Докажем сначала две вспомогательные теоремы из теории групп. Первая вспомогательная теорема. Пусть два представления $\mathfrak{D},{\mathfrak{D}}^{\prime }$ группы $\mathfrak{G}$ в пространствах $\mathfrak{R}=(u_1,\dots ,u_n)u{\mathfrak{R}}^{\prime }=(v_1,\dots ,v_n)$ onределяются совершенно одинаковыми формулами
$$\begin{array}{l}a{u}_{\mu }=\sum _{\lambda }{u}_{\lambda }{\alpha }_{\lambda \mu },\\ a{v}_{\mu }=\sum _{\lambda }{\alpha }_{\lambda \mu },\end{array}$$

с той разницей, что векторы и образуют линейно-независимый базис для $\mathfrak{R}$, тогда как $v_{\mu }$ линейно-зависимы. Представление $\mathfrak{D}$ целиком приводимо
$$\mathfrak{D}={\mathfrak{D}}_1+\cdots +{\mathfrak{D}}_k.$$

Тогда ${\mathfrak{D}}^{\prime }$ также иеликом приводимо и разложение ${\mathfrak{D}}^{\prime }$ получается вычеркиванием некоторых представлений в правой части формулы (19.1). Доказательство.

Если сопоставить каждому вектору $u=\sum _{\lambda }{c}_{\lambda }{u}_{\lambda }$ вектор $v=\sum _{\lambda }{c}_{\lambda }{v}_{\lambda }$, то сумме двух векторов также будет соответствовать сумма, а произведению $au$ — произведение $av$; таким образом, это соответствие является операторным гомоморфизмом. Следовательно, по теореме $4\mathrm{\S }11$, имеем
$${\mathfrak{R}}^{\prime }\cong {\mathfrak{r}}_1^{\prime }+\cdots +{\mathfrak{r}}_h^{\prime },$$

где ${\mathfrak{r}}^{\prime }$ — некоторое неприводимое подпространство, входящее в разложение $\mathfrak{R}$.

В первую очередь мы применим эту теорему к произведению представлений. Пусть имеются некоторые величины $U_j^{(m)}$ и $V_{j^{\prime }}^{\left(m^{\prime }\right)}$ (собственные функции или что-либо другое), которые преобразуются по ${\mathfrak{D}}_j$ и ${\mathfrak{D}}_{j^{\prime }}$, и мы хотим знать, как будет преобразовываться произведение $U_j^{(m)}{V}_{j^{\prime }}^{\left(m^{\prime }\right)}$. Если мы заменим $U,V$ таким же количеством независимых переменных $u,v$, то произведения $u_j^{(m)}{v}_{j^{\prime }}^{\left(m^{\prime }\right)}$ будут преобразовываться по ${\mathfrak{D}}_j\times {\mathfrak{D}}_{j^{\prime }}=\sum _J{\mathfrak{D}}_J;J=j+j^{\prime },\dots ,|j-j^{\prime }|$. Если мы опять заменим в этом преобразовании $u,v$ через $U,V$, то оно сохраняет свою форму, но произведения могут оказаться линейно-зависимыми. Поэтому, согласно нашей вспомогательной теореме, они преобразуются по представлению $\sum {\mathfrak{D}}_J$, в которое входят некоторые из возможных значений $J=j+j^{\prime },\dots ,|j-j^{\prime }|$ (но возможно и все).
Вторая вспомогательная теорема. Если замкнутая ортогональная система
$${\phi }_1^{(1)},\dots ,{\phi }_1^{\left(h_1\right)};{\phi }_2^{(1)},\dots ,{\phi }_2^{\left(h_2\right)};\dots$$

определена так, что при каждом $\lambda$ совокупность функций ${\phi }_{\lambda }^{(1)},\dots ,{\phi }_{\lambda }^{\left(h_{\lambda }\right)}$ при заданной группе преобразований $\mathfrak{G}$ (например, при пространственных вращениях) претерпевает неприводимое представление ${\mathfrak{D}}_{\lambda }$ и, если совокупность функций ${\psi }^{(1)},\dots ,{\psi }^{(h)}$, претерпевающая при той же группе соответствующее целиком приводимое представление $\mathfrak{D}$, разлагается по ортогональной системе (19.2), то в разложение входят только такие ${\phi }_{\lambda }^{(u)}$ представления, ${\mathfrak{D}}_{\lambda }$ которых содержатся в качестве составных частей в представлении $\mathfrak{D}$.
Доказательство.
Если $\psi$ — линейная комбинация функций ${\psi }^{(1)}-{\psi }^{(h)}$, то
$$\psi \sim \sum _1^{h_1}{a}_{1u}{\phi }_1^{(u)}+\sum _1^{h_2}{a}_{2u}{\phi }_2^{(u)}+\cdots ={\omega }_1+{\omega }_2+\cdots .$$

Так как $\psi$ однозначно определяет все компоненты $a_{\lambda u}$, то, следовательно, ${\omega }_1,{\omega }_2$ и т. д. также однозначно определяются. Соответствие $\psi \to {\omega }_{\lambda }$
является линейным отображением совокупности $(\psi )=({\psi }^{(1)},\dots ,{\psi }^{(h)})$ в совокупности $({\psi }_{\lambda }^{(1)},\dots ,{\psi }_{\lambda }^{\left(h_{\lambda }\right)}$ ), так как сумма соответствует сумме, и произведение $\alpha \psi$ соответствует произведению $\alpha {\omega }_{\lambda }$. Но к (19.3) можно далее применить преобразование $t$ группы $\mathfrak{G}$ и получить
$$t\psi =t{\omega }_1+t{\omega }_2+\cdots ,$$

где $t{\omega }_{\lambda }$ является опять линейной комбинацией той же формы, что и ${\omega }_{\lambda }$. Следовательно, в нашем отображении $t\psi$ соответствует $t{\omega }_{\lambda }$, т. е. отображение является операторным гомоморфизмом совокупности $(\psi )$ в совокупности $\left({\omega }_{\lambda }\right)$. Эта совокупность $({\omega }_{\lambda }$ ) либо состоит из нуля, либо тождественна со всей неприводимой совокупностью $({\phi }_{\lambda }^{(1)},\dots ,{\phi }_{\lambda }^{\left(h_{\lambda }\right)})$ и преобразуется по ${\mathfrak{D}}_{\lambda }$. Согласно теоремам $\mathrm{\S }11$ в последнем случае ${\mathfrak{D}}_{\lambda }$ должно являться составной частью разложения представления $\mathfrak{D}$, что и требовалось доказать.

Дополнение ко второй вспомогательной теореме. Будем заменять функцию $\psi$ последовательно функциями ${\psi }^{(1)},\dots ,{\psi }^{(h)}$ и соответственно этому снабдим коэффициенты $a_{1u},a_{2u},\dots$ верхим индексом $\mu =(1,2,3,\dots ,h)$. Тогда коэффициент $a_{1u}^{(\mu )}$ (и точно так же $a_{2u}^{(\mu )}$ и т.д.) однозначно определяется теорией групп с точностью до общего множителя ${\rho }_1$, если представления $\mathfrak{D}$ и ${\mathfrak{D}}_1$ известны, в предположении, что в разложение представления $\mathfrak{D}$ не входит двух эквивалентных неприводимых составных частей.
Доказательство.
Согласно ранее приведенному доказательству, $a_{1u}^{(\mu )}$ образует матрицу операторно-гомоморфного отображения совокупности $({\psi }^{(1)},\dots ,{\psi }^{(h)})$ в совокупности $({\phi }_1^{(1)},\dots ,{\phi }_1^{\left(h_1\right)})$. Выберем функции $({\psi }^{(1)},\dots ,{\psi }^{(h)})$ таким образом, чтобы неэквивалентные неприводимые подсовокупности сводились к ${\psi }^{(1)},\dots ,{\psi }^{(a)},{\psi }^{(a+1)},\dots ,{\psi }^{(a+b)},\dots$. Если теперь не все $a_{1u}^{(\mu )}$ равны нулю, то $({\phi }_1^{(1)},\dots ,{\phi }_1^{\left(h_1\right)})$ должно быть эквивалентно одной из подсовокупностей $\psi$, скажем $({\psi }^{(1)},\dots ,{\psi }^{(a)})$. При соответствующем выборе $({\psi }^{(1)},\dots ,{\psi }^{(a)})$ обе эквивалентные совокупности не только эквивалентны, но и одинаково преобразуются. Операторный гомоморфизм совокупности $({\psi }^{(1)},\dots ,{\psi }^{(h)})$ также гомоморфно отображает подсовокупности $({\psi }^{(1)},\dots ,{\psi }^{(a)})$ и т. д. Тогда по лемме Шура подпространство $({\psi }^{(1)},\dots ,{\psi }^{(a)})$ отображается с помощью матрицы $\lambda E$, тогда как все остальные неэквивалентные подсовокупности отображаются нулем. Поэтому матрица отображения однозначно определена с точностью до множителя $\lambda$. Это имеет место и тогда, если мы перейдем к другому базису совокупности $({\psi }^{(1)},\dots ,{\psi }^{(h)})$.
Из второй вспомогательной теоремы вытекают правила отбора. В $\mathrm{\S }4$ и $\mathrm{\S }6$ мы получили правила отбора для одного электрона $l\to l\pm 1$ в случае поля с центральной симметрией, $m\to m$ или $m\pm 1$ для поля с осевой симметрией.

Правила для $m$ сохраняются также и в случае многих электронов. Как обстоит дело с правилом для $l$, когда $l$ заменено на $L$ ?

Согласно $\mathrm{\S }3$, интенсивности возникающих линий зависят от коэффициентов $a,b,c$ в разложениях
$$\begin{array}{l}X{\psi }_L^{(m)}=\sum {\psi }_{L^{\prime }}^{\left(m^{\prime }\right)}{a}_{L^{\prime }L}^{\left(m^{\prime }m\right)},\\ Y{\psi }_L^{(m)}=\sum {\psi }_{L^{\prime }}^{\left(m^{\prime }\right)}{b}_{L^{\prime }L}^{\left(m^{\prime }m\right)},\\ Z{\psi }_L^{(m)}=\sum {\psi }_{L^{\prime }}^{\left(m^{\prime }\right)}{c}_{L^{\prime }L}^{\left(m^{\prime }m\right)}.\end{array}\}$$

Величины слева или, точнее, их линейные комбинации
$$-(X+iY){\psi }_L^{(m)},(X-iY){\psi }_L^{(m)},\sqrt{2}Z{\psi }_L^{(m)}$$

согласно обозначениям на стр. 100 являются произведениями $V_1^{(-1)}{U}_L^{(m)}$, $V_1^{(1)}{U}_L^{(m)},V_1^{(0)}{U}_L^{(m)}$, преобразующимися по $\sum {\mathfrak{D}}_{L^{\prime }}$, где $L^{\prime }$ может принимать одно из значений $L\pm 1$ и $L$. Поэтому и в правую часть (19.4) также должны входить только эти ${\mathfrak{D}}_{L^{\prime }}$. Это дает правило отбора
$$L\to \{\begin{array}{l}L-1\\ L\\ L+1\end{array}(0\to 0\text{ запрещено }).$$

Совершенно таким же образом, но только значительно проще, получаем правило отбора для характера отражения $w=(-1{)}^{\sum l_u}$
$$w\to -w$$

или правило Лапорта: $\sum l_u$ меняется только на нечетное число. Действительно, если в (19.4) при отражении $s,{\psi }_L^{(m)}$ умножается на $w$, то в левой части появляется множитель $-w$, поэтому в правую часть также входят только члены с характером отражения — $w$. Из этого правила вытекает еще, что в случае внешнего электрона и атомного остатка с центральной симметрией, если переходы совершает только внешний электрон, а остаток в первом приближении остается неизменным, то переход $L\to L$, допускаемый (19.6), оказывается запрещенным. Для этого случая имеет место старое правило отбора $L\to L\pm 1$ или, что то же самое, $l\to l\pm 1$.

Из дополнения ко второй теореме получаем, что коэффициенты (19.4) $a_{L^{\prime }L}^{\left(m^{\prime }m\right)}$ и т. д. для каждой фиксированной пары значений $L,L$ однозначно определяются с точностью до множителя ${\rho }_{L^{\prime }L}$ (независимого от $m$ и $m^{\prime }$ ) с помощью теории групп. Вычисление этих коэффициентов позволяет судить об относительной интенсивности линий, возникающих при нарушении вырождения термов возмущением, не обладающим центральной симметрией (эффект Зеемана или Штарка), в предположении, что возмущение настолько мало, что функции $\psi$ невозмущенной системы могут быть применены для вычисления интенсивностей. Вычисление производится очень легко на основании того соображения, что (18.4), представляет собой разложение произведений $U_m{V}_{m^{\prime }}$, которые при $j=L$ и $j^{\prime }=1$ имеют совершенно такой же вид, как и наши функции $U_L^{(m)}={\psi }_L^{(m)}$ и $V_1^{(1)}=-(X+iY),V_1^{(-1)}=X-iY,V_1^{(0)}=Z\sqrt{2}$. Поэтому, согласно второй вспомогательной теореме (дополнение), коэффициенты разложения в произведении $U_L^{(m)}{V}_1^{\left(m^{\prime }\right)}$ для каждого $L^{\prime }$ должны совпадать с коэффициентами (18.4) с точностью до численного множителя.

Для полного совпадения обозначений заменим в (19.4) символы $L,L^{\prime },m^{\prime }$ на $j,J,M$, т. е. положим
$$\begin{array}{rl}-(X+iY){\psi }_j^{(m)}& =-\sum {\psi }_J^M(a+ib{)}_{Jj}^{(Mm)}\\ (X-iY){\psi }_j^{(m)}& =\sum {\psi }_J^M(a-ib{)}_{Jj}^{(Mm)}\\ \sqrt{2}Z{\psi }_j^{(m)}& =\sum {\psi }_J^M\sqrt{2}{c}_{Jj}^{(Mm)}\end{array}\}.$$

Теперь коэффициенты правой части для каждого $J$ должны быть пропорциональны коэффициентам разложения $c_{m,M-m}^J$ в (18.4).
Поэтому получаем (ср. вторую таблицу на стр. 96)

для
$$\begin{array}{rl}J=j+1:(a+ib{)}_{J,j}^{(m+1,m)}& =-\rho \sqrt{(j+m+2)(j+m+1)},\\ (a-ib{)}_{J,j}^{(m-1,m)}& =\rho \sqrt{(j-m+2)(j-m+1)},\\ c_{J,j}^{(m,m)}& =\rho \sqrt{(j+m+1)(j-m+1)}\end{array}$$

для
$$\begin{array}{rl}J=j:(a+ib{)}_{J,j}^{(m+1,m)}& =\sigma \sqrt{(j+m+1)(j-m)},\\ (a-ib{)}_{J,j}^{(m-1,m)}& =\sigma \sqrt{(j+m)(j-m+1)},\\ c_{J,j}^{(m,m)}& =\sigma m;\end{array}$$

для
$$\begin{array}{rl}J=j-1:(a+ib{)}_{J,j}^{(m+1,m)}& =\tau \sqrt{(j-m)(j-m-1)}\\ (a-ib{)}_{J,j}^{(m-1,m)}& =-\tau \sqrt{(j+m)(j+m-1)},\\ c_{J,j}^{(m,m)}& =\tau \sqrt{(j+m)(j-m)}.\end{array}$$

В этих формулах можно опять заменить $j,J$ на $L,L^{\prime }$. В случае надобности можно легко из $(a+ib{)}_{Jj}^{Mm}$ и $(a-ib{)}_{Jj}^{Mm}$ вычислить $a_{Jj}^{Mm}$ и $b_{Jj}^{Mm}$. Согласно $\mathrm{\S }3$, квадраты этих величин дают вероятности переходов, которым пропорциональны интенсивности соответствующих спектральных линий. Вопрос о направлении поляризации излученного света уже был разобран в $\mathrm{\S }6$.