В области, близкой к единице, оказывается особенно удобным следующее параметрическое представление вращений. Вращение вокруг (направленной) оси $a$ на угол $\varphi$ (измеряемый в определенном направлении) представляется вектором длины $\varphi$ в направлении а, а ортогональные компоненты этого вектора $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ служат в качестве параметров вращения. Тогда пространством параметров является шар радиуса $\pi$, в котором диаметрально противоположные точки поверхности отождествляются. Произведение двух вращений $d_{\alpha}\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$
и $d_{\beta}\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$ является вращением $d_{\beta} d_{\alpha}=d_{\gamma}$, где $\gamma_{
u}=\varphi_{
u}(\alpha, \beta)$ аналитическая функция $\alpha$ и $\beta$, однозначная вблизи нулевой точки и однозначно разрешимая относительно $\beta$. При $\beta=0, \gamma=0$, причем обе функциональные матрицы
\[
S_{\lambda}^{
u}(\alpha)=\left(\frac{\partial \gamma_{
u}}{\partial \beta_{\lambda}}\right)_{\beta=0} \quad \text { и } \quad T_{\lambda}^{
u}(\alpha)=\left(\frac{\partial \beta_{
u}}{\partial \gamma_{\lambda}}\right)_{\gamma=\alpha}
\]
обратны одна другой
\[
S T=E .
\]
Требуется определить все (одно- или многозначные) представления группы вращений $\mathfrak{b}$, при которых каждое вращение $d_{\alpha}$ представляется в области, близкой к единице, линейным преобразованием $D_{\alpha}$, матрица которого непрерывно-дифференцируемо зависит ${ }^{1}$ от параметров $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$, причем для представлений имеет место соотношение
\[
D_{\beta} D_{\alpha}=D_{\gamma}=D_{\varphi(\alpha, \beta)} .
\]
Мы применяем здесь метод бесконечно малых преобразований ЛиКартана ${ }^{2}$.
Применив к вектору $u$ пространства представлений преобразование $D_{\beta}$, получим вектор $v=D_{\beta} u$. При $\beta_{
u}=0$ имеем $v=u$. Для бесконечно малого $\beta_{
u}$ можно разложить $D_{\beta} u$, пренебрегая членами выше первого порядка
\[
v=D_{\beta} u=u+\left(\frac{\partial v}{\partial \beta_{1}}\right)_{0} \beta_{1}+\left(\frac{\partial v}{\partial \beta_{2}}\right)_{0} \beta_{2}+\left(\frac{\partial v}{\partial \beta_{3}}\right)_{0} \beta_{3}+\cdots .
\]
Величины $\left(\frac{\partial v}{\partial \beta_{
u}}\right)_{0}$ линейно зависят от $u$. Поэтому мы полагаем
\[
\left(\frac{\partial v}{\partial \beta_{
u}}\right)_{0}=I_{
u} u \quad(
u=1,2,3)
\]
и будем называть линейные преобразования $I_{
u}(
u=l, 2,3)$ бесконечно малыми преобразованиями, с помощью которых представляются бесконечно малые вращения вокруг осей $X, Y$ и $Z$. Вместо $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ пишут также $I_{x}, I_{y}, I_{z}$.
${ }^{1}$ Требования непрерывности (без дифференцируемости) было бы достаточно, и его можно было бы даже заменить еще более слабым. Этот вопрос не имеет, однако, для нас существенного значения.
${ }^{2}$ Подробное изложение метода и остальные литературные ссылки можно найти в работах H. Weyl, Math. Z., Bd. 23 (1925); Bd. 24 (1924). В них установлены представления весьма общего класса групп, частным случаем которого являются группы вращения и Лоренца.
Будем исходить из фиксированного вектора $u_{0}$ в пространстве представлений и примем
\[
u=D_{\alpha} u_{0}
\]
и
\[
v=D_{\beta} u=D_{\beta} D_{\alpha} u_{0}=D_{\gamma} u_{0} .
\]
Здесь $\gamma_{
u}=\varphi_{
u}(\alpha, \beta)$. Дифференцирование последней формулы по $\beta_{
u}$ (если после дифференцирования принять $\beta_{
u}=0$ ) дает
\[
I_{\lambda} u=\left(\frac{\partial v}{\partial \beta_{\lambda}}\right)_{\beta=0}=\sum_{
u}\left(\frac{\partial v}{\partial \gamma_{
u}}\right)_{\gamma=\alpha}\left(\frac{\partial \gamma_{
u}}{\partial \beta_{\lambda}}\right)_{\beta=0}=\sum_{
u} \frac{\partial u}{\partial \alpha_{
u}} S_{\lambda}^{
u}(\alpha) .
\]
Решая эти линейные уравнения с помощью обратной матрицы $T$, получим
\[
\frac{\partial u}{\partial \alpha_{
u}}=\sum_{\sigma} I_{\sigma} u T_{
u}^{\sigma}(\alpha) .
\]
По Ли это выражение является «характеристическим дифференциальным уравнением» представления.
Заметим, что $T_{
u}^{\sigma}$, зависит только от строения группы вращения, но не от рассматриваемого представления. Так как дифференциальное уравнение (17.1) совместно с начальным условием $u=u_{0}$ для $\alpha=0$ целиком определяет величины $u=D_{\alpha} u_{0}$, то мы получаем следующее правило:
Представление группы вращений целиком определяется своими бесконечно малыми преобразованиями $I_{x}, I_{y}, I_{z}$.
Но операции $I_{x}, I_{y}, I_{z}$ не вполне произвольны, а должны удовлетворять «условиям интегрируемости», получающимся из (17.1), если дифференцировать по $\alpha_{\mu}$ и приравнять произведение $\frac{\partial^{2}}{\partial \alpha_{\mu} \partial \alpha_{
u}}$ и $\frac{\partial^{2}}{\partial \alpha_{\mu} \partial \alpha_{
u}}$. После вычислений получаем
\[
\sum_{\sigma} I_{\sigma} u\left(\frac{\partial T_{
u}^{\sigma}}{\partial \alpha_{\mu}}-\frac{\partial T_{\mu}^{\sigma}}{\partial \alpha_{
u}}\right)+\sum_{\rho} \sum_{\sigma} I_{\rho} I_{\sigma} u\left(T_{\mu}^{\rho} T_{
u}^{\sigma}-T_{
u}^{\rho} T_{\mu}^{\sigma}\right)=0 .
\]
Мы применим это соотношение только для $\alpha=0 .{ }^{1} \mathrm{~B}$ этом случае $T_{\mu}^{\rho}$ – единичная матрица и мы получаем
\[
-\sum_{\sigma} I_{\sigma} u_{0} c_{\mu
u}^{\sigma}+I_{\mu} I_{
u} u_{0}-I_{
u} I_{\mu} u_{0}=0,
\]
${ }^{1}$ Впрочем, и для произвольного $\alpha$ после громоздких вычислений мы получим тот же результат. где для сокращения положено
\[
-c_{\mu
u}^{\sigma}=\left(\frac{\partial T_{
u}^{\sigma}}{\partial \alpha_{\mu}}-\frac{\partial T_{\mu}^{\sigma}}{\partial \alpha_{
u}}\right)_{\alpha=0} .
\]
Ввиду того, что вектор $u_{0}$ совершенно произволен, мы получаем
\[
I_{\mu} I_{
u}-I_{
u} I_{\mu}=\sum_{\sigma} I_{\sigma} c_{\mu
u}^{\sigma} .
\]
Вещественные постоянные $c_{\mu
u}^{\sigma}$ согласно (17.2) зависят только от рассматриваемой группы; их можно определить, если в качестве пространства представлений выбрать, в частности, пространство линейных функций $\psi(x, y, z)=a_{1} x+a_{2} y+a_{3} z$, в котором оператор $I_{
u}$ задается непосредственно (см. §6). Следовательно, найденное для этого случая перестановочное соотношение (6.3) должно иметь место для любого представления. Оно имеет вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
I_{x} I_{y}-I_{y} I_{x} & =I_{z} \\
I_{y} I_{z}-I_{z} I_{y} & =I_{x} \\
I_{z} I_{x}-I_{x} I_{z} & =I_{y}
\end{array}\right\} .
\]
Это фундаментальное перестановочное соотношение дает основу для определения всех возможных представлений. Для того чтобы получить их в удобной форме, введем, как в $\S 6$, операторы
\[
L_{x}=i I_{x} ; \quad L_{y}=i I_{y} ; \quad I_{z}=i I_{z} .
\]
Далее примем
\[
\begin{array}{l}
L_{x}+i L_{y}=L_{p}, \\
L_{x}-i L_{y}=L_{q} .
\end{array}
\]
Перестановочное соотношение (17.4) после вычисления имеет вид ${ }^{1}$
\[
\begin{array}{l}
L_{z} L_{p}-L_{p} L_{z}=L_{p}, \\
L_{z} L_{q}-L_{q} L_{z}=-L_{q}, \\
L_{p} L_{q}-L_{q} L_{p}=2 L_{z} .
\end{array}
\]
${ }^{1}$ Эта форма перестановочного соотношения удобнее потому, что в два первых уравнения входят только два бесконечно малых первичных преобразования (вместо трех, как раньше). Выражения $L_{p}$ и $L_{q}$ получаются, естественным образом, при рассмотрении выражения $T L=L_{z} L-L L_{z}$ как линейного преобразования $T$ в пространстве линейных комбинаций $L=\lambda L_{x}+\mu L_{y}+
u L_{z}$ и отнесении его к главным осям. Собственными векторами являются $L_{p}, L_{q}$ и $L_{z}$, соответствующие собственные значения $1,-1,0$.
Пусть задано представление группы вращений в векторном пространстве $\mathfrak{R}$ (с конечным числом измерений). В нем, естественно, содержится также и представление той абелевой подгруппы, которая слагается из вращений $(0,0, \gamma)$ вокруг оси $z$. Это представление, согласно второму примеру $\S 10$, можно разложить на неприводимые и получить ряд базисных векторов $v_{M}$, у которых при вращений появляется множитель $e^{i M \gamma}$ (при однозначном представлении $M$ должно быть целочисленным, но этого может и не быть, если представление однозначно только вблизи единицы). Мы имеем соотношение
\[
L_{z} v_{M} i I_{z} v_{M}=i\left(\frac{\partial}{\partial \gamma} D(0,0, \gamma) v_{M}\right)_{\gamma=0}=i\left(\frac{\partial}{\partial \gamma} e^{-i M \gamma} v_{M}\right)_{\gamma=0}=M v_{M}
\]
Поэтому векторы $v_{M}$ являются собственными векторами оператора $L_{z}$ для собственного значения $M$. Следовательно, мы можем их также получить путем преобразования оператора $L$ к главным осям.
Лемма. Если вектор $v$ относится $к$ собственному значению $M$ оператора $L_{z}$, то $L_{p} v$ относится к собственному значению $(M+1)$, а $L_{q} v$ – к собственному значению ( $M-1$ ) оператора $L_{z}$.
Доказательство.
Из $L_{z} v=M v$ следует
\[
L_{z} L_{p} v=\left(L_{p} L_{z}+L_{p}\right) v=L_{p} M v+L_{p} v=(M+1) L_{p} v
\]
и соответственно
\[
L_{z} L_{q} v=(M-1) L_{q} v .
\]
Этим и доказывается лемма.
Отыщем теперь в пространстве $\mathfrak{R}$ вектор $v_{J}$, соответствующий наибольшему возможному значению оператора $L_{z}$; (или в случае мнимых собственных значений относящийся к собственному значению с наибольшей вещественной частью). Тогда $L_{p} v_{J}$ относится к собственному значению $J+1$. Но так как $J$ является максимальным возможным значением, то $L_{p} v_{J}=0$ должно быть равно нулю. Далее имеем
\[
\begin{array}{ll}
v_{J-1}=L_{q} v_{J} & \text { относится к собственному значению } J-1, \\
v_{J-2}=L_{q} v_{J-1} & \text { относится к собственному значению } J-2 .
\end{array}
\]
Ряд можно продолжить до нулевого вектора, который, в конце концов, должен появиться, так как в пространстве $\mathfrak{R}$ может существовать только конечное число собственных значений.
Легко показать, что при $\mathrm{M}=J, J-1, J-2, \ldots$
\[
L_{p} v_{M}=\rho_{M} v_{M+1},
\]
где $\rho_{M}$ – целое число. Эта формула, конечно, правильна для значений больших, чем $M=J$, причем $\rho_{J}=0$, так как $L_{p} v_{J}=0$. Мы покажем, что она справедлива при $M=\mu-1$, если она выполняется при $M=\mu$. Действительно,
\[
L_{\rho} v_{\mu-1}=L_{p} L_{q} v_{\mu}=\left(I_{q} I_{p}+2 I_{z}\right) v_{\mu}=L_{q} \rho_{\mu} v_{\mu+1}+2 \mu v_{\mu}=\left(\rho_{\mu}+2 \mu\right) v_{\mu} .
\]
Этим и доказано (17.6).
Для $\rho_{M}$ мы получаем рекурсионное равенство
\[
\rho_{\mu-1}=\rho_{\mu}+2 \mu ; \quad \rho_{J}=0 .
\]
Решение этого равенства имеет вид
\[
\rho_{M}=J(J+1)-M(M+1) .
\]
Должен существовать один нулевой $v_{M}=0$, тогда как следующий член $v_{M+1}
eq 0$, при этом должно иметь место $\rho M=0$. Но отсюда следует $M=-(J+1)$, так как уравнение
\[
J(J+1)-x(x+1)=0
\]
имеет только корни $x=J$ и $x=-(J+1)$, а значение $M=J$ не может иметь места при $v_{J}
eq 0$. Таким образом, первым нулевым вектором в ряду $v_{J}, v_{J-1}, v_{J-2}, \ldots$, будет $v_{-(J+1)}$. Число членов ряда $v_{J}, v_{J-1}, \ldots, v_{-J}$ равно $2 J+1$, следовательно, $2 J+1$ является целым числом, а $J$ половиной целого числа.
Возможные значения $J$
\[
J=0, \frac{1}{2}, 1,1 \frac{1}{2}, \ldots
\]
Чтобы достичь наибольшей симметричности формул, можно снабдить $v_{M}$ численным множителем и принять
\[
L_{q} v_{M}=\sqrt{J(J+1)-M(M-1)} \cdot v_{M-1},
\]
тогда имеем
\[
\left.\begin{array}{rl}
L_{p} v_{M} & =\sqrt{J(J+1)-M(M+1)} \cdot v_{M+1}= \\
& =\sqrt{(J-M)(J+M+1)} \cdot v_{M+1}, \\
L_{q} v_{M} & =\sqrt{J(J+1)-M(M-1)} \cdot v_{M-1}= \\
& =\sqrt{(J+M)(J-M+1)} \cdot v_{M-1}, \\
L_{z} v_{M} & =M v_{M} .
\end{array}\right\}
\]
Подпространство $\left(v_{J}, v_{J-1}, \ldots, v_{-J}\right.$ ) нашего векторного пространства $\mathfrak{R}$ преобразуется в самого себя операциями $L_{p}, L_{q}, L_{z}$, а следовательно, и бесконечно малыми вращениями $I_{x}, I_{y}, I_{z}$. Отсюда следует, что это подпространство преобразуется в самого себя также всеми преобразованиями представления группы вращений, т. е. векторы $v_{J}, v_{J-1}, \ldots, v_{-J}$ определяют инвариантное подпространство $\Re_{2 J+1}$.
Преобразования этого подпространства образуют представление группы вращений, полностью определяемое уравнением (17.8). В пространстве $\mathfrak{R}_{2 J+1}$ оператор $L_{z}$ имеет простые собственные значения $M=J, J-1, \ldots,-J$ с собственными векторами $v_{M}$. Отметим еще, что все векторы пространства $\mathfrak{R}_{2 J+1}$ являются собственными векторами оператора
\[
\mathfrak{L}^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\frac{1}{2}\left(L_{p} L_{q}+L_{q} L_{p}\right)+L_{z}^{2} .
\]
Из (17.8) после простых вычислений получаем
\[
\mathfrak{L}^{2} v_{M}=J(J+1) v_{M} .
\]
Пространство $\mathfrak{R}_{2 J+1}$ неприводимо. Действительно, если $\mathfrak{R}^{\prime}$ инвариантное подпространство $\mathfrak{R}_{2 J+1}$ и $v^{\prime}$ собственный вектор $L_{z}$ в пространстве $\mathfrak{R}^{\prime}$, то $v^{\prime}$ должно совпадать с одним из векторов $v_{J}, \ldots, v_{-J}$ с точностью до множителя (так как в $\mathfrak{R}_{2 J+1}$ не содержится других собственных векторов $L_{z}$ ). Преобразования $L_{q}$ и $L_{p}$ по (17.8) образуют из $v^{\prime}=v_{M}$ все остальные $v_{M}(M=J, J-1, \ldots,-J)$. Поэтому все эти $v_{M}$ принадлежат к $\mathfrak{R}^{\prime}$, и $\mathfrak{R}^{\prime}$ является всем пространством $\mathfrak{R}_{2 J+1}$, что и требовалось доказать.
Определяемое формулами (17.8) представление степени $2 J+1$ эквивалентно найденному в предыдущем параграфе представлению, обозначенному через $\mathfrak{D}_{J}$.
Действительно, в пространстве (.., $\left.u_{1}^{v-r} u_{2}^{r}, \ldots\right)$ представления $\mathfrak{D}_{J}$ базисные векторы $u_{1}^{v-r} u_{2}^{r}$ при вращений $(0,0, \gamma)$ умножаются на $e^{i M \gamma}=e^{\frac{1}{2} i(v-2 r)}$, а следовательно, значения $M=r-\frac{1}{2} v$ $\left(=\frac{1}{2} v, \frac{1}{2} v-1, \ldots,-\frac{1}{2} v\right.$ ) появляются по одному разу. Если теперь построить в этом пространстве подпространство $\mathfrak{R}_{2 J+1}$ вышеописанной структуры, то $\mathfrak{R}_{2 J+1}$ совпадет со всем пространством (так как оба имеют одинаковое число измерений).
Величины $v_{M}$ пространства $\mathfrak{R}_{2 J+1}$ должны совпадать с произведениями $u_{1}^{J+M} u_{2}^{J-M}$ представления $\mathfrak{D}_{J}$ с точностью до численного множителя. Вычисляя численный множитель, получим
\[
v_{M}=\frac{u_{1}^{J+M} u_{2}^{J-M}}{\sqrt{(J+M) !(J-M) !}} .
\]
Эти $v$ образуют одновременно, согласно $\S 16$, нормированную ортогональную систему.
Совершенно таким же образом доказываем, что, когда $J$ равно целому числу $l$, представление $\mathfrak{D}_{l}$, определенное формулой (17.8), совпадает с представлением, выраженным с помощью шаровых функций $l$-го порядка $Y_{l}^{(m)}$. В самом деле, число последних равно $2 l+1$ и поэтому наибольшее собственное значение оператора $L_{z}, m=l$. Итак, шаровые функиии $Y_{l}^{(m)}$ преобразуются согласно неприводимому представлению $\mathfrak{D}_{l}$, т. е. мы можем выбрать нормирующий множитель шаровых функций $Y_{l}^{(m)}$ таким образом, чтобы для них точно выполнялись уравнения (17.8). Отсюда также следует, что $\mathfrak{D}_{l}$ является однозначным представлением ${ }^{1}$. Например, функции $r Y_{1}^{(1)}=-(x+i y), r Y_{1}^{(0)}=\sqrt{2} z$, $r Y_{1}^{(-1)}=x-i y$ преобразуются по представлению $\mathfrak{D}_{1}$.
Наконец, докажем следующее:
Каждое неприводимое представление эквивалентно одному из представлений $\mathfrak{D}_{J}$, определяемых в формуле (17.8). Действительно, пространство $\mathfrak{R}_{2 J+1}$, построенное в пространстве представлений, в случае неприводимости должно совпадать со всем пространством.
Вышеприведенное исследование дает возможность в каждом случае найти разложение любого представления $\mathfrak{D}$ на неприводимые $\mathfrak{D}_{J}$. Для этой цели надо только установить в рассматриваемом пространстве собственные векторы оператора $L_{z}$ и распределить соответствующие собственные значения по их величине. Если $J$ наибольшее входящее сюда целое или половинное собственное значение, то в $\mathfrak{D}$ содержится представление $\mathfrak{D}_{J}$, в пространстве которого по одному разу содержатся собственные значения $J, J-1, \ldots,-J$. Среди оставшихся собственных значений мы ищем наибольшее значение $J^{\prime}$, выделяем представление $\mathfrak{D}_{J^{\prime}}$ и т. д., пока не будут размещены все собственные значения.
${ }^{1}$ Для нецелых значений $J$ представление $\mathfrak{D}_{J}$ неоднозначно, так как при повороте $(0,0, \gamma)$ вектор $v_{J}$ умножается на $e^{-i J \gamma}$, что при $\gamma=2 \pi$ и $J=$ целое $+\frac{1}{2}$ дает -1 .
