Мы преднамеренно дали в § 22 обоснование свойств преобразования волновых функций «вращающегося электрона» независимо от какоголибо частного волнового уравнения. Поэтому эти свойства имеют общий характер и применимы также к случаю многих электронов. Для одноэлектронной задачи Дирак ${ }^{1}$ нашел уравнение, которое, как и релятивистское уравнение Шредингера, инвариантно относительно преобразования Лоренца, но кроме того, до некоторой степени автоматически дает правильное описание магнитного действия спина (22.8) и элегтричсского спинового возмущснил, лвллющсгосл причиной дублстного расщепления энергетических уровней в щелочных и водородных атомах.
Как известно, релятивистское уравнение Шредингера имеет вид
\[
\left(c^{-2} d_{t}^{2}-d_{x}^{2}-d_{y}^{2}-d_{z}^{2}\right) \Psi=\mu^{2} c^{2} \Psi,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
d_{x}=p_{x}+\frac{e}{c} \mathfrak{A}_{x}\left(p_{x}=\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}\right), \text { и т. д., } \\
d_{t}=-i \hbar \frac{\partial}{\partial t}-e \varphi,
\end{array}
\]

причем $\varphi$ обозначает электрический (скалярный) и $\mathfrak{A}$ – магнитный потенциал, т. е.
\[
\begin{array}{c}
\mathfrak{E}=-
abla \varphi-\frac{1}{c} \frac{\partial \mathfrak{A}}{\partial t}, \\
\mathfrak{H}=\operatorname{rot} \mathfrak{A} \\
\operatorname{div} \mathfrak{A}+\frac{1}{c} \frac{\partial \varphi}{\partial t}=0 .
\end{array}
\]

Приняв в (23.1)
\[
\Psi=e^{-i \hbar^{-1}\left(\mu c^{2}+E\right) t} \psi(x, y, z)
\]
${ }^{1}$ Dirac, P. A. M., Proc. Roy. Soc. (A) Bd. 117, (1928); S. 610, Bd. 118, S. 351 (1928). Darwin. C. G., Ebendort, Bd. 118, S. 654 (1928).
и поделив на $2 \mu e^{-i \hbar^{-1}\left(\mu c^{2}+E\right) t}$, получим
\[
-\frac{\hbar^{2}}{2 \mu} \Delta \psi+\frac{e}{\mu c}(\mathfrak{A} \mathfrak{p}) \psi-(E+e \varphi) \psi+\frac{1}{2 \mu c^{2}}\left(e^{2} \mathfrak{A}^{2}-(E+e \varphi)^{2}\right) \psi=0 .
\]

С точностью до последнего члена, так называемой «релятивистской поправки», это уравнение совпадает с бесспиновым уравнением Шредингера, которым мы до сих пор пользовались. К сожалению, уравнение (23.3) не имеет вида задачи собственных значений, так как $E$ входит в него квадратично. Это обстоятельство связано с тем, что исходное уравнение (23.1) является дифференциальным уравнением второго порядка относительно времени. Это между прочим и заставило Дирака преобразовать уравнение так, чтобы оно свелось к уравнению первого порядка.

Чтобы прийти к уравнению Дирака, заменим сначала функцию $\Psi$ в (23.1) по $\S 22$ парой функций $\left(\Psi_{1}, \Psi_{2}\right)$. Затем попробуем в левой части уравнения разложить на два множителя оператор
\[
c^{-2} d_{t}^{2}-d_{x}^{2}-d_{y}^{2}-d_{z}^{2} .
\]

Это достигается (с точностью до малых дополнительных членов, к которым мы еще вернемся) при помощи двухрядных матриц $\sigma_{x}, \sigma_{y}, \sigma_{z}(\S 20)$. Пользуясь легко проверяемыми соотношениями
\[
\begin{array}{lll}
\sigma_{x}^{2}=1, & \sigma_{y} \sigma_{z}=i \sigma_{x}, & \sigma_{z} \sigma_{y}=-i \sigma_{x}, \\
\sigma_{y}^{2}=1, & \sigma_{z} \sigma_{x}=i \sigma_{y}, & \sigma_{x} \sigma_{z}=-i \sigma_{y}, \\
\sigma_{z}^{2}=1, & \sigma_{x} \sigma_{y}=i \sigma_{z}, & \sigma_{y} \sigma_{x}=-i \sigma_{z},
\end{array}
\]

имеем
\[
\begin{array}{l}
c^{-2} d_{t}^{2}-d_{x}^{2}-d_{y}^{2}-d_{z}^{2}= \\
\quad=\left(c^{-1} d_{t}-d_{x} \sigma_{x}-d_{y} \sigma_{y}-d_{z} \sigma_{z}\right)\left(c^{-1} d_{t}+d_{x} \sigma_{x}+d_{y} \sigma_{y}+d_{z} \sigma_{z}\right) .
\end{array}
\]

Это разложение справедливо, если все операторы $d_{t}, d_{x}, d_{y}, d_{z}$ коммутируют между собой, что имеет место только в случае постоянных потенциалов $\mathfrak{A}, \varphi$. В результате разложения получается волновое уравнение
\[
\left(c^{-1} d_{t}-d_{x} \sigma_{x}-d_{y} \sigma_{y}-d_{z} \sigma_{z}\right)\left(c^{-1} d_{t}+d_{x} \sigma_{x}+d_{y} \sigma_{y}+d_{z} \sigma_{z}\right) \Psi=\mu^{2} c^{2} \Psi,
\]
совпадающее с (23.1) только в случае постоянных потенциалов. Предположим, что это разложенное уравнение правильно. В случае непостоянного потенциала операторы $d_{t}, d_{x}, d_{y}, d_{z}$ не коммутируют между собой, и мы имеем
\[
\left.\begin{array}{rl}
d_{y} d_{z}-d_{z} d_{y}=\frac{\hbar e}{i c}\left(\frac{\partial \mathfrak{A}_{z}}{\partial y}-\frac{\partial \mathfrak{A}_{y}}{\partial z}\right)=\frac{\hbar e}{i c} \mathfrak{H}_{x}, \\
d_{z} d_{x}-d_{x} d_{z}=\frac{\hbar e}{i c}\left(\frac{\partial \mathfrak{A}_{x}}{\partial z}-\frac{\partial \mathfrak{A}_{z}}{\partial x}\right)=\frac{\hbar e}{i c} \mathfrak{H}_{y}, \\
d_{x} d_{y}-d_{y} d_{x}=\frac{\hbar e}{i c}\left(\frac{\partial \mathfrak{A}_{y}}{\partial x}-\frac{\partial \mathfrak{A}_{x}}{\partial y}\right)=\frac{\hbar e}{i c} \mathfrak{H}_{z}, \\
d_{t} d_{x}-d_{x} d_{t}=\frac{\hbar e}{i}\left(\frac{1}{c} \frac{\partial \mathfrak{A}_{x}}{\partial t}+\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)=-\frac{\hbar e}{i} \mathfrak{E}_{x}, \\
d_{t} d_{y}-d_{y} d_{t}=\frac{\hbar e}{i}\left(\frac{1}{c} \frac{\partial \mathfrak{A}_{y}}{\partial t}+\frac{\partial \varphi}{\partial y}\right)=-\frac{\hbar e}{i} \mathfrak{E}_{y}, \\
d_{t} d_{z}-d_{z} d_{t}=\frac{\hbar e}{i}\left(\frac{1}{c} \frac{\partial \mathfrak{A}_{x}}{\partial t}+\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=-\frac{\hbar e}{i} \mathfrak{E}_{z} .
\end{array}\right\}
\]

Если в (23.4) производить вычисление с помощью этих перестановочных соотношении, то мы получаем следующие дополнительные члены к левой части волнового уравнения (23.1):
\[
\frac{\hbar e}{i c}\left(\mathfrak{E}_{x} \sigma_{x}+\mathfrak{E}_{y} \sigma_{y}+\mathfrak{E}_{z} \sigma_{z}\right) \Psi-\frac{\hbar e}{c}\left(\mathfrak{H}_{x} \sigma_{x}+\mathfrak{H}_{y} \sigma_{y}+\mathfrak{H}_{z} \sigma_{z}\right) \Psi .
\]

Если мы хотим ввести соответствующие члены в (23.3), то должны поделить на $-2 \mu$. Введем теперь вектор спина $\mathfrak{S}$ с компонентами $\frac{1}{2} \sigma_{x}, \frac{1}{2} \sigma_{y}, \frac{1}{2} \sigma_{z}$ (ср. (22.7)); при этом дополнительные члены в (23.3) принимают вид
\[
\frac{\hbar e}{i \mu c}(\mathfrak{E S}) \psi+\frac{\hbar e}{\mu c}(\mathfrak{H S}) \psi \text {. }
\]

Магнитный дополнительный член совпадает с (22.8), что говорит о правильности разложения на множители (23.4). Электрический дополнительный член дает «спиновое возмущение» термов в отсутствии внешнего магнитного поля.
Уравнение (23.4), очевидно, эквивалентно следующей паре уравнений
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(\frac{1}{c} d_{t}+d_{x} \sigma_{x}+d_{y} \sigma_{y}+d_{z} \sigma_{z}\right) \Psi=-\mu c \dot{\Psi} \\
\left(\frac{1}{c} d_{t}-d_{x} \sigma_{x}-d_{y} \sigma_{y}-d_{z} \sigma_{z}\right) \dot{\Psi}=-\mu c \Psi
\end{array}\right\},
\]

где $\dot{\Psi}$ – отличная от $\Psi$ функция $^{1}$ с компонентами $\Psi^{\dot{1}}$ и $\Psi^{\dot{2}}$.
Релятивистская инвариантность уравнения (23.7) сразу обнаруживается, если ввести обозначения $\S 20$ и положить $\frac{1}{c} d_{t}=d_{0}=-d^{0}$, $d_{x}=d_{1}=d^{1}$ и т. д. При этом уравнения принимают вид
\[
\begin{array}{l}
d^{k} \sigma_{k}^{\prime \dot{
u} \lambda} \Psi_{\lambda}=\mu c \Psi^{\dot{
u}}, \\
d^{k} \sigma_{k \lambda \dot{
u}} \Psi^{\dot{
u}}=\mu c \Psi_{\lambda} . \\
\end{array}
\]

Инвариантность этой пары уравнений при собственных и несобственных преобразованиях Лоренца была доказана в $\S 20$.

Уже в §20 было отмечено, что если хотят дополнить представление $\mathfrak{c}_{2}$ собственной группы Лоренца до представления полной группы, то необходимо ввести вторую пару компонент $\Psi^{\dot{
u}}$ наряду с $\Psi_{\lambda}$. Иначе выражаясь: введение $\Psi^{\dot{
u}}$ необходимо для того, чтобы волновое уравнение было инвариантно не только при собственном преобразовании Лоренца, но и при пространственном отражении. Кроме того, этим введением мы достигаем того, что волновое уравнение (23.8) оказывается линейным относительно $\frac{\partial}{\partial t}$ и принимает форму $\left(\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t}+H\right) \Psi=0$, где $H$ – линейный самосопряженный оператор. Соответственно этому стационарные состояния также определяются уравнением, имеющим вид уравнения линейной самосопряженной задачи собственных значений $H_{\psi}=E_{\psi}$, собственные значения которого поэтому, наверное, вещественны. Все эти аргументы говорят в пользу правильности волнового уравнения Дирака так же, как и вывод тонкой структуры водорода в $\S 24$.

Еще непреодоленная трудность заключается в том, что уравнение Дирака (так же, как и релятивистское уравнение Шредингера), кроме положительных значений энергии, обладает и отрицательными порядка $-m c^{2}$, не имеющими никакого физического смысла. Эта трудность,
${ }^{1}$ Функция $\dot{\Psi}$ удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка, получающемуся из (23.4) при перестановке обоих множителей в левой части. Эта перестановка соответствует изменению знака первого члена в (23.6).

кроме того, усиливается тем, что релятивистская функция $\Psi$ имеет четыре вместо двух компонент. Это означает, что электрон, кроме степени свободы спина, должен обладать и другими, еще не наблюдавшимися, степенями свободы ${ }^{1}$.

Во многих исследованиях целесообразно вместо четырех компонент $\Psi_{\lambda}, \Psi^{\dot{\mu}}$ вводить четыре другие компоненты $\Psi_{\lambda}^{s}, \Psi_{\lambda}^{a}$ при помощи
\[
\Psi_{\lambda}^{s}=\Psi_{\lambda}+\dot{\Psi}^{\lambda}, \quad \Psi_{\lambda}^{a}=\Psi_{\lambda}-\dot{\Psi}^{\lambda} . \quad(\lambda=1,2)
\]

Точно так же, как $\Psi_{\lambda}, \Psi^{\dot{\lambda}}$ соответствуют разложению четырехмерного векторного пространства, связанного с собственной группой Лоренца, на неприводимые подпространства, $\Psi_{\lambda}^{s}, \Psi_{\lambda}^{a}$ соответствуют разложению на неприводимые подпространства, связанные с группой вращении и отражений. Именно при вращении $\Psi_{\lambda}^{s}$ и $\Psi_{\lambda}^{a}$ преобразуются так же, как $\Psi_{\lambda}$ и $\Psi^{\dot{\lambda}}$, тогда как при отражении $s$
\[
s \Psi_{\lambda}^{s}=\Psi_{\lambda}^{s} ; \quad s \Psi_{\lambda}^{a}=-\Psi_{\lambda}^{a} .
\]

Из формулы (23.7) сложением и вычитанием после умножения на $c$ получаем
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(d_{t}+\mu c^{2}\right) \Psi^{s}+c\left(d_{x} \sigma_{x}+d_{y} \sigma_{y}+d_{z} \sigma_{z}\right) \Psi^{a}=0, \\
\left(d_{t}-\mu c^{2}\right) \Psi^{a}+c\left(d_{x} \sigma_{x}+d_{y} \sigma_{y}+d_{z} \sigma_{z}\right) \Psi^{s}=0 .
\end{array}\right\}
\]

Это – уравнения, первоначально установленные Дираком. Для стационарных состояний принимаем
\[
\Psi_{\lambda}^{s, a}=e^{-i \hbar^{-1} E t} \psi_{\lambda}^{s, a}, \quad(\lambda=1,2)
\]

где $\Psi_{\lambda}^{s, a}$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(E+e \varphi-\mu c^{2}\right) \psi^{s}=c\left(d_{x} \sigma_{x}+d_{y} \sigma_{y}+d_{z} \sigma_{z}\right) \psi^{a}, \\
\left(E+e \varphi+\mu c^{2}\right) \psi^{a}=c\left(d_{x} \sigma_{x}+d_{y} \sigma_{y}+d_{z} \sigma_{z}\right) \psi^{s} .
\end{array}\right\}
\]

Если нас интересуют состояния с положительной энергией, для которых $E$ лежит вблизи $\mu c^{2}$, то множитель $E+e \varphi+\mu c^{2}$ очень велик по сравнению с $E+e \varphi-\mu c^{2}$, так что $\psi^{a}$ должно быть очень мало по сравнению с $\psi^{s}$. Поэтому можно отождествить $\psi^{s}$ с компонентами функции $\psi$
${ }^{1}$ Cм. об этом: E. Schroedinger, Berl. Ber. 1931 и V. Fock, Z. f. Physik, Bd. 68, S. 522534 (1931).

В настоящее время это затруднение блестяще преодолено (см. дополнение 4). (Прим. ред.).

нерелятивистской теории (Паули), тогда как $\psi^{a}$ до некоторой степени представляют релятивистское возмущение. Дифференциальное уравнение второго порядка для $\psi^{s}$, если принять $E=\mu c^{2}+E^{\prime}$, имеет вид
\[
\left.\begin{array}{rl}
-\frac{\hbar^{2}}{2 \mu} \Delta \psi^{s} & +\left\{-E^{\prime}-e \varphi-\frac{1}{2 \mu c^{2}}\left(E^{\prime}+e \varphi\right)^{2}+\frac{e}{\mu c}(\mathfrak{A} \mathfrak{p})+\right. \\
+ & \left.\frac{e^{2}}{2 \mu c^{2}} \mathfrak{A}^{2}+2 \varkappa(\mathfrak{H} \cdot \mathfrak{S})\right\} \psi^{s}-2 \varkappa i(\mathfrak{E} \cdot \mathfrak{S}) \psi^{a}=0
\end{array}\right\}
\]
c
\[
\psi^{a}=\left(E+e \varphi+\mu c^{2}\right)^{-1} c\left(d_{x} \sigma_{x}+d_{y} \sigma_{y}+d_{z} \sigma_{z}\right) \psi^{s} .
\]

До сих пор не удалось найти удовлетворительного релятивистского волнового уравнения более, чем для одного электрона. Это объясняется тем, что вследствие инвариантности относительно преобразования Лоренца, кроме $3 f$ координат $f$ электронов, необходимо ввести в волновое уравнение еще $f$ различных времен; поэтому уравнение не будет обладать желаемой формой
\[
\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t} \Psi+H \Psi=0 .
\]

Решение этих затруднений, возможно, будет дано последовательной квантовой механикой волнового поля ${ }^{1}$.