшем случае различные уровни энергии могут стремиться к совпадению, вследствие
чего два или более пространства с числом измерений $n_{1}, n_{2}$ сливаются в пространство с числом измерений $n_{1}+n_{2}$, в котором при этом имеет место приводимое представление.

Отсюда следует: если в пределе при $\varepsilon=0$ имеется неприводимое представление $n$-ой степени, то и для малого $\varepsilon$ имеет место неприводимое представление той же степени.

И, так как параметр $\varepsilon$ может быть постепенно увеличен до сколь угодно большого значения, сказанное остается в силе и при большой величине энергии возмущения. Если в отсутствии возмущения имеется неприводимое представление группы $\mathfrak{g}$ степени п и если возмущение инвариантно относительно этой группы, то возмущение, как бы велико оно ни было, не может вызвать расщепления термов и при любой его величине имеет место неприводимо представление порядка $n$.

Аналогично получается следующий вывод: если при $\varepsilon=0$ имеется целиком приводимое представление степени $n$, которое распадается на неприводимые представления $\Sigma_{1}+\Sigma_{2}+\cdots+\Sigma_{r}$, то $n$-кратный терм при возмущении может расщепиться максимум на $r$ термов, собственные функции которых в пределе при $\varepsilon \rightarrow 0$ преобразуются по неприводимым представлениям $\Sigma_{1}, \Sigma_{2}, \ldots, \Sigma_{r}$.

Мы установим позже для всех рассматриваемых групп все вообще возможные неприводимые представления. Их можно во всех встречающихся случаях отличать друг от друга номерами (квантовыми числами). При непрерывном изменении величины $\varepsilon$ такие номера не могут внезапно (скачкообразно) меняться; поэтому при возрастании $\varepsilon$ представление должно оставаться неизменным с точностью до эквивалентности. В вышеприведенном случае оно остается всегда одним из представлений $\Sigma_{1}, \ldots, \Sigma_{r}$ (или суммой некоторых из них).