Докажем сначала две вспомогательные теоремы из теории групп. Первая вспомогательная теорема. Пусть два представления $\mathfrak{D}, \mathfrak{D}^{\prime}$ группы $\mathfrak{G}$ в пространствах $\mathfrak{R}=\left(u_{1}, \ldots, u_{n}\right) u \mathfrak{R}^{\prime}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ onределяются совершенно одинаковыми формулами
\[
\begin{array}{l}
a u_{\mu}=\sum_{\lambda} u_{\lambda} \alpha_{\lambda \mu}, \\
a v_{\mu}=\sum_{\lambda} \alpha_{\lambda \mu},
\end{array}
\]

с той разницей, что векторы и образуют линейно-независимый базис для $\mathfrak{R}$, тогда как $v_{\mu}$ линейно-зависимы. Представление $\mathfrak{D}$ целиком приводимо
\[
\mathfrak{D}=\mathfrak{D}_{1}+\cdots+\mathfrak{D}_{k} .
\]

Тогда $\mathfrak{D}^{\prime}$ также иеликом приводимо и разложение $\mathfrak{D}^{\prime}$ получается вычеркиванием некоторых представлений в правой части формулы (19.1). Доказательство.

Если сопоставить каждому вектору $u=\sum_{\lambda} c_{\lambda} u_{\lambda}$ вектор $v=\sum_{\lambda} c_{\lambda} v_{\lambda}$, то сумме двух векторов также будет соответствовать сумма, а произведению $a u$ – произведение $a v$; таким образом, это соответствие является операторным гомоморфизмом. Следовательно, по теореме $4 \S 11$, имеем
\[
\mathfrak{R}^{\prime} \cong \mathfrak{r}_{1}^{\prime}+\cdots+\mathfrak{r}_{h}^{\prime},
\]

где $\mathfrak{r}^{\prime}$ – некоторое неприводимое подпространство, входящее в разложение $\mathfrak{R}$.

В первую очередь мы применим эту теорему к произведению представлений. Пусть имеются некоторые величины $U_{j}^{(m)}$ и $V_{j^{\prime}}^{\left(m^{\prime}\right)}$ (собственные функции или что-либо другое), которые преобразуются по $\mathfrak{D}_{j}$ и $\mathfrak{D}_{j^{\prime}}$, и мы хотим знать, как будет преобразовываться произведение $U_{j}^{(m)} V_{j^{\prime}}^{\left(m^{\prime}\right)}$. Если мы заменим $U, V$ таким же количеством независимых переменных $u, v$, то произведения $u_{j}^{(m)} v_{j^{\prime}}^{\left(m^{\prime}\right)}$ будут преобразовываться по $\mathfrak{D}_{j} \times \mathfrak{D}_{j^{\prime}}=\sum_{J} \mathfrak{D}_{J} ; J=j+j^{\prime}, \ldots,\left|j-j^{\prime}\right|$. Если мы опять заменим в этом преобразовании $u, v$ через $U, V$, то оно сохраняет свою форму, но произведения могут оказаться линейно-зависимыми. Поэтому, согласно нашей вспомогательной теореме, они преобразуются по представлению $\sum \mathfrak{D}_{J}$, в которое входят некоторые из возможных значений $J=j+j^{\prime}, \ldots,\left|j-j^{\prime}\right|$ (но возможно и все).
Вторая вспомогательная теорема. Если замкнутая ортогональная система
\[
\varphi_{1}^{(1)}, \ldots, \varphi_{1}^{\left(h_{1}\right)} ; \quad \varphi_{2}^{(1)}, \ldots, \varphi_{2}^{\left(h_{2}\right)} ; \ldots
\]

определена так, что при каждом $\lambda$ совокупность функций $\varphi_{\lambda}^{(1)}, \ldots, \varphi_{\lambda}^{\left(h_{\lambda}\right)}$ при заданной группе преобразований $\mathfrak{G}$ (например, при пространственных вращениях) претерпевает неприводимое представление $\mathfrak{D}_{\lambda}$ и, если совокупность функций $\psi^{(1)}, \ldots, \psi^{(h)}$, претерпевающая при той же группе соответствующее целиком приводимое представление $\mathfrak{D}$, разлагается по ортогональной системе (19.2), то в разложение входят только такие $\varphi_{\lambda}^{(
u)}$ представления, $\mathfrak{D}_{\lambda}$ которых содержатся в качестве составных частей в представлении $\mathfrak{D}$.
Доказательство.
Если $\psi$ – линейная комбинация функций $\psi^{(1)}-\psi^{(h)}$, то
\[
\psi \sim \sum_{1}^{h_{1}} a_{1
u} \varphi_{1}^{(
u)}+\sum_{1}^{h_{2}} a_{2
u} \varphi_{2}^{(
u)}+\cdots=\omega_{1}+\omega_{2}+\cdots .
\]

Так как $\psi$ однозначно определяет все компоненты $a_{\lambda
u}$, то, следовательно, $\omega_{1}, \omega_{2}$ и т. д. также однозначно определяются. Соответствие $\psi \rightarrow \omega_{\lambda}$
является линейным отображением совокупности $(\psi)=\left(\psi^{(1)}, \ldots, \psi^{(h)}\right)$ в совокупности $\left(\psi_{\lambda}^{(1)}, \ldots, \psi_{\lambda}^{\left(h_{\lambda}\right)}\right.$ ), так как сумма соответствует сумме, и произведение $\alpha \psi$ соответствует произведению $\alpha \omega_{\lambda}$. Но к (19.3) можно далее применить преобразование $t$ группы $\mathfrak{G}$ и получить
\[
t \psi=t \omega_{1}+t \omega_{2}+\cdots,
\]

где $t \omega_{\lambda}$ является опять линейной комбинацией той же формы, что и $\omega_{\lambda}$. Следовательно, в нашем отображении $t \psi$ соответствует $t \omega_{\lambda}$, т. е. отображение является операторным гомоморфизмом совокупности $(\psi)$ в совокупности $\left(\omega_{\lambda}\right)$. Эта совокупность $\left(\omega_{\lambda}\right.$ ) либо состоит из нуля, либо тождественна со всей неприводимой совокупностью $\left(\varphi_{\lambda}^{(1)}, \ldots, \varphi_{\lambda}^{\left(h_{\lambda}\right)}\right)$ и преобразуется по $\mathfrak{D}_{\lambda}$. Согласно теоремам $\S 11$ в последнем случае $\mathfrak{D}_{\lambda}$ должно являться составной частью разложения представления $\mathfrak{D}$, что и требовалось доказать.

Дополнение ко второй вспомогательной теореме. Будем заменять функцию $\psi$ последовательно функциями $\psi^{(1)}, \ldots, \psi^{(h)}$ и соответственно этому снабдим коэффициенты $a_{1
u}, a_{2
u}, \ldots$ верхим индексом $\mu=(1,2,3, \ldots, h)$. Тогда коэффициент $a_{1
u}^{(\mu)}$ (и точно так же $a_{2
u}^{(\mu)}$ и т.д.) однозначно определяется теорией групп с точностью до общего множителя $\rho_{1}$, если представления $\mathfrak{D}$ и $\mathfrak{D}_{1}$ известны, в предположении, что в разложение представления $\mathfrak{D}$ не входит двух эквивалентных неприводимых составных частей.
Доказательство.
Согласно ранее приведенному доказательству, $a_{1
u}^{(\mu)}$ образует матрицу операторно-гомоморфного отображения совокупности $\left(\psi^{(1)}, \ldots, \psi^{(h)}\right)$ в совокупности $\left(\varphi_{1}^{(1)}, \ldots, \varphi_{1}^{\left(h_{1}\right)}\right)$. Выберем функции $\left(\psi^{(1)}, \ldots, \psi^{(h)}\right)$ таким образом, чтобы неэквивалентные неприводимые подсовокупности сводились к $\psi^{(1)}, \ldots, \psi^{(a)}, \psi^{(a+1)}, \ldots, \psi^{(a+b)}, \ldots$. Если теперь не все $a_{1
u}^{(\mu)}$ равны нулю, то $\left(\varphi_{1}^{(1)}, \ldots, \varphi_{1}^{\left(h_{1}\right)}\right)$ должно быть эквивалентно одной из подсовокупностей $\psi$, скажем $\left(\psi^{(1)}, \ldots, \psi^{(a)}\right)$. При соответствующем выборе $\left(\psi^{(1)}, \ldots, \psi^{(a)}\right)$ обе эквивалентные совокупности не только эквивалентны, но и одинаково преобразуются. Операторный гомоморфизм совокупности $\left(\psi^{(1)}, \ldots, \psi^{(h)}\right)$ также гомоморфно отображает подсовокупности $\left(\psi^{(1)}, \ldots, \psi^{(a)}\right)$ и т. д. Тогда по лемме Шура подпространство $\left(\psi^{(1)}, \ldots, \psi^{(a)}\right)$ отображается с помощью матрицы $\lambda E$, тогда как все остальные неэквивалентные подсовокупности отображаются нулем. Поэтому матрица отображения однозначно определена с точностью до множителя $\lambda$. Это имеет место и тогда, если мы перейдем к другому базису совокупности $\left(\psi^{(1)}, \ldots, \psi^{(h)}\right)$.
Из второй вспомогательной теоремы вытекают правила отбора. В $\S 4$ и $\S 6$ мы получили правила отбора для одного электрона $l \rightarrow l \pm 1$ в случае поля с центральной симметрией, $m \rightarrow m$ или $m \pm 1$ для поля с осевой симметрией.

Правила для $m$ сохраняются также и в случае многих электронов. Как обстоит дело с правилом для $l$, когда $l$ заменено на $L$ ?

Согласно $\S 3$, интенсивности возникающих линий зависят от коэффициентов $a, b, c$ в разложениях
\[
\left.\begin{array}{l}
X \psi_{L}^{(m)}=\sum \psi_{L^{\prime}}^{\left(m^{\prime}\right)} a_{L^{\prime} L}^{\left(m^{\prime} m\right)}, \\
Y \psi_{L}^{(m)}=\sum \psi_{L^{\prime}}^{\left(m^{\prime}\right)} b_{L^{\prime} L}^{\left(m^{\prime} m\right)}, \\
Z \psi_{L}^{(m)}=\sum \psi_{L^{\prime}}^{\left(m^{\prime}\right)} c_{L^{\prime} L}^{\left(m^{\prime} m\right)} .
\end{array}\right\}
\]

Величины слева или, точнее, их линейные комбинации
\[
-(X+i Y) \psi_{L}^{(m)}, \quad(X-i Y) \psi_{L}^{(m)}, \quad \sqrt{2} Z \psi_{L}^{(m)}
\]

согласно обозначениям на стр. 100 являются произведениями $V_{1}^{(-1)} U_{L}^{(m)}$, $V_{1}^{(1)} U_{L}^{(m)}, V_{1}^{(0)} U_{L}^{(m)}$, преобразующимися по $\sum \mathfrak{D}_{L^{\prime}}$, где $L^{\prime}$ может принимать одно из значений $L \pm 1$ и $L$. Поэтому и в правую часть (19.4) также должны входить только эти $\mathfrak{D}_{L^{\prime}}$. Это дает правило отбора
\[
L \rightarrow\left\{\begin{array}{l}
L-1 \\
L \\
L+1
\end{array} \quad(0 \rightarrow 0 \text { запрещено }) .\right.
\]

Совершенно таким же образом, но только значительно проще, получаем правило отбора для характера отражения $w=(-1)^{\sum l_{
u}}$
\[
w \rightarrow-w
\]

или правило Лапорта: $\sum l_{
u}$ меняется только на нечетное число. Действительно, если в (19.4) при отражении $s, \psi_{L}^{(m)}$ умножается на $w$, то в левой части появляется множитель $-w$, поэтому в правую часть также входят только члены с характером отражения – $w$. Из этого правила вытекает еще, что в случае внешнего электрона и атомного остатка с центральной симметрией, если переходы совершает только внешний электрон, а остаток в первом приближении остается неизменным, то переход $L \rightarrow L$, допускаемый (19.6), оказывается запрещенным. Для этого случая имеет место старое правило отбора $L \rightarrow L \pm 1$ или, что то же самое, $l \rightarrow l \pm 1$.

Из дополнения ко второй теореме получаем, что коэффициенты (19.4) $a_{L^{\prime} L}^{\left(m^{\prime} m\right)}$ и т. д. для каждой фиксированной пары значений $L, L$ однозначно определяются с точностью до множителя $\rho_{L^{\prime} L}$ (независимого от $m$ и $m^{\prime}$ ) с помощью теории групп. Вычисление этих коэффициентов позволяет судить об относительной интенсивности линий, возникающих при нарушении вырождения термов возмущением, не обладающим центральной симметрией (эффект Зеемана или Штарка), в предположении, что возмущение настолько мало, что функции $\psi$ невозмущенной системы могут быть применены для вычисления интенсивностей. Вычисление производится очень легко на основании того соображения, что (18.4), представляет собой разложение произведений $U_{m} V_{m^{\prime}}$, которые при $j=L$ и $j^{\prime}=1$ имеют совершенно такой же вид, как и наши функции $U_{L}^{(m)}=\psi_{L}^{(m)}$ и $V_{1}^{(1)}=-(X+i Y), V_{1}^{(-1)}=X-i Y, V_{1}^{(0)}=Z \sqrt{2}$. Поэтому, согласно второй вспомогательной теореме (дополнение), коэффициенты разложения в произведении $U_{L}^{(m)} V_{1}^{\left(m^{\prime}\right)}$ для каждого $L^{\prime}$ должны совпадать с коэффициентами (18.4) с точностью до численного множителя.

Для полного совпадения обозначений заменим в (19.4) символы $L, L^{\prime}, m^{\prime}$ на $j, J, M$, т. е. положим
\[
\left.\begin{array}{rl}
-(X+i Y) \psi_{j}^{(m)} & =-\sum \psi_{J}^{M}(a+i b)_{J j}^{(M m)} \\
(X-i Y) \psi_{j}^{(m)} & =\sum \psi_{J}^{M}(a-i b)_{J j}^{(M m)} \\
\sqrt{2} Z \psi_{j}^{(m)} & =\sum \psi_{J}^{M} \sqrt{2} c_{J j}^{(M m)}
\end{array}\right\} .
\]

Теперь коэффициенты правой части для каждого $J$ должны быть пропорциональны коэффициентам разложения $c_{m, M-m}^{J}$ в (18.4).
Поэтому получаем (ср. вторую таблицу на стр. 96)

для
\[
\begin{aligned}
J=j+1:(a+i b)_{J, j}^{(m+1, m)} & =-\rho \sqrt{(j+m+2)(j+m+1)}, \\
(a-i b)_{J, j}^{(m-1, m)} & =\rho \sqrt{(j-m+2)(j-m+1)}, \\
c_{J, j}^{(m, m)} & =\rho \sqrt{(j+m+1)(j-m+1)}
\end{aligned}
\]

для
\[
\begin{aligned}
J=j:(a+i b)_{J, j}^{(m+1, m)} & =\sigma \sqrt{(j+m+1)(j-m)}, \\
(a-i b)_{J, j}^{(m-1, m)} & =\sigma \sqrt{(j+m)(j-m+1)}, \\
c_{J, j}^{(m, m)} & =\sigma m ;
\end{aligned}
\]

для
\[
\begin{aligned}
J=j-1:(a+i b)_{J, j}^{(m+1, m)} & =\tau \sqrt{(j-m)(j-m-1)} \\
(a-i b)_{J, j}^{(m-1, m)} & =-\tau \sqrt{(j+m)(j+m-1)}, \\
c_{J, j}^{(m, m)} & =\tau \sqrt{(j+m)(j-m)} .
\end{aligned}
\]

В этих формулах можно опять заменить $j, J$ на $L, L^{\prime}$. В случае надобности можно легко из $(a+i b)_{J j}^{M m}$ и $(a-i b)_{J j}^{M m}$ вычислить $a_{J j}^{M m}$ и $b_{J j}^{M m}$. Согласно $\S 3$, квадраты этих величин дают вероятности переходов, которым пропорциональны интенсивности соответствующих спектральных линий. Вопрос о направлении поляризации излученного света уже был разобран в $\S 6$.