Пусть заданы преобразование $A$ n-мерного векторного пространства $\mathfrak{R}_{n}$ и преобразование $B$ пространства $\mathfrak{R}_{m}$. В качестве $\mathfrak{R}_{n}$ мы можем взять совокупность линейных форм $c_{1} u_{1}+\cdots+c_{n} u_{n}$ с $n$ переменными $u_{1}, \ldots$, а в качестве $\mathfrak{R}_{m}$ – совокупность линейных форм $d_{1} v_{1}+\cdots+d_{m} v_{m}$. Величины $u_{\lambda}$ и $v_{\rho}$ являются базисными векторами.
$n \cdot m$ линейно-независимых произведений $u_{\lambda} v_{\rho}$ тоже могут быть использованы как базисные элементы векторного пространства, векторы которого имеют форму $\sum c_{\lambda \rho} u_{\lambda} v_{\rho}$. Если теперь мы преобразуем $u$
с помощью $A$ и $v$ с помощью $B$, то и произведение $u_{\lambda} v$ подвергнется линейному преобразованию
\[
u_{\mu}^{\prime} v_{\sigma}^{\prime}=\sum u_{\lambda} v_{\rho} a_{\lambda \mu} \beta_{\rho \sigma},
\]

которое обозначается как произедение преобразований $A \times B$. Оно применяется прежде всего в тех случаях, когда $A$ и $B$ являются представлениями одного и того же оператора $a$ группы $\mathfrak{g}$. При этом $(A \times B) u_{\lambda} v_{\rho}$ является просто результатом применения оператора $a$ к произведению $u_{\lambda} v_{\rho}$. Если $A$ и $B$ образуют два представления $\mathfrak{D}$ и $\mathfrak{D}^{\prime}$ группы $\mathfrak{g}$, то $A \times B$, очевидно, образуют представление той же группы, называемое произведением представлений $\mathfrak{D} \times \mathfrak{D}^{\prime}$.

Таким же образом можно умножить друг на друга более чем два представления. Мы получаем при этом представление типа
\[
\mathfrak{D} \times \mathfrak{D}^{\prime} \times \mathfrak{D}^{\prime \prime}=\left(\mathfrak{D} \times \mathfrak{D}^{\prime}\right) \times \mathfrak{D}^{\prime \prime}=\mathfrak{D} \times\left(\mathfrak{D}^{\prime} \times \mathfrak{D}^{\prime \prime}\right) .
\]

Произведение двух унитарных преобразований тоже унитарно. Доказательство этой теоремы предоставляем читателю.

Пусть $\mathfrak{D}$ и $\tilde{\mathfrak{D}}$ – два неприводимых представления группы $\mathfrak{G}$. Спрашивается, при каком условии в произведении представлений содержится в качестве составной части тождественное представление или, что то же самое, при каком условии в пространстве представлений $\mathfrak{D} \times \tilde{\mathfrak{D}}$ существует инвариантный вектор?

Если $\mathfrak{R}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right)$ – пространство представления $\mathfrak{D}$ и $\mathfrak{S}=\left(v_{1}, \ldots, v_{m}\right)$ пространства представления $\tilde{\mathfrak{D}}$, то каждый вектор пространства произведения имеет вид
\[
w=\sum \sum c_{\lambda \rho} u_{\lambda} v_{\rho}=\sum_{1}^{n} u_{\lambda} v_{\lambda}^{\prime} \quad\left(v_{\lambda}^{\prime}=\sum_{1}^{m} c_{\lambda \rho} v_{\rho}\right) .
\]

Для того чтобы $w$ было инвариантным, по отношению к каждому элементу $a$ группы должно иметь место равенство
\[
a w=\sum_{1}^{n}\left(a u_{\lambda}\right)\left(a v_{\lambda}^{\prime}\right)=\sum_{1}^{n} u_{\lambda} v_{\lambda}^{\prime} .
\]

Положим
\[
a u_{\lambda}=\sum_{1}^{n} u_{\mu} \alpha_{\mu \lambda} .
\]
Это дает
\[
\sum \sum u_{\mu} \alpha_{\mu \lambda} \cdot a v_{\mu}^{\prime}=\sum u_{\mu} v_{\mu}^{\prime}
\]

или
\[
\sum_{1}^{n} \alpha_{\mu \lambda} \cdot a v_{\lambda}^{\prime}=v_{\mu}^{\prime} .
\]

Если мы положим $\alpha_{\mu \lambda}=\alpha_{\lambda \mu}^{\prime}$ (транспонированная матрица) и обозначим через ( $\beta_{\lambda \mu}$ ) матрицу обратную ( $\alpha_{\lambda \mu}$, то (12.1) можно решить относительно $a v_{\lambda}^{\prime}$, после чего, помножив на $\beta_{\mu
u}$ и просуммировав по $\mu$, получаем
\[
a v_{
u}^{\prime}=\sum v_{\mu}^{\prime} \beta_{\mu
u} .
\]

Отсюда, во-первых, следует, что $\left(v_{1}^{\prime}, \ldots, v_{n}^{\prime}\right)$ лвллетсл подпространством $\mathfrak{S}$, инвариантным относительно группы $\mathfrak{g}$. Так как $\mathfrak{S}$ неприводимо, то $\left(v_{1}^{\prime}, \ldots, v_{n}^{\prime}\right)$ совпадает с $\mathfrak{S}$. Поэтому число измерений $m$ равно максимум $n: m \leqslant n$. Меняя ролями $\mathfrak{R}$ и $\mathfrak{S}$, получаем также $n \geqslant m$, откуда $m=n$. Следовательно, векторы $v_{1}^{\prime}, \ldots, v_{n}^{\prime}$ линейно-независимы: они могут быть использованы как базисные векторы для $\mathfrak{S}$ и обозначены через $v_{1}, \ldots, v_{n}$. Формула (12.2) показывает, что элементу группы $a$ в представлении $\tilde{\mathfrak{D}}$ соответствует матрица $\left(\beta_{\lambda \mu}\right)$.

Следовательно, для того чтобы, в пространстве представлений $\mathfrak{D} \times \tilde{\mathfrak{D}}$ существовал инвариантный вектор $w$, матрицы $\tilde{\mathfrak{D}}$, отнесенные к соответственно выбранному базису $\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$, должны быть обратны транспонированным матрицам представления $\mathfrak{D} ; n р и$ этом инвариантный вектор имеет вид
\[
w=\sum_{1}^{n} u_{\lambda} v_{\lambda} .
\]

Соотношение между двумя представлениями $\mathfrak{D}$ и $\tilde{\mathfrak{D}}$, заключающееся в том, что $\sum u_{\lambda} v_{\lambda}$ является инвариантным, естественно, обратимо: матрицы $\mathfrak{D}$ также являются обратными по отношению к транспонированным матрицам представления $\tilde{\mathfrak{D}}$. Представления $\mathfrak{D}$ и $\mathfrak{D}$, связанные между собой таким соотношением, называются контрагредиентными друг к другу. Каждому представлению $\mathfrak{D}$ соответствует контрагредиентное представление $\tilde{\mathfrak{D}}$. Если $\mathfrak{D}$ приводимо, то приводимо
и $\widetilde{\mathfrak{D}}$, и обратно. В случае унитарных представлений транспонированнообратные матрицы ( $\beta_{\lambda \mu}$ ) комплексно-сопряжены с ( $\alpha_{\lambda \mu}$ ) и, следовательно, в этом случае контрагредиентное представление одновременно является и комплексно-сопряженным.

Поэтому, если целиком приводимое представление $\mathfrak{D}=\mathfrak{D}_{1}+\mathfrak{D}_{2}+$ $+\cdots+\mathfrak{D}_{h}$ содержит как составную часть определенное неприводимое представление $\widetilde{\mathfrak{J}}$, контрагредиентное к $\mathfrak{J}$, то для того, чтобы произведение представлений $\mathfrak{D} \times \mathfrak{J}=\mathfrak{D}_{1} \times \mathfrak{J}+\cdots+\mathfrak{D}_{h} \times \mathfrak{J}$ в своем разложении содержало один раз тождественное представление, необходимо и достаточно, чтобы $\mathfrak{J}$ было контрагредиентно к одному из $\mathfrak{D}_{
u}$.

Отсюда следует: для того чтобы произведение представлений $\mathfrak{D} \times \mathfrak{G}$ содержало в качестве составной части неприводимое представление $\widetilde{\mathfrak{J}}$, произведение представлений $\mathfrak{D} \times \mathfrak{G} \times \mathfrak{J}$ должно, по крайней мере раз, содержать тождественное представление. Это соотношение симметрично относительно $\mathfrak{D}, \mathfrak{G}$ и $\mathfrak{J}$.

Для абелевых групп и вообще в случае представлений первой степени произведение представлений довольно тривиально. Если $(\chi(a)$ ) и $\left(\chi^{\prime}(a)\right)$ матрицы, представляющие элемент $a$ группы, то $\left(\chi(a) \chi^{\prime}(a)\right)$ представляющая матрица для $a$ в произведении представлений. Если представление $\mathfrak{D}: a \rightarrow \alpha$ первой степени, а другое представление $\mathfrak{D}^{\prime} a \rightarrow A$ имеет любой характер, то произведение представлений дает $a \rightarrow \alpha A$. Если $\mathfrak{D}^{\prime}$ неприводимо, то $\mathfrak{D} \times \mathfrak{D}^{\prime}$ тоже неприводимо, потому что приводимая система $\alpha A$ при умножении всех матриц на $\alpha^{-1}$ дала бы приводимую систему $A$. Но при представлениях степени выше первой произведение неприводимых представлений может быть приводимо.
ПРимеР 6. Вычислим и разложим на неприводимые произведения представлений $\mathfrak{A}_{0}^{+}, \mathfrak{A}_{0}^{-}, \mathfrak{A}_{1}, \mathfrak{A}_{2}, \ldots$ аксиальной группы инверсий $(\S 10$, пример 3).

Базисными векторами представлений $\mathfrak{A}_{\lambda}$ и $\mathfrak{A}_{\mu}$ (при $\lambda>0$ и $\mu>0$ ) являются $u_{ \pm \lambda}$ и $v_{ \pm \mu}$, а их произведениями – $-u_{\lambda} v_{\mu}, u_{-\lambda} v_{-\mu}, u_{\lambda} v_{-\mu}$ и $u_{-\lambda} v_{\mu}$. Отражение $s_{y}$ переставляет первые два вектора и вторые два вектора между собой. В первой паре при вращении $D_{\varphi}$ появляется множитель $e^{ \pm i(\lambda+\mu) \varphi}$ и она преобразуется поэтому по $\mathfrak{A}_{\lambda+\mu}$. Во второй паре при $D_{\varphi}$ появляется множитель $e^{ \pm i(\lambda-\mu)}$ и она преобразуется в случае $\lambda
eq \mu$ по $\mathfrak{A}_{|\lambda-\mu|}$. В случае $\lambda=\mu$ оба вектора $u_{\lambda} v_{-\lambda}$ и $u_{-\lambda} v_{\lambda}$ остаются инвариантными по отношению к $D_{\varphi}$. Их сумма $u_{\lambda} v_{-\lambda}+u_{-\lambda} v_{\lambda}$ при отражении $s_{y}$ умножается на +1 , а их разность $u_{\lambda} v_{-\lambda}-u_{-\lambda} v_{\lambda}$ – на -1 .Поэтому
\[
\begin{array}{ll}
\mathfrak{A}_{\lambda} \times \mathfrak{A}_{\mu}=\mathfrak{A}_{\lambda+\mu}+\mathfrak{A}_{|\lambda-\mu|} \quad \text { при } \lambda
eq \mu, \quad \text { оба }>0, \\
\mathfrak{A}_{\lambda} \times \mathfrak{A}_{\lambda}=\mathfrak{A}_{2 \lambda}+\mathfrak{A}_{0}^{+}+\mathfrak{A}_{0}^{-} \quad \text { при } \lambda=\mu>0 .
\end{array}
\]

Если $\mu=0^{+}$, то произведение $u_{\lambda} v_{0}$ и $u_{-\lambda} v_{0}$ преобразуется так же, как $u_{\lambda}$ и $u_{-\lambda}$, т. е как $\mathfrak{A}_{1}$. Отсюда следует $\mathfrak{A}_{\lambda} \times \mathfrak{A}_{0}^{+}=\mathfrak{A}_{\lambda}$ (это имеет место также и при $\lambda=0 \pm$ ).

Для $\mu=0^{-}$и $\lambda>0 u_{\lambda} v_{0}$ и $u_{-\lambda} v_{0}$ преобразуются так же, как $u_{\lambda}$ и $u_{-\lambda}$, т. е. как $\mathfrak{A}_{\lambda}$. Это дает
\[
\mathfrak{A}_{\lambda} \times \mathfrak{A}_{0}^{-}=\mathfrak{A}_{\lambda} \quad(\lambda>0) .
\]

Если, наконец, $\lambda=\mu=0^{-}$, то произведение $u_{0} v_{0}$ остается инвариантным при вращении $D_{\varphi}$ и отражении $s_{y}$. Отсюда имеем
\[
\mathfrak{A}_{0}^{-} \times \mathfrak{A}_{0}^{-}=\mathfrak{A}_{0}^{+} .
\]