Возьмем в качестве векторного пространства совокупность бинарных линейных форм с $c_{1} u_{1}+c_{2} u_{2}$ двух переменных $u_{1}$ и $u_{2}$. Преобразования $A$ специальной линейной группы $c_{2}$ переводят базисные векторы $u_{1}, u_{2}$ в
\[
\begin{array}{l}
u_{1}^{\prime}=u_{1} \alpha+u_{2} \gamma \\
u_{2}^{\prime}=u_{1} \beta+u_{2} \delta .
\end{array}
\]

Соответствующие матрицы
\[
A=\left(\begin{array}{cc}
\alpha & \beta \\
\gamma & \delta
\end{array}\right) ; \quad \alpha \delta-\beta \gamma=1 .
\]

Легко убедиться, что обратное преобразование имеет вид
\[
A^{-1}=\left(\begin{array}{rr}
\delta & -\beta \\
-\gamma & \alpha
\end{array}\right) .
\]

Если в качестве эрмитовой формы взята единичная форма, то по $\S 7$ унитарное преобразование $A$ обладает следующими свойствами:
\[
\widetilde{A}=A^{-1} \quad \text { или } \quad\left(\begin{array}{cc}
\bar{\alpha} & \bar{\gamma} \\
\bar{\beta} & \bar{\delta}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
\delta & -\beta \\
-\gamma & \alpha
\end{array}\right) .
\]

Для этого требуется $\bar{\alpha}=\delta, \bar{\beta}=-\gamma$. Следовательно, специальная унитарная группа $\mathfrak{U}_{2}$ состоит из преобразований
\[
\left.\left.\begin{array}{c}
u_{1}^{\prime}=u_{1} \alpha-u_{2} \bar{\beta} \\
u_{2}^{\prime}=u_{1} \beta+u_{2} \bar{\alpha}
\end{array}\right\} \text { или } \begin{array}{c}
c_{1}^{\prime}=\alpha c_{1}+\beta c_{2} \\
c_{2}^{\prime}=-\bar{\beta} c_{1}+\bar{\alpha} c_{2}
\end{array}\right\} \text { при } \alpha \bar{\alpha}+\beta \bar{\beta}=1 .
\]

Заметим, что при каждом преобразовании с детерминантом 1 , при котором векторные коэффициенты $\left(d_{1}, d_{2}\right.$ ) ковариантно преобразуются в $\left(c_{1}, c_{2}\right)$, выражение $c_{2} d_{1}-c_{1} d_{2}$ остается инвариантным. Поэтому коэффициенты $\left(c_{2},-c_{1}\right)$ этого выражения преобразуются контравариантно в $\left(c_{1}, c_{2}\right)$. Кроме того, в случае унитарной группы $u_{2}$ выражение $\bar{c}_{1} c_{1}+\bar{c}_{2} c_{2}$ остается инвариантным и поэтому также и ( $\left.\bar{c}_{1}, \bar{c}_{2}\right)$ преобразуется контравариантно по отношению к $\left(c_{1}, c_{2}\right)$. Наконец, $\left(\bar{c}_{2},-\bar{c}_{1}\right)$ преобразуется при преобразовании $u_{2}$ контравариантно по отношению к $\left(c_{2},-c_{1}\right)$, следовательно ковариантно к $\left(c_{1}, c_{2}\right)$.

Можно получить представление групп $\mathfrak{c}_{2}$ и $\mathfrak{u}_{2}$, в которых базисными векторами служат «мономы» степени $v$
\[
u_{1}^{v}, u_{1}^{v-1} u_{2}, \ldots, u_{2}^{v},
\]

образующие пространство всех форм
\[
c_{0} u_{1}^{v}+c_{1} u_{1}^{v-1} u_{2}+\ldots+c_{v} u_{2}^{v} .
\]

Эти мономы, очевидно, линейно преобразуются преобразованиями $A$, так как $A$ переводит $u_{1}^{r} u_{2}^{v-r}$ в выражение
\[
u_{1}^{\prime} u_{2}^{\prime v-r}=\left(u_{1} \alpha+u_{2} \gamma\right)^{r}\left(u_{1} \beta+u_{2} \delta\right)^{v-r},
\]

представляющее собой линейную комбинацию мономов (16.2).
Обозначим найденное таким образом представление $\mathfrak{c}_{2}$ или $\mathfrak{u}_{2}$ через $\mathfrak{D}_{J}$, где $J=\frac{1}{2} v$ (это обозначение связано с применениями к спектроскопии). В частности, $\mathfrak{D}_{0}$ представляет собой тождественное представление первой степени (при котором единственный базисный вектор остается инвариантным при всех преобразованиях группы); $\mathfrak{D}_{\frac{1}{2}}$ является представлением $\mathfrak{c}_{2}$ в самом себе. Представление $\mathfrak{D}_{J}$ имеет степень $v+1=2 J+1$.
Представление $\mathfrak{D}_{1}$ в пространстве полинома
\[
c_{0} u_{1}^{2}+c_{1} u_{1} u_{2}+c_{2} u_{2}^{2}
\]

обладает свойством оставлять инвариантным «дискриминант»
\[
c_{1}^{2}-4 c_{0} c_{2} .
\]

Вместо $c_{0}, c_{1}, c_{2}$ введем новые переменные
\[
\left.\left.\begin{array}{rl}
x & =-c_{0}+c_{2} \\
y & =-i\left(c_{0}+c_{2}\right) \\
z & =c_{1}
\end{array}\right\} \begin{array}{rl}
x+i y & =2 c_{2} \\
x-i y & =-2 c_{0} \\
z & =c_{1}
\end{array}\right\},
\]
тогда
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2}=(x+i y)(x-i y)+z^{2}=c_{1}^{2}-4 c_{0} c_{2} .
\]

Следовательно, преобразование $\mathfrak{D}_{1}$ оставляет инвариантной форму $x^{2}+y^{2}+z^{2}$; оно является (комплексным) вращением ${ }^{1}$.

Чтобы исследовать условия вещественности, заметим, что коэффициенты $c_{0}, c_{1}, c_{2}$ произвольной квадратичной формы преобразуются так же, как и коэффициенты $a_{1} b_{1}, a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}, a_{2} b_{2}$ специальной формы $\left(a_{1} u_{1}+a_{2} u_{2}\right)$ ( $\left.b_{1} u_{1}+b_{2} u_{2}\right)$. Но при унитарном преобразовании (16.1) $u_{2}, b_{1}, b_{2}$ преобразуются точно так же, как и $-\bar{a}_{2}, \bar{a}_{1}$, следовательно, $c$ преобразуются как
\[
-a_{1} \bar{a}_{2}, \quad a_{1} \bar{a}_{1}-a_{2} \bar{a}_{2}, \quad a_{2} \bar{a}_{1} .
\]

Таким образом, $x, y, z$ [уравнение (16.3)] преобразуются как
\[
a_{1} \bar{a}_{2}+a_{2} \bar{a}_{1} ; \quad i\left(a_{1} \bar{a}_{2}-a_{2} \bar{a}_{1}\right) ; \quad a_{1} \bar{a}_{2}-a_{2} \bar{a}_{2} .
\]

Но эти три числа вещественны и преобразуются в вещественные числа; следовательно, коэффициенты преобразования тоже должны быть вещественными, т. е. векторы $(x, y, z)$ претерпевают при вращении $\mathfrak{D}_{1}$ группы $u_{2}$ вещественные вращения.

Вещественную группу вращений пространства мы будем обозначать через $\mathfrak{b}$.

Легко убедиться, что каждое вещественное вращение пространства обязательно встречается в представлении $\mathfrak{D}_{1}$. Для этого достаточно определить вращения, соответствующие специальным унитарным преобразованиям
\[
B(\beta)=\left(\begin{array}{rr}
\cos \beta & -\sin \beta \\
\sin \beta & \cos \beta
\end{array}\right), \quad C(\gamma)=\left(\begin{array}{ll}
e^{-i \gamma} & 0 \\
0 & e^{+i \gamma}
\end{array}\right)
\]

в представлении $\mathfrak{D}_{1}$ находим
\[
\begin{array}{l}
B(\beta):\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=x \cos 2 \beta+z \sin 2 \beta \\
y^{\prime}=y \\
z^{\prime}=-x \sin 2 \beta+z \cos 2 \beta
\end{array}\right. \\
C(\gamma):\left\{\begin{array}{l}
x^{\prime}=x \cos 2 \gamma-y \sin 2 \gamma \\
y^{\prime}=x \sin 2 \gamma+y \cos 2 \gamma \\
z^{\prime}=z .
\end{array}\right\}
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Оно не может быть отражением, так как непрерывным образом может быть сведено к тождеству ( $\alpha=1, \beta=0$ ).

Мы получаем, следовательно, два вращения вокруг осей $y$ и $z$ на углы $2 \beta$ и $2 \gamma$. Но из таких вращений можно составить любое другое вращение. Поворот с углами Эйлера $\vartheta, \varphi, \psi$ является ничем иным, как произведением $Z_{\varphi}, Y_{\vartheta}, Z_{\psi}$ вращений вокруг осей $x, y, z$ на углы $\varphi, \vartheta, \psi$. Развернутая формула для матрицы преобразования $u_{2}$, определяющей вращение с заданными углами Эйлера, получается путем умножения матриц $C(\varphi / 2), B(\vartheta / 2), C(\psi / 2)$, определяющих вращения $Z_{\varphi}, Y_{\vartheta}, Z_{\psi}$ :
\[
\begin{array}{l}
C(\varphi / 2) B(\vartheta / 2) C(\psi / 2)= \\
=\left(\begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{2} i \varphi} & 0 \\
0 & e^{+\frac{1}{2} i \varphi}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}
\cos \vartheta / 2 & -\sin \vartheta / 2 \\
\sin \vartheta / 2 & \cos \vartheta / 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{2} i \psi} & 0 \\
0 & e^{+\frac{1}{2} i \psi}
\end{array}\right)= \\
=\left(\begin{array}{rr}
e^{-\frac{1}{2} i(\varphi+\psi)} \cos \vartheta / 2 & -e^{-\frac{1}{2} i(\varphi-\psi)} \sin \vartheta / 2 \\
e^{+\frac{1}{2} i(\varphi-\psi)} \sin \vartheta / 2 & e^{+\frac{1}{2} i(\varphi+\psi)} \cos \vartheta / 2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
\alpha & -\bar{\beta} \\
\beta & \bar{\alpha}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Чтобы исследовать точность представления, достаточно выяснить, согласно теореме гомоморфизма (см. §8), какие преобразования $u_{2}$ при представлении $\mathfrak{D}_{1}$ дают тождества. Эти преобразования должны оставлять инвариантными произведения $u_{1}^{2}, u_{1} u_{2}$ и $u_{2}^{2}$, а это имеет место только для двух преобразований
\[
E=\left(\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right) \quad \text { и } \quad-E=\left(\begin{array}{rr}
-1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) .
\]

Следовательно, эти два преобразования образуют упоминаемую в теореме гомоморфизма подгруппу $\mathfrak{h}$. Сопряженные системы $\mathfrak{h}$ состоят только из двух преобразований $A$ и $-A$; следовательно, они определяют то же самое вращение. Поэтому представление неточно. Но если мы ограничимся в группе $c_{2}$ такой близкой к единичной матрице $E$ областью, которая для каждой сопряженной системы содержит только одно преобразование, то в этом изображении представление оказывается точным и поэтому однозначно обратимым: каждому вращению $D$ с достаточно малым углом соответствует одно единственное унитарное преобразование $A$, близкое к тождеству. При непрерывном изменении вращения $D$ непрерывно меняется также и соответствующая матрица $A$ [как можно, например, видеть из развернутого уравнения (16.6)]; но после того, как вращение $D$ пробежало замкнутый путь, соответствующая матрица $A$ должна перейти в $-A$, поэтому матрица $A$ является для всей группы $\mathfrak{b}$ двузначной непрерывной функцией вращения $D$. На

—————————————————————-
0007ru_fiz_kvant_book15_no_photo_page-0084.jpg.txt

§16. Линейная группа $\mathfrak{c}_{2}$, унитарная группа $\mathfrak{U}_{2}$
83
этом основании говорят, что группа $u_{2}$ образует двузначное представление вещественной группы вращений $\mathfrak{b}$.
ЗАмЕчаниЕ. Однозначность может быть восстановлена, если в векторном пространстве $\left(u_{1}, u_{2}\right)$ различие между двумя векторами $c_{1} u_{1}+$ $c_{2} u_{2}$ и $\lambda c_{1} u_{1}+\lambda c_{2} u_{2}$, отличающимися множителем $\lambda
eq 0$, считается несущественным. Соответственно мы считаем несущественным различие между линейными преобразованиями с матрицами $A$ и $\lambda A$. Тогда, в частности, матрицы $A$ и – , представляющие одно и то же вращение, не считаются существенно различными. Векторы $\lambda u$, получающиеся из $u
eq 0$ умножением на произвольное $\lambda$, образуют одномерное подпространство, называемое лучом. При вышеописанном понимании представления, когда принимается во внимание не преобразование векторов, а только лучей и поэтому $A$ и $\lambda A$ не различаются, говорят о лучевом представлении (вместо векторного представления). Если в лучевом представлении элемент а группы соответствует матрице $A$ и $b-B$, то произведению $A B$ соответствует не только $A B$, но и $\lambda A B$ ( $с$ любым $\lambda$ ). Но от лучевого представления можно всегда перейти $к$ конечно-многозначному векторному представлению путем умножения матрицы $A$ на такой множитель $\lambda$, чтобы ее детерминант равнялся единице. Множитель $\lambda$ определяется с точностью до корня из единицы и выбирается так, чтобы единичному элементу соответствовала единичная матрица. Тогда при непрерывном представлении непрерывной группы можно однозначно определить множитель $\lambda$ в окрестности единицы с помощью непрерывного продолжения; тогда в этой окрестности произведению а точно соответствует произведение матриц $A B$.

Представления $\mathfrak{D}_{J},\left(J=0, \frac{1}{2}, 1,1 \frac{1}{2}, \cdots\right)$ являются представлениями $\mathfrak{U}_{2}$, но $\mathfrak{U}_{2}$ является двузначным представлением $\mathfrak{b}$; следовательно, $\mathfrak{D}_{J}$ можно рассматривать как максимум двузначное представление $\mathfrak{b} ; \mathfrak{D}_{0}$ – тождественное представление; $\mathfrak{D}_{1 / 2}$ – двузначное представление $\mathfrak{b}$ в $u_{2} ; \mathfrak{D}_{1}$ – однозначное представление $\mathfrak{b}$ в самом себе.

Ниже будет показано, что представления $\mathfrak{D}_{J}$ с целочисленным $J$ однозначны относительно $\mathfrak{b}$, представления же с «полуцелым» $J$ двузначны и что шаровые функции $l$-того порядка ( $l$ – целое) при вращении преобразуются согласно $\mathfrak{D}_{l}$. Неприводимость $\mathfrak{D}_{J}$ представления $\mathfrak{U}_{2}$ или $\mathfrak{b}$ мы также докажем позже.
$\mathfrak{D}_{J}$-представлению $u_{2}$ соответствует инвариантная эрмитова форма
\[
\sum_{0}^{v} r !(v-r) ! \bar{c}_{r} c_{r} .
\]

—————————————————————-
0007ru_fiz_kvant_book15_no_photo_page-0085.jpg.txt

84
Глава III
Доказательство.
Коэффициенты $c_{r}$ преобразуются точно так же, как и коэффициенты $\left(\begin{array}{l}v \\ r\end{array}\right) a_{1}^{v-r} a_{2}^{r}$ специальной формы $\left(a_{1} u_{1}+a_{2} u_{2}\right)^{v}$, а коэффициент $\bar{c}_{r}$ преобразуется как $\left(\begin{array}{l}v \\ r\end{array}\right) \bar{a}_{1}^{v-r} \bar{a}_{2}^{r}$. Так как $\bar{a}_{1} a_{1}+\bar{a}_{2} a_{2}$ остается инвариантным, то также остается инвариантным
\[
\begin{aligned}
v !\left(\bar{a}_{1} a_{1}+\bar{a}_{2} a_{2}\right)^{v} & =v ! \sum_{r=0}^{v}\left(\begin{array}{l}
v \\
r
\end{array}\right) \bar{a}_{1}^{v-r} a_{1}^{v-r} \bar{a}_{2}^{r} a^{r}= \\
& =\sum_{r=0}^{v} r !(v-r) !\left(\begin{array}{l}
v \\
r
\end{array}\right)^{2} \bar{a}_{1}^{v-r} \bar{a}_{2}^{r} a_{1}^{v-r} a_{2}^{r}
\end{aligned}
\]

и это выражение преобразуется как (16.7).
Этим доказано, что все $\mathfrak{D}_{J}$-представления $\mathfrak{U}_{2}$ или $\mathfrak{b}$ унитарны. Векторы
\[
\frac{u_{1}^{v-r} u_{2}^{r}}{\sqrt{r !(v-r) !}}
\]

образуют нормированную ортогональную систему для формы (16.7). Отметим еще, что при вращений $\mathfrak{D}_{\gamma}$ с углом вращения $\gamma$ вокруг оси $z$, при котором по (16.4) $u_{1}$ умножается на $e^{-\frac{i \gamma}{2}}$, а $u_{2}$ на $e^{-\frac{i \gamma}{2}}$, вектор (16.8) умножается на $e^{\frac{1}{2} i(v-2 r) \gamma}$. Кроме того, при повороте $\mathfrak{D}_{y}$ вокруг оси $y$ на угол $\pi$, при котором $u_{1}$ и $u_{2}$, переходят по (16.4) в $-u_{2}$ и $u_{1}$, произведение $u_{1}^{v-r} u_{2}^{r}$ переходит в $(-1)^{v-r} u_{1}^{r} u_{2}^{v-r}$.