Материальная точка имеет одну степень свободы, если она может перемещаться только вдоль некоторой прямой или кривой; две степени свободы, если она принуждена оставаться в плоскости или на заданной поверхности. Материальная точка, свободно движущаяся в пространстве, имеет три степени свободы.

Две материальные точки, связанные между собою невесомым жестким стержнем, имеют пять степеней свободы, ибо первую точку можно считать свободной, тогда как вторая должна находиться на шаровой поверхности, описанной вокруг первой точки радиусом, равным длине стержня.

В случае $n$ материальных точек, на координаты которых наложено $r$ условий связи, число степеней свободы равно
\[
f=3 n-r .
\]

При бесконечном множестве материальных точек, связанных бесконечным множеством условий, подобный подсчет числа степеней свободы, естественно, невыполним. Как нужно поступать в таких случаях, мы покажем на примере твердого тела.
а) Свободно движущееся твердое тело. Возьмем какую-нибудь точку твердого тела. Эта точка имеет три степени свободы. Так как произвольная вторая точка находится на постоянном расстоянии от первой, то она может двигаться только по шаровой поверхности вокруг первой точки, что дает дальнейшие две степени свободы. Наконец, третья точка может описывать круговую траекторию вокруг оси, проходящей через первые две точки, что дает одну степень свободы. Этим однозначно определены траектории всех остальных материальных точек твердого тела. Таким образом,
\[
f=3+2+1=6 .
\]
б) Волчок на плоскости. Предположим, что волчок в нижней своей части оканчивается острием, и примем в нашем подсчете это острие за первую точку тела; острие имеет две степени свободы. Вторая точка может двигаться по полусфере относительно первой точки, третья точка – по окружности вокруг прямой, соединяющей первые две точки. В целом для волчка
\[
f=2+2+1=5 .
\]
в) Волчок с закрепленной точкой. Обе степени свободы первой точки теряются при ее закреплении, так что
\[
f=2+1=3 .
\]
г) Твердое тело с неподвижной осью и маятник. Здесь
\[
f=1 .
\]

Если центр тяжести тела не лежит на оси вращения, то такое тело называют физическим маятником. Если это тело стянуть в точку, то из физического получается математический маятник. Для сферического маятника (материальная точка, принужденная двигаться по шаровой поверхности)
\[
f=2 .
\]
д) Бесконечное число степеней свободы. У деформируемого твердого тела или жидкости
\[
f=\infty .
\]

В этом случае уравнения движения являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Напротив, система с конечным числом степеней свободы описывается обыкновенными дифференииальными уравнениями второго порядка, число которых равно числу степеней свободы.

е) Кривошипно-шатунный механизм как пример машины с предписанным движением. Машина с предписанным движением имеет одну степень свободы. Она состоит из ряда практически твердых тел, соединенных друг с другом шарнирно или посредством каких-либо направляющих. Классическим примером машины с предписанным движением является кривошипно-шатунный механизм (рис. 9). Если, однако, снабдить машину центробежным регулятором (предусмотренным еще Уаттом), то этим добавляется вторая степень свободы.
Рис. 9. Схематическое изображение кривошипно-шатунного механизма
В вышеприведенных примерах число степеней свободы равно числу независимых координат, необходимых для определения положения системы. Эти координаты отнюдь не обязаны быть прямоугольными. Например, в случае кривошипно-шатунного механизма можно вместо координаты $x$, характеризующей положение поршня, выбрать в качестве координаты угол $\varphi$, определяющий положение кривошипа. В общем случае при $f$ степенях свободы мы будем обозначать координаты, выбор которых в значительной мере произволен, через
\[
q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{f}
\]
$r$ «условий связи между координатами», которые имеются в виду в уравнении (7.1), могут быть тождественно удовлетворены выбором координат $q$, так что они выпадают из дальнейшего рассмотрения системы.

Существенная заслуга механики Герца (упомянутой на стр. 15) заключается в том, что в ней было обращено внимание на условия связи, выраженные в дифференциальной форме, которые не могут быть тождественно удовлетворены выбором координат $q$. Подобное условие связи можно сформулировать так:
\[
\sum_{k=1}^{f} F_{k}\left(q_{1} \ldots q_{f}\right) d q_{k}=0 .
\]

При этом предполагается, что не все $F_{k}$ имеют вид $\frac{\partial F}{\partial q_{k}}$; таким образом, выражение (7.3) не является полным дифференциалом некоторой функции $F\left(q_{1} \ldots q_{f}\right)$ и не может быть сделано таковым путем умножения на надлежащий интегрирующий множитель.

Условия связи вида $F\left(q_{1} \ldots q_{f}\right)=$ const называют, по Герцу голономными (греческое holos = латинскому integer = цельный, интегрируемый), условия же связи вида (7.3), которые не могут быть проинтегрированы в общем виде, называются неголономными. Простейшим примером неголономной связи является колесо с острыми краями на плоском основании (см. задачу II. 1 ; сюда относятся также сани и шарнирный механизм велосипеда). Поступательное движение такого колеса ограничено тем, что оно может происходить только в направлении самого колеса (т.е. что точка касания колеса с основанием может перемещаться только по направлению касательной к колесу). Несмотря на это, колесо может достигнуть любой точки плоского основания хотя для этого может оказаться необходимым движение по траектории с острием (точкой возврата). Таким образом, колесо обладает при конечных движениях большим числом степеней свободы, чем при бесконечно малом движении. Вообще, система, подчиненная $r$ неголономным условиям связи и имеющая $f$ степеней свободы при конечных движениях, имеет только $f-r$ степеней свободы при бесконечно малом движении. Об этом более подробно см. задачу II. 1.

Это различие имеет важное значение для понятия виртуального перемещения. Под виртуальным перемещением мы понимаем произвольное, совместимое с условиями связи, бесконечно малое изменение положения системы. Истинное перемещение, происходящее под действием данных сил и в данных условиях, мы обозначаем через
\[
d q_{1}, d q_{2}, \ldots, d q_{f},
\]

тогда как виртуальное перемещение мы будем обозначать через
\[
\delta q_{1}, \delta q_{2}, \ldots, \delta q_{f} .
\]

Величины $\delta q$ не имеют никакого отношения к процессу движения; они вводятся лишь пробным порядком для того, чтобы выявить имеющиеся в системе соотношения и силы, действующие на систему.

Однако при чисто голономных связях величины $\delta q$ независимы друг от друга (каждой степени свободы соответствует одно $\delta q$ ), в то время как в случае неголономных связей приходится вводить в рассмотрение избыточное число виртуальных смещений $\delta q$, связанных между собою дифференциальными условиями вида (7.3). Эти условия подобны уравнению (7.3):
\[
\sum_{k=1}^{f} F_{k}\left(q_{1} \ldots q_{f}\right) \delta q_{k}=0 .
\]

При этом $f$ означает число степеней свободы для конечных движений, которое, как мы уже подчеркивали, больше числа степеней свободы при бесконечно малом движении.